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6.3.1 平面向量基本定理
【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的．
【目标分析】
1．用基底表示向量，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第1题、第8题、第8题、第9题、第10题、第11题、第12题；
2．运用平面向量基本定理求参数，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第2题、第4题、第5题、第13题、第14题、第15题、第16题；
3．运用平面向量基本定理解决几何问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第3题、第6题、第6题、第7题；
一、单选题
（2023·广东湛江高一期中）
1．如图，ABC中，，，，用，表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考期中）
2．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·甘肃张掖高一期中）
3．已知平行四边形，若点是边的中点，，直线与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考期末）
4．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，则，则（ ）．

A． B． C． D．
（2023·山东德州·德州市第一中学校高一期中）
5．已知，点在线段上（不包括端点），向量，的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校期中）
6．在中，点是的中点，点分的比为与相交于，设，则向量（ ）
A． B． C． D．
（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）
7．在中，点是的中点，点在边上，且与交于点，若，则长是（ ）
A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4
（2023下·江苏南京·高一校联考期末）
8．在中，点是上一点，点满足，与的交点为．有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一个是假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多选题
（2023下·山西大同·高一校考期中）
9．下列命题中是假命题的为（ ）
A．已知向量，则，可以作为某一平面内所有向量的一个基底
B．若，共线，则
C．已知是平面的一个基底，若，则也是该平面的一个基底
D．若，，三点共线，则
（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中期末）
10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边BC的中点
B．若，则点是边BC的三等分点
C．若，则点是边的重心
D．若，且，则的面积是面积的
三、填空题
（2023·安徽铜陵高一期末）
11．在中，，M为BC的中点，则_______．（用表示）
（2023·福建莆田·高一统考期中）
12．已知非零向量，其中是一组不共线的向量．能使得与的方向相反的一组实数的值为 ， ．
（2023上·河北邯郸高一期末）
13．在中，为的三等分点（靠近点），为的中点，若，则 ．

（2024上·天津和平·高一统考期末）
14．已知正实数，称为的算术平均数，为的几何平均数，为的希罗平均数．为的边上异于的动点，点满足且，则正数的希罗平均数的最大值是 ．
四、解答题
（2023下·江西吉安·高一统考期末）
15．在中，，，若D是AB的中点，则；若D是AB的一个三等分点，则；若D是AB的一个四等分点，则．

(1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明．
(2)如图②，若，，AM与BN交于O，过O点的直线l与CA，CB分别交于点P，Q．
①利用（1）的结论，用，表示；
②设，，求证：为定值．
（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）
16．如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
【易错题目】第5题、第14题、第16题
【复盘要点】平面向量基本定理与向量共线定理的综合问题，基本思路是利用向量共线定理和平面向量基本定理建立方程组，再利用方程思想找出未知数之间的关系，运用函数或基本不等式可得出其最值或取值范围．
典例（2023·湖北宜昌高一期末）在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若用、表示，则 ；若，，则的最小值是 ．
【答案】 ；
【分析】求出关于、的表达式，再由已知条件可得出，可得出关于、的表达式，求出、关于、的表达式，根据可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
【解析】如下图所示：
因为为的中点，则，
因为，则，
因为，，则，
，
因为、、三点共线，则，
所以，存在实数使得，即，
所以，，消去可得，即，
所以，，
因为过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，且，
则，， 由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立．
因此，的最小值是． 故答案为：．
易错提示：利用平面向量基本定理解决参数最值问题的基本思路如下：
1． 构建向量关系：根据问题的条件，建立向量之间的关系，通常是将所求参数表示为向量的线性组合．
2． 利用基本定理：利用平面向量基本定理，将向量的线性组合转化为实数的线性组合，即用参数表示向量．
3． 确定目标函数：根据问题的要求，确定与参数有关的目标函数，通常是将目标函数表示为参数的函数．
4． 求最值：通过分析目标函数的特点，利用函数性质、不等式等，求出目标函数的最值．
5． 得出结论：根据求得的最值，得出关于参数的结论．
【复盘训练】
（2023上·四川内江·四川省内江市第二中学高一期中）
17．在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 .
（2023·天津红桥·统考高一期末）
18．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
（2023下·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）
19．如图，在直角梯形ABCD中，，动点P在BC上，且满足（m，n均为正实数）.

(1)求m与n之间的关系式；
(2)求的最小值.
（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）
20．如图，已知四边形为平行四边形，点在延长线上，点在线段上，且，设.

(1)用向量，表示；
(2)若线段上存在一动点，且，求的最大值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据三角形法则得，然后将即可得出答案.
【详解】,
故选：D.
2．A
【分析】确定，得到，根据计算得到答案.
【详解】，故，则，
又是上一点，所以，解得.
故选：A.
3．C
【分析】画出图形根据向量定比分点设出，构造方程组可解得，可得结果.
【详解】如下图所示：
设，则.
设，
则，
.
因为，
所以，解得，
所以，即.
故选：C.
4．A
【分析】利用向量的数乘、加减法运算可整理得到，化简整理可得的值，从而求得结果.
【详解】由知：，；
，
，，则，，
.
故选：A.
【点睛】思路点睛；本题考查平面向量基本定理的应用，解题的基本思路是能够利用向量的加减法和数乘运算，利用基底表示出所求向量或构造出关于所求向量的方程，从而求得参数的值.
5．C
【分析】由平面向量共线定理的推论得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】，点在线段上（不包括端点），
故存在，使得，即，即，
因为向量，所以，
可得，
，，由基本不等式得
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C．
6．C
【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.
【详解】
由题意三点共线，所以存在，使得，
同理三点共线，所以存在，使得，
由平面向量基本定理可得，解得，
所以.
故选：C.
7．D
【分析】设，，利用平面向量的数乘运算与基本定理得到，从而得解.
【详解】设，，
则，，
因为，，和，，分别共线，
所以存在实数，，使，，
所以，
又，
所以，解得，
所以，即，
故选：D.

8．D
【分析】首先由甲命题为真命题开始，由点是的中点，结合平面向量基本定理的推论，结合三点共线的向量表示，即可判断.
【详解】若甲为真命题，，则点为的中点，
由可得，，
因为三点共线，故可得，
即，
由三点共线，可得，
所以，得，即，
所以，故乙为真命题；故，可知命题丙为真命题；
由共线，故可设，
即,
因为三点共线，故可设，
所以，得，
即，故命题丁为假命题.
综上，甲乙丙为真命题，丁为假命题.
故选：D
9．AB
【分析】A中，共线向量有可能有零向量，所以不能作为基底，判断A的真假；B中，共线向量不一定相等，判断B的真假；C中，由向量的基底的定义及向量的基本性质，可得，不共线，判断C的真假；D中，由三点共线的性质可判断D的真假．
【详解】A中，若或中至少一个为零向量时，，就不能作为基底，所以A不正确；
B中，若，共线，而，的方向不一定相同，且模长也不一定相等，所以B不正确；
C中，因为是平面的一个基底，则与不共线，而，所以，不共线，所以可以作为该平面的基底，所以C正确；
D中，由题得得，，即，
即，即，所以D正确；
故选：AB．
10．ACD
【分析】根据向量的平行四边形法则，可判定A正确；由，得到，可判定B错误；取的中点，化简得到，可判定C正确；由，且，得到，设，得到三点共线，且，进而可判定D正确.
【详解】对于A中，根据向量的平行四边形法则，若，
则点M是边BC的中点，所以A正确；
对于B中，由，则，即，
则为的中点，所以B错误；
对于C中，如图所示，由，可得，
取的中点，可得，则点为的重心，所以C正确；

对于D中，由，且，
所以且，
设，可得，且，所以三点共线，
因为，所以为的一个三等分点（靠近），如图所示，
所以，即则的面积是面积的，所以D正确.
故选：ACD.

11．
【详解】解：，，所以。
12． -1(不唯一) 1
【分析】设，则有，列出方程组求解即可.
【详解】解：设，
则有，
即，
所以，所以，解得，
取.
故答案为：-1(不唯一)，1
13．
【分析】根据平面向量的线性运算求得，由此求得正确答案.
【详解】
，
所以.
故答案为：
14．
【分析】设，以为基底可表示出，从而用表示出；根据算数平均数、几何平均数和希罗平均数的定义，结合二次函数最值的求法可求得结果.
【详解】设，
，
，解得：，，，，
，，.
故答案为：.
15．(1)，证明见解析
(2)①，②证明见解析
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）①依题意可得，，由、、三点共线，设，结合（1）的结论用，表示出，由、、三点共线，设，同理表示出，根据平面向量基本定理得到方程，求出、，再代入即可；
②依题意可得，，结合①的结论及共线定理即可得证.
【详解】（1）猜想：，
证明：因为，所以
.
（2）①若，，则，，
因为、、三点共线，设，
则，
因为、、三点共线，设，
则，
因为与不共线，所以，解得，
所以.
②因为，，
所以，，
所以，
因为、、三点共线，所以，则（定值）.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的线性运算法则计算；
（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案；
（3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得，①
，②
因为M为线段中点，则，
联立①②得：，
整理得：．
（2）由AM与BD交于点N，得，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．
所以，即．
（3）由题意，可设，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因为，所以，．
在单调递增，
则当时，，当时，，
所以，的取值范围为．
17．
【分析】由是的重心，得到，再由三点共线，得到，结合题意，得出方程组求得，结合基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】如图所示，设边上的中点为，因为是的重心，可得，
根据向量的线性运算法则，可得，
又因为三点共线，可得，即，
可得，
因为，可得，
所以，整理得，即，其中，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
18．
【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】在中，，，则，
故
，
故；
又，而，，
所以，则，
又三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：；
【点睛】结论点睛：若，则三点共线.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量共线表示出向量，进而求出，的关系式，
（2）利用基本不等式即可求解．
【详解】（1）因为点在线段上运动，则，
有
所以．
得,即
（2）
．
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的运算法则，结合，即可求解；
（2）由三点共线，得到，化简得到，根据，求得，令，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为四边形为平行四边形，可得，且，
由向量的运算法则，可得．
（2）由，
因为点在线段上，即点三点共线，
所以存在唯一的实数 ，其中，使得,
所以，
又因为，所以，
令，
可得函数对称轴为直线，故，
即的最大值为

答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.3.1 平面向量基本定理
【第三课】
扩展1 利用平面向量基本定理求参数
例1（2023·安徽省芜湖市·高一统考期中）如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】延长AO，与BC交于点E，如图所示．
又O是△ABC的重心，则E为BC的中点，则，
又D是BC上一点，且，则D是EC的中点，则有，
则，
又，则，，故．
【方法总结】平面向量基本定理与向量共线定理的综合应用问题，关键是利用向量共线定理和平面向量基本定理建立方程组，再利用方程思想找出未知数之间的关系，结合二次函数的图象及其性质可得出其最值或取值范围．
【举一反三1-1】（2023·江苏苏州高一期中）
1．已知中，P为线段上的点，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．1
【举一反三1-2】（2023·湖北省沙市中学期·高一校考期中）
2．如图，已知点在由射线、线段，线段的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且与平行，若，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三1-3】（2023·山东省淄博市·高一校联考期中）
3．如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为 ．
【举一反三1-4】（2023·安徽省皖中名校高一期中）
4．如图，在中，点在边上，且．过点的直线分别交射线、射线于不同的两点，，若，．
(1)求的值；
(2)若恒成立，求实数的最小整数值．
扩展2 运用平面向量基本定理解决几何问题
例2（2023·福建三明一中高一期中）用向量法证明三角形的三条中线交于一点．
【解析】如图，设，，D，E，F分别为三角形ABC三边的中点，
则，，．
设AD与BE相交于点G1，且，，
则，．
因为，
所以解得
即．
再设AD与CF相交于点G2，
同理可得，
故点G1，G2重合，即AD，BE，CF相交于同一点，故三角形的三条中线交于一点．
【方法总结】利用向量方法证明三线共点的一般思路：设三条直线，，中，与 的交点为G，再证明过点G，此时往往要用到向量共线定理，或再设与的交点为，在图形中选择两个简单不共线的向量作为基底，证明，再根据表示与的有向线段同起点，则，重合．
【举一反三2-1】（2023·江苏盐城·高一统考期末）
5．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是 .
【举一反三2-2】（2023·广西玉林高一期中）
6．如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．
（1）试用基底，表示；
（2）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．
【举一反三2-3】（2023·山西师大附中高一期中）
7．如图，在中，M是的中点，点N在上，且，与相交于点P，求与．
（全国·统考高考真题）
8．在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
（全国·高考真题）
9．在中，是边上一点.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（广东·高考真题）
10．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则
A． B． C． D．
（2024·云南楚雄·云南省楚雄一模）
11．已知，，是直线上不同的三点，点在外，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
（2024·四川成都·校联考一模）
12．已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
（北京·高考真题）
13．在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝ ，y＝ .
（2024·安徽滁州一模）
14．设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即 .
（湖南·高考真题）
15．如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且，则x的取值范围是 ；当时，y的取值范围是 .
（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）
16．如图，在中，点是边上一点且，是边的中点，直线和直线交于点，若是的平分线，则 .

试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据三点共线的关系得出，利用均值不等式即可求出结果.
【详解】
设，
所以，
又因为，所以，即，
所以，当且仅当，即时，等号成立，因此，故的最大值为3.
故选：A.
2．D
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的取值范围.
【详解】∵，，
由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，
该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，
当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，
，
∴的取值范围为.
故选：D.
3．3
【分析】设，求出，，再根据P，G，Q三点共线得到，化简即得解.
【详解】解：设，由题意知，
，
由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，
即，
从而消去，得．
故答案为：3
4．(1)3
(2)2
【分析】（1）利用向量的线性表示及向量共线的推论即得；
（2）利用基本不等式可得，进而即得.
【详解】（1）连接．
因为，，，
所以
．
因为，，共线，
所以，．
（2）显然，所以等价于，
即．
因为，当且仅当，
即，时，取到最小值．
于是，
∴．
故实数的最小整数值是2．
5．.
【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
6．（1）,；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底，表示；
（2）由,得出，即可证明结论.
【详解】（1）由题可知：＝，
（2），
共线，
且有一公共点，
∴E，G，F三点共线．
7．，
【解析】设，，则，根据A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数使得，．根据．解出即可。
【详解】解：设，
则，
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数使得，．
故．
而，由平面向量基本定理，得解得
∴，．
故，．
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，属于基础题。
8．B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
9．A
【分析】利用向量的加法的法则，以及其几何意义，把化为，和已知的条件作对比，求出值．
【详解】解：，
，，
故选：A．
10．B
【分析】利用平面几何知识求解
【详解】如图，可知
=，选B.
【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，
11．A
【分析】利用平面向量基本定理解题即可.
【详解】由已知得，
故，
易知，，是直线上不同的三点，故，，三点共线，
必有，解得，
故选：A
12．C
【分析】设，设，，利用向量的基本定理可得，求得，从而问题可解.
【详解】
设，则，，
设，，
则，，
因为，
所以，解得，
所以，即.
故选：C.
13．
【详解】特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.

考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.
14．
【分析】设，将代入，利用向量基本定理，得出的关系式，求解，即可得出结论.
【详解】设，因为，
所以，因为不共线，
所以，解得，，
故答案为：.
15．
【分析】由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以的反向延长线为相邻两边，得到x的取值范围，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到y的取值范围.
【详解】解：如图，,点在射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以的反向延长线为相邻两边，
故x的取值范围是；
当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，,
故y的取值范围是：.
【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四边形法则，属基础题.
16．
【分析】分析可知与共线，可知存在，使得，然后依据、、三点共线以及、、三点共线可得出关于的表达式，结合平面向量的基本定理可求得的值.
【详解】记，，以、为邻边作平行四边形，
因为，则平行四边形为菱形，所以，平分，
且，
因为平分，则、共线，
则存在，使得，

因为、、三点共线，则、共线，则存在，
使得，即，可得，
因为为的中点，所以，，
因为、、三点共线，则、共线，
所以，存在，使得，即，
所以，，
因为、不共线，则，解得，
故，
又因为，所以，，故.
故答案为：.
答案第1页，共2页
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