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2024年中考数学压轴题专项：图形与几何
1．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点F是半径AO上一动点（不与O，A重合），过点F作射线l⊥AB，分别交弦AC，于H，D两点，在射线l上取点E，过点E作⊙O的切线EC．
（1）求证：EC＝EH．
（2）当点D是的中点时，若∠ABC＝60°，判断以O，A，D，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．
2．如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．
（1）若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是　 　；
（2）若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点)
（3）若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
3．问题解决：如图1，在矩形 中，点 分别在 边上， 于点 .
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）延长 到点 ，使得 ，判断 的形状，并说明理由.
类比迁移：如图2，在菱形 中，点 分别在 边上， 与 相交于点 ， ，求 的长.
4．在 中， ， ， 是边 上一点，将 沿 折叠得到 ，连接 .
（1）特例发现：如图1，当 ， 落在直线 上时，
①求证： ；
②填空： 的值为 ▲ ；
（2）类比探究：如图2，当 ， 与边 相交时，在 上取一点 ，使 ， 交 于点 .探究 的值（用含 的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用：在（2）的条件下，当 ， 是 的中点时，若 ，求 的长.
5．在正方形中，点是对角线上的一点，且，将线段绕着点顺时针旋转至，记旋转角为，连接、，并以为斜边在其上方作，连接．
（1）特例探究：如图1，当，时，线段与的数量关系为　 　；
（2）问题探究：如图2所示，在旋转的过程中，
①（1）中的结论是否依然成立，若成立，请说明理由；
②当，时，若，求的长度；
（3）拓展提升：若正方形改为矩形，且，其它条件不变，在旋转的过程中，当、、三点共线时，如图3所示，若，，直接写出的长度．（用含的式子表示）
6．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足．
图1 图2 图3
（1）求的面积；
（2）如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标；
（3）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．
①若是的角平分线，求证：；
②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
7．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：2，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.
（1）若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
（2）试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）连接CP，若 ，GF＝2 ，求线段BE和CP的长.
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线AB分别交x、y轴于B、A两点，点A、B的坐标分别为A（0，6），B（4，0），过点D（﹣4，0）的直线分别交x轴、y轴、直线AB于点D、F、E三点，且S△FDO＝S△AEF，设点F的坐标为（0，a）．
（1）求a的值；
（2）点P的坐标为（b，a），连接OP，将射线OP沿着点O逆时针旋转60°得到射线m，在射线m上取点Q，使OQ＝2OP，设点Q的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，设（2）中的函数图象交x轴于点G，取OQ的中点H，连接GH，在OG上取点M，连接PM，若∠OMP＝∠QCH，求点M的坐标．
9．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为，记旋转角为．
（1）如图①，若，求的长；
（2）如图②，若，求点的坐标；
（3）如图③，为上一点，且，连接，在绕点逆时针旋转一周的过程中，求的面积的最大值和最小值（直接写出结果即可）．
10．问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边，上两点，且，连接，，与相交于点O．
（1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长；
（3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长．
11．
（1）如图，，点在的平分线上，点，分别在边，上，且，连接求线段的最小值；
（2）如图，是一个圆弧型拱桥的截面示意图点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上即，可分别绕点，按顺逆时针方向旋转照明灯的大小忽略不计，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度可利用备用图解答
12．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：
（1）当点M在上时，求t的值；
（2）连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
（3）是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
13．如图1，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4.点P为射线AB上一动点，在射线DA上取一点E，连接DP，EP，使∠DPE＝60°.作△APE的外接圆，设圆心为O.
（1）当圆心O在AB上时，AE＝　 　；
（2）当点E在边AD上时，
①判断⊙O与DP的位置关系，并证明；
②当AP为何值时，AE有最大值？并求出最大值；
（3）如图2，连接AC，若PE∥AC，则AP＝　 　；将优弧PE沿PE翻折交射线AC于点Q，则PQ的弧长＝　 　.
14．如图，是的直径，C，G是上的两点，C在G的左侧（均在直径的上方），连接，．分别过C，G作于E，交于D，作于F．
（1）证明：四边形是矩形；
（2）①若.求弦的长；
②若四边形是菱形，，求的半径；
（3）记的面积为，的面积为，的面积为，若满足，求的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECH+∠ACO＝∠OCB+∠ACO＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ECH＝∠OCB，
∵EF⊥AB，
∴∠AFH＝90°，
∴∠A+∠AHF＝90°，
∴∠AHF＝∠CHE＝∠B，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∴∠ECH＝∠EHC，
∴EC＝EH；
（2）解：四边形AOCD是菱形，
理由：连接AD，CD，
∵点D是的中点，
∴，
∴AD＝CD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠DAC＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴CD∥AO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝30°，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形AOCD是菱形．
2．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，交于点，
，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）解：结论仍成立，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，
，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
3．【答案】（1）证明：如图1，∵四边形 是矩形，
.
.
.
.
又 .
∴矩形 是正方形
（2）解： 是等腰三角形.理由如下：
，
.
又 ，即 是等腰三角形.
类比迁移：
如图2，延长 到点 ，使得 ，连接 .
∵四边形 是菱形，
.
.
.
又 .
是等边三角形，
，
4．【答案】（1）（1）①①证明：延长 交 于点 .
由折叠得 .
∴ .
∵ ，
∴ ；
②1
（2）解： .
理由：延长 交 于点 ，
由折叠得 .
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
（3）解：由折叠得 ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ， ， ，
由（2）知 ，
∴ ，
，
是 的中点，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴
5．【答案】（1）
（2）解：①成立，理由如下：
如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
过F作于H，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
由①得：，
∴；
（3）
6．【答案】（1）解：，，，即，．
，，的面积；
（2）或
（3）解：①延长，，它们相交于点，
等腰直角中，，，
且，，又，，
，．
是的角平分线，，
，，且为公共边，，，
即，．
②的大小不变，总为，理由如下：
作，，垂足分别是，，，
由①可知：，，
，，
是的角平分线，．
7．【答案】（1）解：∵AB：BC＝3：2，BC＝8，E是BC中点，
∴AB＝12，BE＝4，
设BF的长为x，则AF＝12﹣x，
由矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处得EF＝AF＝12﹣x，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴42+x2＝（12﹣x）2，解得x＝ ，
∴BF的长为 ；
（2）解：GF与AE之间的位置关系是：GF⊥AE，GF与AE之间的数量关系是： ＝ ，理由如下：
∵矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，
∴A、E关于FG对称，
∴GF⊥AE，
过点G作GM⊥AB于M，如图：
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴ ＝ ，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
（3）解：过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，如图：
由 ，设BE＝3k，则BF＝4k，EF＝AF＝5k，AB＝9k，
∵ ＝ ，FG＝2 ，
∴AE＝3 ，
∴（3k）2+（9k）2＝（3 ）2，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEN＝90°，∠PEN+∠EPN＝90°，
∴∠FEB＝∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴ = ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴EN＝ ，PN＝ ，
∴CN＝EN﹣EC＝ ﹣3＝ ，
∴CP＝ ＝ ，
∴线段BE的长是3，CP的长是 .
8．【答案】（1）解：设直线DF的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵D（﹣4，0），点F的坐标为（0，a），
∴代入直线DF的解析式中，得，
解得，
∴直线DF的解析式为，
设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∵A（0，6），B（4，0），
∴代入直线AB的解析式中，得，
解得，
∴直线AB的解析式为，
∵直线DF交直线AB于点E，
∴，
解得，
即点E的横坐标为，
∵点F的坐标为（0，a），A（0，6），D（﹣4，0），
∴OF＝a，OA＝6，OD＝4，AF＝6﹣a，
又∵S△FDO＝S△AEF，
∴，
解得a＝2；
（2）解：如图，在x轴上取点I，使∠PIO＝60°；过点P作PJ⊥x轴于J；在x轴上取点G，使∠QGO＝60°；延长GQ交y轴于K．
又∵点P的坐标为（b，a），由（1）得a＝2，
∴PJ＝2，JI＝，IP＝2JI＝，
∵将射线OP沿着点O逆时针旋转60°得到射线m，
∴∠PIO＝∠QGO＝∠POQ＝60°，
∴∠GOQ+∠POI＝180°﹣60°＝120°，∠GOQ+∠OQG＝180°﹣60°＝120°，
∴∠OQG＝∠POI，
∴△OQG∽△POI，
又∵OQ＝20P，
∴△OQG和△POI的相似比是2：1，
∴，
又∵∠QGO＝60°，∠GOK＝90°，
∴∠GKO＝30°，，
∴点Q始终在直线GK上，，K（0，8），
∴设y＝ax+c，把，K（0，8）代入得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（3）解：如图，在（2）作图基础下，根据题意取OQ的中点H，连接GH，在OG上取点M，连接PM；取OP的中点V，连接IV；过点V作VS⊥x轴于S．
∴VS∥PJ，J（b，0），OJ＝b，
∴VS是△OPJ的中位线，
∴PJ：VS＝2：1，，
∵∠OMP＝∠QGH，
由（2）过程得△OQG∽△POI，JI＝，
∴结合作图方法，∠OMP＝∠QGH＝∠OIV，，
∴△PMJ∽△VIS，相似比为2：1，
∴，
∴点M的横坐标＝，
∴点M的坐标为．
9．【答案】（1）解：如图①中，
图①
，
，
由旋转的性质可知，，
，
；
（2）解：如图②中，过点作于点．
图②
在中，，
，
；
（3）面积的最大值，最小值为
10．【答案】（1）解：， 且，
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：，且
（2）解：连接并延长交于G，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵正方形的边长为4，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴
（3）解：
11．【答案】（1）解：解：过作于，作于，如图：
，，
，
，
，即，
平分，，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
设，则，
过作于，如图：
，
，，
，
，
当时，取最小值，
线段的最小值是；
（2）解：当整个水面都被灯光照到时，与重合，与重合，设交于，圆心为，连接，，，过作于，如图：
点是拱桥的中点，，
，，共线，，
设半径为，则，
在中，，
，
解得，
，
∵，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，即，
，
同理可得，即，
，
这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为．
12．【答案】（1）∵平行四边形，
∴，，，
由题意得∶，，
如下图，点在上时，
∵，，
∴，
∴，
则 即
解得：
（2）如上图，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
则，
∴，
∴为等腰三角形， 则
过点作于点，
则
即 解得∶ ，
则 ，
设中边上的高为，则
即：
，故有最大值，
当时， 的最大值为；
（3）存在， 理由∶
如下图， 过点作于点，
当点在的平分线上时，则
，
在中，
，
解得：
13．【答案】（1）1
（2）解：①如图1，
DP与⊙O相切，理由如下：
作直径PF，连接EF，
∴∠PEF＝90°，
∴∠EPF+∠F＝90°，
∵，
∴∠F＝∠DAB，
∵∠DPE＝∠DAB，
∴∠DPE＝∠F，
∴∠DPE+∠EPF＝90°，
∴∠DPF＝90°，
即：DP⊥PF，
∵点P在⊙O上，
∴DP与⊙O相切；
②∵∠DAB，∠PDE＝∠ADP，
∴△DPE∽△DAP，
∴，
∴DE＝，
∴AE＝AD-DE＝4-，
∴当DP最小时，AE最大，
此时DP⊥AB，
由（1）知：AP是⊙⊙的直径，AE＝1，
∴AE的最大值为：1；
（3）8；
14．【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：①∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴弦；
②∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，，
∴的半径为2；
（3）解：由题意得，
∵，
∴，
即，
而，
∴，即，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
由（2）得，
∴．
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