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6.3.2+6.3.3+6.3.4平面向量的正交分解及坐标表示【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.向量坐标的表示及运算，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理素养，如第1题、第2题、第7题、第9题；
2.向量共线的判定及应用，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第3题、第8题、第10题、第12题、第13题、第15题；
3.平面向量坐标运算的应用，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第4题、第5题、第6题、第11题、第14题；
（2023下·陕西渭南·高一统考期中）
1．已知平面向量，则向量（ ）
A． B． C． D．
（2023下·浙江嘉兴·高一校联考期中）
2．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
（2023下·河南洛阳·高一洛阳市三中期中）
3．已知向量，则“ ”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023下·湖南益阳·高一统考期末）
4．若向量，则向量的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
（2023下·河北保定高一期中）
5．已知点，若第四象限的点P满足，则实数λ的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·山东菏泽·高一统考期中）
6．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（ ）

A． B． C． D．
（2023·四川南充高一期中）
7．已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．点的坐标是
B．点的坐标是
C．当是原点时，点的坐标是
D．当是原点时，点的坐标是
（2024上·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）
8．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
（2023·江西宜春高一期中）
9．已知点，且，则点的坐标是 ．
（2023下·山东济宁·高一统考期末）
10．已知向量，写出一个与向量方向相反的向量 .(用数字作答)
（2023上·黑龙江佳木斯高一期中）
11．已知点，若点是线段中点，则点的坐标为 .
（2024上·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校期中）
12．如果三点共线，则的值为 .
（2024上·广东湛江·高一期中）
13．已知向量，，点．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值．
（2023下·山东东营·高一统考期中）
14．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
（2023下·吉林长春·高一校考期中）
15．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，且三点共线.
(1)求实数的值；
(2)已知，，，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求的坐标和点的坐标.
【易错题目】第3题、第12题、第15题
【复盘要点】运用向量坐标运算判定向量共线（平行）应用广泛，如判定平行、证明三点共线、判定几何图形的形状等，需要掌握两向量平行的坐标表达，并灵活应用.
例1.（2023上·山东菏泽三中高一期中）已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），，，求证：．
设，．
由题意知，，，
∴，，
∴，
．
∴，
∴．
∵，∴．
易错警示：向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别提示；如果用坐标表示，可写为（x1，y1）＝λ（x2，y2），当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b（b≠0）共线．
【复盘训练】
（2024上·北京海淀·高一统考期末）
16．已知点P与共线，则点P的坐标可以为（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）
17．已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023上·广东东莞·高一校联考期中）
18．若三点共线，则m的值为（ ）
A．－2 B．－13 C．2 D．13
（2023上·江苏南通·高一统考期中）
19．设为实数，若向量，，且与共线，则 .
（2023下·广东清远·高一校联考期中）
20．如图所示，已知的顶点，，．

(1)求顶点D的坐标；
(2)已知点，判断A，M，C三点的位置关系，并做出证明．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由向量的坐标线性运算即可求解.
【详解】由题意，所以，所以.
故选：D.
2．C
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，
所以.
故选：C
3．A
【分析】利用向量共线的坐标表示，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】向量，，解得，
所以“ ”是 “”的充分不必要条件.
故选：A
4．D
【分析】根据及向量线性运算的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
5．C
【分析】根据向量的坐标运算即可列式子求解.
【详解】方法一：设，则，,
又,
所以
所以即,
因为点P在第四象限，所以
解得
故所求实数λ的取值范围是
方法二：,
所以
因为点P在第四象限，所以
解得
故选：C
6．B
【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，标注相关点的坐标，进而可得坐标，结合，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出即可.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，又为的中点，

∴，则，
由，得：，
∴，解得，则
故选：B.
7．ABC
【分析】根据向量的概念，以及向量的坐标表示，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，向量与终点、始点的坐标差有关，
所以点的坐标不一定是，故A错误；
同理点的坐标不一定是，故B错误；
当是原点时，点的坐标是，故C错误；
当是原点时，点的坐标是，故D正确.
故选：ABC
8．ACD
【分析】分别判断四个选项中的两个向量是否共线得到答案.
【详解】对于A，，，由零向量与任意向量共线，可知两个向量不能作为基底；
对于B，因为，，所以，所以两个向量不共线，可以作为基底；
对于C，因为，，所以，可知两个向量共线，故不可以作为基底；
对于D，由，，得：，可知两个向量共线，故不能作为基底；
故选：ACD
9．
【分析】利用平面向量的线性运算处理即可.
【详解】如图，连接，

设为坐标原点，建立平面直角坐标系，，
整理得．
故答案为：
10．（答案不唯一）
【分析】由相反向量的概念分析求解即可得解.
【详解】由相反向量的定义可知，向量的相反向量只要满足()即可，
当时，.
故答案为：（答案不唯一）.
11．
【分析】根据题意，得到，结合向量的坐标运算与表示，即可求解.
【详解】由题意知，点，且，
因为点是线段中点，可得，
所以点的坐标为.
故答案为：.
12．3
【分析】由得出的值.
【详解】因为三点共线，所以存在使得.
即，解得.
故答案为：3
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算，求得点的坐标，利用中点坐标公式，可得答案；
（2）由点的坐标表示出向量的坐标，利用共线向量的坐标公式建立方程，可得答案.
【详解】（1）设，，，
，
，，
，同理可得，
设BD的中点，
则，，
.
（2），，
三点共线，，
，解得.
14．(1)
(2)
【分析】(1)根据平行四边形的性质以及平面向量的线性运算法则.
(2) 以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，满足题意,可求出各点的坐标.
【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
15．(1)
(2)；
【分析】（1）由、可构造方程组求得；
（2）根据可求得；设，由可构造方程求得点坐标.
【详解】（1）三点共线，，即，
，解得：.
（2）；
四边形为平行四边形，，
设，则，，，即.
16．B
【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.
【详解】设，则，
由三点共线，则，所以，
则.
选项A，，不满足，故A错误；
选项B，，满足，故B正确；
选项C，，不满足，故C错误；
选项D，，不满足，故D错误.
故选：B.
17．B
【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，
且，
所以，即，解得.
故选：B
18．CD
【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可.
【详解】由题意可知，
因为三点共线，则共线，
不妨设，
则或13.
故选：CD
19．##
【分析】根据共线向量的坐标公式，可得答案.
【详解】，，与共线，
则，则.
故答案为：.
20．(1)；
(2)A，M，C三点共线；详见解析.
【分析】（1）由平行四边形可得，然后根据向量的坐标运算即得；
（2）根据坐标关系可得，进而即得.
【详解】（1）由平行四边形可得：，又，，，，
所以，
∴D的坐标为；
（2）A，M，C三点共线；
因为，，，
所以，又有公共点，
所以A，M，C三点共线.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.3.2+6.3.3+6.3.4平面向量的正交分解及坐标表示
题型一 平面向量的正交分解及坐标表示
例1. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B，D的坐标和，的坐标．
【解】由题意知，点B，D分别是与x轴正半轴成30°，120°的终边与单位圆的交点．
设，．
由三角函数的定义，得，，，，
∴，．∴，．
【方法技巧与总结】在向量的坐标表示中，一定要分清表示向量的有向线段的起点与终点的坐标，同时注意区分点的坐标与向量的坐标写法的不同．
【变式训练1-1】（2024·广西北海高一期末）
1．如果将绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）
2．在直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，分别计算出它们的坐标.
题型二 平面向量的坐标运算
例2．（2023·安徽铜陵·高一期中）已知，，．设，，，且，．求：
（1）；
（2）满足的实数m，n的值；
（3）点M，N的坐标及向量的坐标．
【解析】由已知得，，．
（1）．
（2），
∴解得
∴实数m的值为-1，n的值为-1．
（3）设O为坐标原点．∵，
∴，∴．
又∵，∴，
∴．∴．
【方法技巧与总结】（1）向量的坐标运算主要是利用平面向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．
（2）若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
【变式训练2-1】（2023·黑龙江鸡西第四中学·高一期末）
3．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则等于（ ）
A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)
【变式训练2-2】（2023·江西赣州·高一期末）
4．已知是平行四边形的一条对角线，为坐标原点，，，若点满足，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（2023·北京房山区高一期中）
5．已知向量，，规定，之间的一种运算.若向量，运算，则向量 .
【变式训练2-4】（2023·湖北黄石高一期中）
6．已知向量，的坐标分别是，，求，，，的坐标．
题型三 平面向量共线的判定与应用
例3．（2023·四川成都·高一期中）已知向量，．若，
则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【解析】方法一：由题意得，
，．
∵，∴，解得．
方法二：假设，不共线，则由可得，
∴方程组显然无解，
∴与不共线，这与矛盾，∴假设不成立，
∴，共线，∴，解得．
【答案】A
【方法技巧与总结】向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
若，，则的充要条件为，不能表示成，
因为，有可能等于0．同时，的充要条件也不能错记为，等．
【变式训练3-1】（2023·辽宁建平县实验中学·高一期中）
7．已知向量与向量平行，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式训练3-2】（2023·安徽宣城·高一统考期中）
8．已知向量，若向量与共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式训练3-3】（2023·江苏淮安·高一统考期中）
9．已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】（2023·辽宁沈阳·高一统考期中）
10．已知向量，，．
(1)求满足的实数m，n的值；
(2)若，求实数k的值．
易错点 忽视各类四边形的特点而漏解
【典例】（2023·江苏盐城·高一期中）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标．
【错解】设，，，，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴．
∵，，
∴，∴解得∴点D的坐标为．
【错因分析】（1）该解错因是思维定式，认为平行四边形只是如图所示中的这一种情形，由此在解题中丢掉了另外两种情形．
（2）若平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，，求点D的坐标，就只有一种情况，本题题目中给出了平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，就可能有，，三种情形，如正解中的图所示．
【正解】如图所示，设，，，．
①若平行四边形为，则．∵，，
∴由，得解得∴．
②若平行四边形为，则．∵，．
∴解得∴．
③若平行四边形为，则．∵，，
∴解得∴．
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为或或．
易错警示 已知平面图形的部分顶点坐标求其他未知顶点的坐标时，应注意题中是否给定了顶点顺序，考虑顶点位置的不同情况，避免漏解．
1-1（2023·山东泰安高一期中）
11．设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A． B． C． D．
1-2（2023·陕西安康高一期中）
12．已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为 ．
1-3（2023下·四川成都·高一成都七中校考期中）
13．已知点，且．试问：
(1)t为何值时，点P在坐标轴上
(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形 若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】先求出直线OA的倾斜角，再求直线OB的倾斜角，即得点B的坐标和的坐标.
【详解】设直线OA的倾斜角为
因为，|OA|=|OB|,所以点B的坐标为.
故答案为D
【点睛】本题主要考查向量的坐标，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
2． ＝(，)，＝(－，)，＝(2，－2)
【分析】按照向量模长以及与轴非负半轴的夹角依次计算即可.
【详解】设，
则，，
，
，
因此 ＝(，)，＝(－，)，＝(2，－2).
3．D
【分析】利用平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】；
故选：D.
4．C
【解析】首先根据向量减法法则求出的坐标，设，则，根据得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意可得，所以，
设则，由
所以，解得，
所以点的坐标为
故选：C
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.
5．
【分析】设，利用向量运算的新定义，即可求解.
【详解】设，，
，所以，
解得：，
所以.
故答案为：
6．，，，
【分析】根据平面向量的坐标运算求解.
【详解】由题意可知：，，可得：
，
，
，
．
7．A
【分析】根据向量平行可得，可得，利用诱导公式即得.
【详解】∵向量与向量平行，
∴，即，
∴.
故选：A.
8．D
【分析】利用已知条件判断与不共线，则与可以作为一组基底，再根据与共线，通过向量共线列出方程求解即可．
【详解】解：因为，所以，
与不共线，则与可以作为平面内的一组基底，
因为与共线，又，，
所以，即，
故选：D.
9．D
【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，求解即可.
【详解】由已知，因为，则，解得.
故选：D.
10．(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量相等求解即得.
（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求解即得.
【详解】（1）由，得，则有，解得，
所以.
（2）依题意，，，
由，得，解得，
所以.
11．D
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，结合题意求解即可.
【详解】由题可知：，
即.
故选：D.
12．(2，4)
【分析】先设出的坐标，根据题意可知，把和用坐标表示出来，利用向量相等即坐标相等建立等量关系即可求解.
【详解】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，
∴,
设点D的坐标为(x，y)，
则，，
∴，
∴，解得，
∴点D的坐标为(2，4).
故答案为：(2，4).
【点睛】本题考查向量的相关知识点，由题得出是解决本题的关键，是一道基础题.
13．(1)或
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据平面向量坐标运算求解，再根据坐标轴的性质列式求解即可；
（2）分四边形OABP，四边形，四边形为平行四边形三种情况讨论，再根据坐标运算判断解的情况即可.
【详解】（1）由，
得，
则，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得，
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得，
综上，当或时，点P在坐标轴上；
（2）若四边形为平行四边形，则，
∴，
∵该方程组无解，
∴四边形OABP不能成为平行四边形，
若四边形为平行四边形，则，
，
所以，该方程组无解，
所以四边形不是平行四边形，
若四边形为平行四边形，则，
∴，
∵该方程组无解，
∴四边形OPAB不能成为平行四边形，
综上所述，四点O、A、B、P不能成为平行四边形.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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