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2024年中考重点专题：图形综合
1．如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 在对角线 上，且 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长.
2．如图，在和中，，，，连接BD，CE．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
3．如图⊙O半径为r，锐角△ABC内接于⊙O，连AO并延长交BC于D，过点D作DE⊥AC于E．
（1）如图1，求证：∠DAB＝∠CDE；
（2）如图1，若CD＝OA，AB＝6，求DE的长；
（3）如图2，当∠DAC＝2∠DAB时，BD＝5，DC＝6，求r的值；
（4）如图3，若AE＝AB＝BD＝1，直接写出AD＋DE的值（用含r的代数式表示）
4．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB．
（1）按要求尺规作图：作AD的垂直平分线(保留作图痕迹）；
（2）若AD的垂直平分线与AB相交于点O，以O为圆心作圆，使得圆O经过AD两点．
①求证：BC是⊙O的切线；②若 ，求⊙O的半径．
5．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．
6．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，延长BC至点E，使BC=CE，连结DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形．
（2）若BC=3，AB=5，求BD的长．
7．定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．
（1）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为　 　形．
（2）纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长．
（3）如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长．
8．问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案：.
探究：
（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.
（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值.
9．如图，在长方形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，当点P不与点A重合时，连结AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转90°得到线段AQ，连结PQ，设与长方形ABCD重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为.
（1）当点Q与点D重合时，求t的值；
（2）当点P与点B重合时，求DQ的长；
（3）当点C在外部时，求S与t之间的函数关系式；
（4）若长方形ABCD被直线PQ分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形只是轴对称图形，直接写出t的取值范围及这个轴对称图形的最长边的长.
10．在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴上一动点，连接AB，以AB为腰作等腰．
（1）如图1，点B在x轴负半轴上，点C的坐标是，求点A和点B的坐标；
（2）如图2，点B在x轴负半轴上，AC交x轴于点D，若BD平分，且点C的纵坐标是，求线段BD的长；
（3）如图3，点B在x轴正半轴上，以BC为边在BC左侧作等边，连接EO，CO，若，且，求的面积．
11．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长；
（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由.
12．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．
（1）证明△AMF是等腰三角形；
（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；
（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．
13．如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；
（3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．
14．如图，在平面直角坐标系中，满足
（1）求两点的坐标；
（2）的平分线与的外角平分线AM交于点C，求的度数；
（3）在平面内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
点 ， 分别是 ， 的中点，
，
，
≌ ，
， ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 交 于点 ，如图：
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
又 点 是 的中点，
是 的中位线，
.
的长为2.5.
2．【答案】（1）证明：∵，
则，
∴．
在与中，
∴
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
3．【答案】（1）证明：如图，延长AD交⊙O于F，连接BF，
∴∠C＝∠F，
∵AF为直径，DE⊥AC，
∴∠ABF＝∠DEC＝90°，
∴∠DAB=90°-∠F，∠CDE＝90°-∠C，
∴∠DAB=∠CDE.
（2）解：如图，作ON⊥AB，
∴∠ANO＝∠DEC＝90°，
∵AB＝6，
∴AN＝3，
又∵AO＝CD， ∠DAB＝∠CDE，
∴△ANO≌△DEC（AAS），
∴DE＝AN＝3.
（3）解：如图，作AG⊥BC于点G，DH⊥AB于点H，
∴∠AGC＝∠DEC＝90°，∠C＝∠C，
∴∠GAC＝∠CDE＝∠DAB，
又∵∠DAC＝2∠DAB，
∴∠DAB＝∠DAG＝∠GAC，
∴可得△ADH≌△ADG≌△ACG，
又∵DC＝6，
∴DH＝DG＝GC＝3，
在中， ，
设AH=AG=x，在Rt中，，解得x=6，
∴AB=10，
延长AD交⊙O于F，连接BF，
∠F＝∠C=∠ADC=∠BDF，
∴BF=BD=5，
在Rt中，，
∴.
（4）解：或或或可以化成以上三种表达式的任一种均可．
4．【答案】（1）解：如图所示：
（2）①证明：如图，连接OD，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O半径，
∴BC是⊙O的切线．
②如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD为∠BAC的角平分线， ，
∴DH=CD= ，
在Rt△ADH中，
，
设⊙O半径为r，∴OA=OD=r，
∴OH=AH-OA=4-r，
在Rt△OHD中， ，
∴
∴r=3，
即⊙O的半径为3．
5．【答案】（1）证明：如下图所示，连接OB.
∵ E是弦BD的中点，∴ BE＝DE，OE⊥ BD， ，
∴∠ BOE＝∠ A，∠ OBE＋∠ BOE＝90°.
∵∠ DBC＝∠ A，∴∠ BOE＝∠ DBC，
∴∠ OBE＋∠ DBC＝90°，∴∠ OBC＝90°，即BC⊥OB，∴ BC是⊙ O的切线
（2）解：∵ OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴
6．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∵BC=CE，
∴AD∥CE且AD=CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=90°，
∴平行四边形ACED是矩形.
（2）解：∵BC=3，AB=5，∠ACB=90，
∴AC=4．．
∴DE=AC=4．
∵BE=2BC=6，∠DEC=90°，
∴BD=
7．【答案】（1）矩
（2）解：四边形为矩形，
，，，
，，
又为平行四边形，
，，
由折叠得，，
，
在与中，
，
，
，
由折叠得，，
，
又，
，
又，，
．
（3）或11或．
8．【答案】（1）解：①如图1，四边形ABCD是平行四边形，
，
.
平分，
.
.
.
同理可得：.
点E与点F重合，
.
②如图2，点E与点C重合，
同理可证，
∴ ABCD 是菱形，
，
点F与点D重合，
.
（2）解：情况1，如图3，
可得，
.
情况2，如图4，
同理可得，，
又，
.
情况3，如图5，
由上，同理可以得到，
又，
.
综上：的值可以是，，.
9．【答案】（1）解：
（2）解：2
（3）解：
（4），四边形的最长边10.
10．【答案】（1）解：如图，作于D，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，作轴，交x轴于N，交BA的延长线于M，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为6；
（3）解：为等边三角形，
，
如图，在OC上截取OF，使，连接EF，
是等边三角形，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
如上图，作于M，于N，则，
，
，
，
，
又，
，
，
，
的面积为8．
11．【答案】（1）证明：如图1，
在△BCE和△DCF中，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）证明：如图1，
∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBC= ∠DBC=22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；
∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），
∴∠BGF=90°；
在△DBG和△FBG中，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），
∵BD= =，
∴BF= ，
∴CF=BF﹣BC= ﹣1；
（3）解：如图2，∵CF= ﹣1，BH=CF
∴BH= ﹣1，
①当BH=BP时，则BP=﹣1，
∵∠PBC=45°，
设P（x，x），
∴2x2=（ ﹣1）2，
解得x=2﹣ 或﹣2+ ，
∴P（2﹣ ，2﹣ ）或（﹣2+ ，﹣2+ ）；
②当BH=HP时，则HP=PB= ﹣1，
∵∠ABD=45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（ ﹣1， ﹣1）；
③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（ ， ），
综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（2﹣ ，2﹣ ）、（﹣2+ ，﹣2+ ）、（ ﹣1， ﹣1）、（ ， ）.
12．【答案】（1）证明：如图1，∵EF∥AD，
∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF．
∵△GFE与△BFE关于EF对称，
∴△GFE≌△BFE，
∴∠GFE=∠BFE，
∴∠A=∠AMF，
∴△AMF是等腰三角形
（2）解：如图1，作DQ⊥AB于点Q，
∴∠AQD=∠DQB=90°．
∵AB∥DC，
∴∠CDQ=90°．
∵∠B=90°，
∴四边形CDQB是矩形，
∴CD=QB=2，QD=CB=6，
∴AQ=10﹣2=8．
在Rt△ADQ中，由勾股定理得
AD= =10，
∴tan∠A= ，
∴tan∠EFB= =
如图3，∵EB=x，
∴FB= x，CE=6﹣x，
∴AF=MF=10﹣ x，
∴GM= ，
∴GD=2x﹣ ，
∴DE= ﹣x，
在Rt△CED中，由勾股定理得
（ ﹣x）2﹣（6﹣x）2=4，
解得：x= ，
∴当EG过点D时x= ；
（3）解：当点G在梯形ABCD内部或边AD上时，
y= x x= x2，
当点G在边AD上时，GM= =0，求得x= ，
此时0＜x≤ ，
则当x= 时，y最大值为 ．
当点G在梯形ABCD外时，
∵△GMN∽△GFE，
∴ ，
即 ，由（2）知，x≤ ，
y=﹣2x2+20x﹣ =﹣2（x﹣5）2+ （ ＜x≤ ），
当x=5时，y最大值为 ，
由于 ＞ ，故当x=5时，y最大值为
13．【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵将绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴
∴
即
在和中
，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，，
∵是等边三角形，
∴，
∵
∴
∴垂直平分，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴在的垂直平分线上，
∵
∴在的垂直平分线上，
∴垂直平分
∴，
∴
又∵，
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
在与中，
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：依题意，如图所示，延长交于点，
由（2）可知是等边三角形，
∴
∵将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
由（2）可得
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
由（2）可知是的中点，则
∴
∴
∵折叠，
，
∴，
又，
∴，
∴当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示，
∴，
∴，
∴．
14．【答案】（1）解： ，
∴，
，
．
（2）解：平分，平分，
，
，
（3）存在；满足条件的点有6个；或
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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