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6.3.2+6.3.3+6.3.4平面向量的正交分解及坐标表示【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.向量坐标的表示及运算，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理素养，如第1题、第2题、第3题、第5题、第9题；
2.向量共线的判定及应用，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第4题、第6题、第11题；
3.平面向量坐标运算的应用，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第7题、第8题、第10题、第12题；
一、填空题
（2023·全国高一课时练习）
1．已知向量，，则 .
（2023·全国高一课时练习）
2．已知向量，则 ．
（2023下·河南郑州·高一阶段练习）
3．已知平面上三点，，，则的坐标是 .
（人教A版必修二教材练习）
4．当 时，与共线.
（2023·北京·高一北京市陈经纶中学校考阶段练习）
5．已知，满足的点C的坐标是 ．
（2023·全国·高一课时练）
6．已知向量，，且，则实数m的值等于 ．
（2023·全国·高一课时练）
7．为平行四边形的对角线，，则 ．
（2023·全国·高一课时练）
8．已知点，()，试求当点在第三象限时，的取值范围 ．
二、解答题
（2024·高一课时练习）
9．已知，，．
（1）求的坐标；
（2）求满足条件的实数，．
（2023·高一课时练习）
10．已知点，．
(1)若C是线段AB的中点，求C点坐标；
(2)若直线AB上的点D满足，求D点坐标．
（2023·全国高一课时练习）
11．已知，，，判断A，B，C三点之间的位置关系．
（2019人教A版必修第二册课本例题）
12．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
(1)当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
【易错题目】第1题、第2题、第12题
【复盘要点】点的坐标与向量坐标混淆致使出错.
【典例】（2023·四川绵阳高一阶段练习）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且，，求点M，N的坐标．
方法一 ∵A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），
∴，．
∵，，
∴，
．
易错点：此处易误把，的坐标当作点M，N的坐标，混淆点的坐标与向量的
坐标的概念．
设，，设出点的坐标，利用方程思想求解．
∴，，
∴ 解得 ，
∴M（0，20），N（9，2）．
方法二 设O为坐标原点，则由，，
可得，
∴，，
∴，
向量的起点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标是一致的．
．
∴M（0，20），N（9，2）．
易错警示：点的坐标和向量坐标区别与联系
区别 表示形式不同 向量a＝（x，y）中间用等号连接，而点A（x，y）中间没有等号
意义不同 点A（x，y）的坐标（x，y）表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝（x，y）的坐标（x，y）既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外（x，y）既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点（x，y）或向量（x，y）
联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
【复盘训练】
（2023·山东泰安·高一期中）
13．已知点，向量，则向量＝（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建三明·高一专题练习）
14．已知，，则B点坐标是 .
（2023·上海徐汇·高一上海中学校考期末）
15．已知点，向量，则向量 ．
（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）
16．已知点A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4），若点P满足，则点P的坐标为 ．
（2023上·山西临汾·高一山西省临汾市第三中学校校联考期中）
17．已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为 ．
（2023·江苏淮安·高一校考期中）
18．已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标．
（2023下·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校期中）
19．如图，平面上，，三点的坐标分别为,,.
(1)写出向量，，的坐标；
(2)如果四边形是平行四边形，求的坐标.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】由，，
可得，
故答案为：
2．
【分析】根据向量的坐标运算求得结果.
【详解】，，
.
故答案为：.
3．
【分析】按照向量的坐标运算法则先算出 ，在按照向量的加法法则计算.
【详解】根据题意，，，， ，，
；
故答案为：.
4．-4
【分析】根据向量共线（平行）的坐标运算公式，代入数据，即可得答案.
【详解】因为与共线，所以，
解得.
故答案为：-4
5．
【分析】根据题意设，由平面向量的坐标运算，直接代入计算即可得到结果.
【详解】设，因为，则，
且，则，解得，所以
故答案为:
6．
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平行向量的性质进行求解即可.
【详解】因为，，所以，
又因为，所以有，
故答案为：
7．
【分析】画图，根据平行四边形的性质及向量加法法则运算即可.
【详解】
如图在平行四边形中，
，
在中，，
所以，
故答案为：.
8．
【分析】设，由坐标运算可用表示，结合点在第三象限可得的不等式组，解不等式组可得．
【详解】设，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，解得，
∵点在第三象限，
∴，解得，
故答案为：.
9．（1），；（2）.
【解析】（1）利用向量的坐标运算即可求的坐标.
（2）由已知线性关系，结合坐标表示得到，解方程组即可.
【详解】（1）根据题意，，，，
则,,,,，
（2）根据题意，若，即,,,，
则有，解可得，
故.
10．(1)
(2)
【分析】（1）是线段的中点可得，设出点的坐标，计算出和的坐标，从而求出点的坐标；
（2）设出点的坐标，计算出和的坐标，根据列方程，求出点的坐标.
【详解】（1）解：设，又，
则，
是线段的中点，
，即，解得，
（2）（2）设，又，
，
，
，解得，
.
11．A，B，C三点共线
【分析】求出，根据平面向量共线定理可判断，又直线，直线有公共点，即可判断.
【详解】解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（如图）．观察图形，我们猜想A，B，C三点共线．
下面来证明．
因为，
，
又，
所以．
又直线，直线有公共点A，
所以A，B，C三点共线．
另证：，，
因为，
所以．
又因为直线，有公共点A，所以A，B，C三点共线．
【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用；如果共线，那么存在唯一的，使成立或，属于基础题．
12．(1).
(2)或.
【分析】（1）根据即可求出点P的坐标；
（2）通过分类讨论，点P满足两种情况或，然后利用向量加法的三角形法则即可求出答案.
【详解】（1）（1）如图，由向量的线性运算可知,

所以点P的坐标是.
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或，
若，如图(1)，那么
，
即点P的坐标是.

同理，如果，如图(2)，那么点P的坐标是.
13．A
【分析】计算出，进而得到.
【详解】由已知，得到，
因为，所以
故选：A.
14．
【分析】根据点与向量的关系即可求解.
【详解】设B点的坐标为，则
.
∴解得,解得
∴B点的坐标是.
故答案为：
15．
【分析】首先求出的坐标，再根据向量减法的坐标运算法则计算可得；
【详解】解：因为，所以，
又，所以；
故答案为：
16．（4，3）
【分析】设出点，根据列方程组解决.
【详解】设，又 A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4）
，
所以点.
故答案为：（4，3）
17．
【分析】由向量求出的坐标，进而求出点C的坐标.
【详解】由P，Q分别为的边，的中点，
，得，
点为坐标原点，，
因此，所以点C的坐标为
故答案为：.
18．或
【解析】．由于点是线段的三等分点，可得，或者．即可得出．
【详解】解：，
．
点是线段的三等分点，
，或者．
，
或．
或．
∴P点的坐标为或．
【点睛】本题考查了向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解；
（2）根据向量相等，即可利用坐标相等求解.
【详解】（1）
（2）设，由可得，所以 ，故
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.3.2+6.3.3+6.3.4平面向量的正交分解及坐标表示
[课标要求]
1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示．
3.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
5.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
[明确任务]
1.数量积的定义（数学抽象）；
2.数量积的性质（逻辑推理）；
1.平面直角坐标系及点的坐标表示；
2.单位向量、向量的夹角、向量的线性运算、共线向量；.
3.平面向量基本定理.
核心知识点1 平面向量的坐标表示
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
2.平面向量的坐标表示
（1）基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．
（2）坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量a的坐标．
（3）坐标表示：a＝（x，y）．
（4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．
提示：点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系
区别 表示形式不同 向量a＝（x，y）中间用等号连接，而点A（x，y）中间没有等号
意义不同 点A（x，y）的坐标（x，y）表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝（x，y）的坐标（x，y）既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外（x，y）既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点（x，y）或向量（x，y）
联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
例1.如图，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.
【解析】由图可知，，
所以.
同理，
，
，
.
归纳总结　求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
（2）求一个向量的坐标，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
【举一反三】
1．如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点，且，则点N的坐标为 ．
3．已知O是坐标原点，点A在第一象限，，，
(1)求向量的坐标；
(2)若，求的坐标．
核心知识点2 平面向量加、减运算的坐标表示
1.平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2） 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝（x1－x2，y1－y2） 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
2.已知点A（x1，y1），B（x2，y2），那么向量＝（x2－x1，y2－y1），即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
例2. 在 ABCD中，AC为一条对角线，若＝（2，4），＝（1，3），求的坐标．
【解析】∵＝＋，
∴＝－＝（－1，－1），
∴＝－＝（－3，－5）．
归纳总结 平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
【举一反三】
4．已知点，向量，则向量＝（ ）
A． B． C． D．
5．已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且，则点C的坐标为 .
核心知识点3 平面向量坐标运算的应用
例3. 如图，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，
求顶点D的坐标.
【解析】解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为.
因为，
，
又，
所以.
即解得，
所以顶点D的坐标为.
解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知
，
而
.
所以顶点D的坐标为.
归纳总结 坐标形式下向量相等的条件及其应用
（1）条件：相等向量的对应坐标相等．
（2）应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．
【举一反三】
6．已知平面上三点的坐标分别为求点的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点．
7．已知点、，，若，试求为何值时，
(1)点在第一、三象限的角平分线上；
(2)点在第三象限内．
核心知识点4平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量数乘运算的坐标表示：已知a＝（x，y），则λa＝（λx，λy），即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
例4.（1）已知，，的坐标为 .
【答案】
【解析】.
.
（2）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于 .
【答案】　（－23，－12）
【解析】由3a－2b＋c＝0，
∴c＝－3a＋2b＝－3（5，2）＋2（－4，－3）＝（－23，－12），
∴c＝（－23，－12）．
归纳总结：平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行运算．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
【举一反三】
8．已知向量，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
9．已知，，求：
(1)；
(2)；
(3).
核心知识点5 向量共线的判定
平面向量共线的坐标表示：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0. 则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为（x1，y1）＝λ（x2，y2），当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b（b≠0）共线．
例5. 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（　　）
A．a＝（－2，3），b＝（4，6）
B．a＝（2，3），b＝（3，2）
C．a＝（1，－2），b＝（7，14）
D．a＝（－3，2），b＝（6，－4）
【答案】　ABC
【解析】能作为平面内的基底，则两向量a与b 不平行，A选项，（－2）×6－3×4＝－24≠0，
∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－（－2）×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，（－3）×（－4）－2×6＝12－12＝0，∴a∥b.
归纳总结 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
【举一反三】
10．已知，，且，求y．
11．已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
12．已知，则的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
13．已知平面向量，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
14．下列各组向量中，共线的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
15．已知向量，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
16．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为（ ）
A．(－7，0) B．(7，6)
C．(6，7) D．(7，－6)
17．下面几种说法中正确的有（　　）
A．相等向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．一个坐标对应于唯一的一个向量
D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
18．已知平行四边形OABC，其中点O为坐标原点，若点，，则点C的坐标为 ．
19．已知平面上三点，，，则的坐标是 .
20．若点A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a＝ .
21．在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标．
22．已知，若，，求的坐标．
23．已知向量，若与共线，求m的值，并判断与是同向还是反向？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐标即可.
【详解】由题意得，.
故选：A
2．
【分析】根据平面向量减法的坐标表示式计算即得.
【详解】设，因，则
故得：，即．
故答案为：.
3．(1)；
(2)．
【分析】（1）设出点的坐标，根据给定条件，直接求出向量的坐标.
（2）由（1）的结论，利用向量的坐标表示即可得解.
【详解】（1）设点，则，，
所以向量的坐标是.
（2）由（1）知，，由，得，
所以.
4．A
【分析】计算出，进而得到.
【详解】由已知，得到，
因为，所以
故选：A.
5．(0,4)
【分析】由向量的坐标表示计算即可.
【详解】设C(x，y)，则.
由，则x＝0，y＝4.则.
故答案为：(0,4)
6．或或
【分析】分平行四边形为，，三种情况考虑，设出点坐标，写出相等向量，计算即可.
【详解】解：设点，当平行四边形为时，有,
因为，
所以，解得，即；
当平行四边形为时，有,
因为，
所以，解得，即；
当平行四边形为时，有,
因为，
所以，解得，即，
故点的坐标为或或.
7．(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标运算可得出点的坐标，根据点在第一、三象限的角平分线上可得出关于的等式，可解得实数的值；
（2）根据点在第三象限内，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1）设点，由已知可得，
又因为，则，
所以，，可得，
若点在第一、三象限的角平分线上，则，解得.
（2）解：因为点在第三象限内，则，
所以.
8．D
【分析】利用平面向量线性运算的坐标运算可得结果.
【详解】因为，故.
故选：D.
9．(1)
(2)
(3)
【分析】根据平面向量的坐标的线性运算可得.
【详解】（1）
（2）
（3）
10．
【解析】根据向量共线的充要条件得到关于的方程，解得.
【详解】解：因为，，
所以．
解得．.
也可以利用求解．
设，则，
∴∴∴．
【点睛】本题考查了共线向量基本定理；如果共线，那么存在唯一的，使成立或，属于基础题．
11．与共线；与的方向相同.
【分析】先求与的坐标，根据平面向量共线定理即可判断结果．
【详解】因为，
，因为，
所以，所以与共线，
又，所以与的方向相同．
12．B
【分析】分析题意，一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标
根据向量的坐标运算即可得到答案.
【详解】由题意，
故选：B
【点睛】本题考查向量坐标的求法，属于基础题.
13．A
【分析】根据向量坐标的数乘和减法运算直接求解即可
【详解】.
故选：A
14．B
【分析】根据向量共线的充要条件，即可判断选项.
【详解】若两个向量共线，则，
其中只有B选项，满足条件.
故选：B
15．A
【分析】根据向量坐标的加减可得.
【详解】
故选：A
16．D
【解析】设出点坐标，求出坐标，利用，即可求解.
【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，
所以.
设D(x，y)，则有(－1－5,7＋1)＝(1－x,2－y)，
即解得，
因此D点坐标为(7，－6)．
故选:D.
【点睛】本题考查向量的坐标表示、向量相等应用，属于基础题.
17．ABD
【分析】根据向量的定义和坐标的定义，即可判断选项.
【详解】A.相等向量的坐标相同，故A正确；
B.根据向量坐标的定义，可知平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标，故B正确；
C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误；
D. 平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应，故D正确.
故选：ABD
18．
【分析】设点C的坐标为，则由题意得，即可求出点C的坐标.
【详解】设点C的坐标为，
则由题意得，
所以．
故答案为：
【点睛】本题主要考查相等向量和向量的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．
【分析】按照向量的坐标运算法则先算出 ，在按照向量的加法法则计算.
【详解】根据题意，，，， ，，
；
故答案为：.
20．
【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.
【详解】因为A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a),所以
因为A，B，C三点共线，所以，故5a－16＝0，所以a＝.
故答案为：.
21．，，．
【分析】根据向量坐标的定义，以及向量的模和三角函数，即可求解向量的坐标.
【详解】设，，，
则，，
，，
，，
因此，，．
22．
【分析】通过两个向量等式求得两点坐标，即得的坐标.
【详解】设由 可得：即得：，即．
由可得：即得：，即.
于是.
23．，与方向相反．
【分析】根据向量共线的坐标表示可得，进而求，根据向量共线的判定定理分析判断.
【详解】因为，
则，
，
若与共线，
则，解得，
当时，则，可得，
由可知与方向相反．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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