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6.3.1 平面向量基本定理【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.基底的概念，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理素养，如第2题、第7题、第13题；
2.用基底表示向量，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第1题、第3题、第4题、第12题、第14题；
3.平面向量基本定理的应用，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第5题、第6题、第8题、第16题；
一、填空题
（2023·全国高一课时练习）
1．设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号）
（2024下·全国·高一专题练习）
2．在中，点为边的中点，记，则 ．
（2023下·河南洛阳·高一校联考阶段练习）
3．在中，，若，则 .
（2024·广东中山·高一校考阶段练习）
4．已知向量是一个基底，实数x，y满足，则 .
（2023·全国高一课时练习）
5．已知矩形ABCD中，对角线交于点O，若，则 .
（2023·高一课时练习）
6．设向量，若用表示，则 .
（2023下·高一课时练习）
7．如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且．已知，，则 ．（用，表示）

（2023·全国·高一专题练习）
8．设，，分别为的三边，，的中点，若，则 ．
（2024·全国·高一课时练习）
9．在四边形中，，单位向量与平行，是的中点，，若在 中选两个作为基本向量，来表示向量，则 .
（2023下·湖南岳阳·高一课时练）
10．在平行四边形中，如图，，依次是对角线上的两个三等分点，设试用与表示和，则= ，= ．

二、解答题
（2023·全国高一课时练习）
11．如图，在基底下，分解下列向量：，，，．

（2023·全国高一课时练习）
12．在平行四边形中，.
（1）用，表示；
（2）若，，且，求.
（2024·江苏泰州·高一校考阶段练习）
13．设,是不平行的向量，且，．
(1)证明：,是平面向量的一个基底；
(2)用,的线性组合表示．
（2023下·辽宁大连·高一课时练）
14．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若.
（1）求的值
（2）若，，试用基底表示
【易错题目】第1题、第2题、第12题
【复盘要点】对向量夹角概念理解不清，使运算出错.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．③
【分析】根据基底的定义判断即可.
【详解】解：③中，可知两向量共线，不能作为一组基底，选③；
其它选项中的两个向量都不满足，都能做基底，不选．
故答案为：③．
2．
【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.
【详解】由点为边的中点，得，
所以.
故答案为：
3．##1.5
【分析】根据共线向量关系即可得到，则得到值.
【详解】因为在中,，则，
所以，即.
故答案为：.
4．3
【分析】利用平面的基底不共线得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】因是一个基底，故与不共线，
由平面向量基本定理得，解得，
则.
故答案为：3.
5．
【分析】利用向量的线性运算可得的表达形式.
【详解】
因为是矩形，所以，
所以.
故答案为：
6．
【分析】根据平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】设，则有，
得，所以，
故答案为：
7．
【分析】利用向量的加法和减法，化简可得结论.
【详解】，．
，
又，，
，．
故答案为：
8．1
【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】如图所示：

，，分别为的三边，，的中点，
，
故.
故答案为：1
9．
【分析】根据向量的线性运算即可得解.
【详解】；
故答案为：
10．
【分析】利用平面向量的基本定理求解.
【详解】，
．
故答案为: ;.
11．，，，
【分析】根据向量的线性运算即可结合图形求解.
【详解】，，，

12．（1）；（2）.
【分析】（1）由平行四边形的性质和向量的加减法法求解；
（2）由数量积的运算律和定义求解
【详解】解：（1）因为在平行四边形中，，
所以.
（2）因为，
所以
.
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面向量共线定理解决即可；（2）根据平面向量基本定理解决即可.
【详解】（1）证明：若,平行，则，即，
所以．
因为,不平行，所以，
因为该方程组无解，
所以，平行不成立，
所以，不平行，
所以，是平面向量的一个基底．
（2）设，
又因为，
由向量基本定理，得，解得
所以．
14．（1）；（2）.
【分析】（1）根据图形可得，根据对应系数即可得解；
（2）根据几何关系确定点位置，作平行交于点，引入点，再确定点位置，利用即可得解.
【详解】（1）∵，
∴
（2）
∵由题意可得，
∴，再由，则，
∴.
作平行交于点，
∴，
∴.
∵.
∴.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.3.1 平面向量基本定理
[课标要求]
1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.
2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
[明确任务]
1.平面向量基本定理的意义（数学抽象）；
2.推导平面向量基本定理(逻辑推理)；
3.用基底表示其它向量(数学运算)
1.平面向量共线定理；
2.平面向量线性运算（加法、减法、数乘）；.
核心知识点1 平面向量基本定理的理解
1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
3、对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．
（3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，．
（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
例1　设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
【答案】ACD
【解析】选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．
归纳总结　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，
那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示．
【举一反三】
1．下面说法中，正确的是　(　　)
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量和一组基底，，使=λ+μ成立的实数对一定是唯一的.
A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④
2．下列说法中正确的是（ ）
A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若，则.
C．若单位向量 的夹角为，则在方向上的投影向量是.
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.
3．已知向量是一个基底，实数x，y满足，则 .
核心知识点2 用基底表示向量
例2. 如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，.
【解析】 因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，
所以＝＝＝b.
＝＋＋
＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
变式：本例中，若设BC的中点为G，则＝________.
【答案】　a＋b
【解析】　＝＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
所以＝＋＝＋
＝b＋a－b＝a＋b.
归纳总结 平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
【举一反三】
4．在中，，，若点满足，以为基底，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形ABCD中，设，，，则以为基底时，可表示为 ，以为基底时，可表示为 ．
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点

(1)以，为基底，分别表示向量，；
(2)以，为基底，表示向量.
核心知识点3 平面向量基本定理的应用
例3.如图所示，在中，点是的中点，且，与相交于点，设，，则等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，
由，，三点共线可知，存在实数，满足.
由，，三点共线可知，存在实数，满足，
所以.
因为，为基底，所以，解得，
所以，故选：A
归纳总结 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
【举一反三】
7．已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ）

A．＋ B．＋
C． D．＋
8．如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则 .

9．如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
其中，说法正确的为（ ）
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
11．在△ABC中，，，若点D满足，以作为基底，则等于（ ）
A． B．
C． D．
12．已知非零向量不共线，且，若，则满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
13．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设则 .(用，表示)
15．设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是
16．如图，在中，M是的中点，点N在上，且，与相交于点P，求与．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据向量基底的概念可判断①②，根据零向量的概念可判断③，由平面向量基本定理判断④.
【详解】因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；
由平面向量基本定理知④正确．
综上可得②③④正确．
故选：B．
2．ABC
【分析】由平面向量基本定理，依次判定即可
【详解】选项A：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此，一定都是非零向量，故A正确；
选项B：，由在同一基底下向量分解的唯一性，有，故B正确；
选项C：在方向上的投影向量为：，故C正确；
选项D：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D错误
故选：ABC
3．3
【分析】利用平面的基底不共线得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】因是一个基底，故与不共线，
由平面向量基本定理得，解得，
则.
故答案为：3.
4．D
【分析】利用平面向量基本定理求解即可
【详解】因为，，，
所以，
所以，
故选：D
5．
【分析】直接利用向量的加法运算可得答案.
【详解】以为基底时，；
以为基底时，.
故答案为：；.
6．(1),
(2)
【分析】（1）因为为DC中点，F为AD中点，图形结合向量加法可得;
（2）应用，后利用表示，即可得答案.
【详解】（1）因为为DC中点，则，
F为AD中点，则；
（2）注意到，
又为DC中点，则，
F为AD中点，则，
则，
，
则.
7．B
【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解.
【详解】分别为的边上的中线,
则,
,
由于，，所以,
故解得
故选：B
8．
【分析】设，根据题意得到，得到，进而得到，即可求解.
【详解】设，
因为和分别是边和的中点，可得,
又因为，所以，
因为，所以，所以.
故答案为：.
9．AC
【分析】分析两个向量是否共线，不共线的两个向量可以作为基底.
【详解】B中与共线，D中与共线，A、C中两向量不共线，
故选：AC.
10．B
【分析】由基底的概念及平面向量基本定理逐一判断即可.
【详解】平面内只要不共线的向量均可作为表示该平面内所有向量的基底，有无数组，①错误，②正确；
由平面向量基本定理可得，平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的，③正确.
故选：B.
11．A
【分析】结合图形，将和分别用与线性表示，代入方程解之即得.
【详解】
如图，因，则，即，解得：.
故选：A.
12．A
【分析】根据条件分解向量后，对比两组系数消去
【详解】由得，即，又，故，消去后得．
故选A
13．ABC
【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可.
【详解】对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底.
故选：ABC.
14．
【分析】利用向量的加减法运算求解即可
【详解】
故答案为：
15．
【详解】依题意，，
∴，∴，，故.
【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.
16．，
【解析】设，，则，根据A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数使得，．根据．解出即可。
【详解】解：设，
则，
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数使得，．
故．
而，由平面向量基本定理，得解得
∴，．
故，．
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，属于基础题。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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