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6.3.5平面向量数量积的坐标表示【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.平面向量数量积的坐标运算，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理素养，如第1题、第5题、第12题；
2.向量的夹角与垂直问题，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第2题、第3题、第6题、第8题、第13题；
3.向量的模与长度问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第4题、第7题、第11题；
4.平面向量数量积的综合运用，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第9题、第10题、第14题、第15题、第16题；
一、填空题
（2023·全国高一课时练习）
1．若，则 ， .
（2023·上海黄浦·高一课时练）
2．已知向量，则向量与夹角的余弦值为 ．
（2023·全国高一课时练习）
3．已知平面向量，且.写出满足条件的一个非零向量 .
（2023·全国高一课时练习）
4．已知向量，，那么 .
（2023·北京海淀·高一课时练习）
5．已知向量，且，那么实数等于
（2023上·辽宁高一课时练习）
6．已知，，，若，则 .
（2023·陕西榆林·高一课时练习）
7．已知向量，满足，，则 ．
（2023·广东中山·高一课时练习）
8．已知向量，，，若，，则
（2023·黑龙江牡丹江·高一课时练习）
9．已知向量的夹角为，则 .
（2023·广东佛山·高一课时练习）
10．已知边长为2的正方形，是棱上的一动点，则 ．
二、解答题
（2023·全国高一课时练习）
11．已知向量与的夹角为60°，＝1，．
(1)求及；
(2)求.
（2023·山东高一课时练习）
12．在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A，B，C三点，已知向量以A为始点．
(1)试以B为始点画出向量，使，且，并求向量的坐标；
(2)在（1）的条件下，求．
（2023·吉林长春·高一课时练习）
13．在平面直角坐标系中，已知点，，
(1)若三点共线，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
（2023·全国高一课时练习）
14．已知点A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（m，﹣4），其中m∈R．
（1）当m＝﹣3时，求向量与夹角的余弦值；
（2）若A，B，C三点构成以A为直角顶点的直角三角形，求m的值．
（2023·浙江·高一课时练习）
15．已知平行四边形中，，点是线段的中点．
（I）求的值；
（II）若，且，求的值．
（2023·全国高一课时练习）
16．已知平面直角坐标系中，向量.
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若与的夹角为__________，求实数的取值范围.
请在如下两个条件中任选一个，将问题补充完整，并求解（如果两个条件都选则按第1个的答题情况给分）：①锐角；②钝角.
【易错题目】第14题、第16题
【复盘要点】忽视向量的夹角的范围致误
【典例】
（2019人教A版课本练习）
已知向量， ．当k为何值时，与的夹角是钝角？
【答案】且
【分析】由条件可得且不共线，然后可建立不等式求解.
【解析】因为与的夹角是钝角，
所以且不共线，即
所以且.
易错警示：在求向量夹角时，要确保所求的夹角在内，利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝，判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
【复盘训练】
（2023·山东泰安·高一期中）
17．已知向量，若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A． B． C．3 D．
（2023上·北京·高一清华附中校考期中）
18．已知向量，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北黄石高一期中）
19．已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 ．
（2023上·山东·济南市历城二中高一期末）
20．已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
（2023下·广西南宁·高一南宁三中校考期中）
21．已知向量，向量．
(1)若，求与的夹角；
(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 0 3
【分析】利用平面向量线性运算法则和数量积运算法则计算即可.
【详解】，故，
故答案为：0，3
2．##0.5
【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量，所以向量与夹角的余弦值.
故答案为：
3．（答案不唯一，形如）
【分析】设出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示即可作答.
【详解】设，而向量，且，因此，即，又，则令，
所以，取，得.
故答案为：
4．5
【分析】先求出的坐标，再求出其模
【详解】因为向量，，
所以，
所以，
故答案为：5
5．
【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求出.
【详解】，解得，
故答案为：.
6．
【分析】根据向量的线性运算，结合向量的垂直关系，列方程可得解.
【详解】由，，得，
又，则，解得，
故答案为：.
7．
【分析】求出，进而用模长公式进行求解.
【详解】由已知可得，
所以．
故答案为：
8．0
【分析】根据平面向量垂直和平行的坐标表示列方程组求解可得.
【详解】因为，，
所以，解得，
所以.
故答案为：0.
9．1
【分析】用向量的模长和夹角计算即可.
【详解】由，得.
由，得，
整理，得，
解得或（舍去）.
故答案为：.
10．4
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标求解数量积.
【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，，
则.

故答案为：4
11．(1)2，1；
(2).
【分析】（1）利用模长坐标公式求，再由数量积的定义求；
（2）应用向量数量积的运算律求即可.
【详解】（1）由题设，则
（2）由 ，
所以.
12．(1)作图见解析；
(2)
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算即可解决；
（2）利用平面向量的数量积运算结合分类讨论即可解决.
【详解】（1）向量满足，且，则如图，这两个向量均满足题意，证明如下：
向量，，则，得，
因为，解得，所以；
（2）若，，，所以．
若，，．所以．
13．(1)或
(2)
【分析】（1）根据点的坐标得到向量，根据三点共线则向量与向量共线得到方程组，解方程组得到m的值；
（2）根据两直线垂直得到向量的数量积为0，从而得到关于m的方程，解方程得到m的值.
【详解】（1）由题意得，
则由三点共线得存在实数，使得，
即，
解得或.
（2）由得，
即，
解得.
14．（1） ；（2）．
【分析】（1）求出向量，的坐标，运用向量的夹角公式，计算即可得到；
（2）运用向量垂直的条件，即为数量积为0，计算即可得到m．
【详解】解：（1）点A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（﹣3，﹣4），
则，，，
则向量与夹角的余弦值为；
（2）A，B，C三点构成以A为直角顶点的直角三角形，
则有⊥，由于，，
则，解得．
15．（I）4；（II）.
【分析】（I）建立坐标系，利用坐标求解数量积，或者利用数量积的定义求解；
（II）求出向量的坐标，结合向量垂直的坐标表示可求的值，或者位置关系求解.
【详解】法1：（I）
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
，
；
（II）
，
．
法2：
（I）；
（II），∴，
∵，，
∴与重合，
∴．
16．(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）设出向量的坐标，利用向量平行和模长建立方程组，求解方程组可得答案；
（2）先表示出与的坐标，选择夹角为锐角可以利用数量积大于零求解，选择夹角为钝角可以利用数量积小于零求解.
【详解】（1）设，由题意得.
，解得.
，解得，
向量的坐标为或.
（2）.
当与共线时，，解得.
若选①锐角，则，
解得；
与的夹角为锐角时，实数的取值范围为；
若选②钝角，则，
解得，
与的夹角为钝角时，实数的取值范围是.
17．A
【分析】根据平面向量夹角的坐标公式计算即可.
【详解】依题意，，解得.
故选：A.
18．C
【分析】由已知先求出，然后利用求解即可.
【详解】因为，
所以，
则，
故选：C.
19．
【分析】利用数量积小于0且两向量不共线反向列式求解.
【详解】因为与的夹角为钝角，所以且与不平行，所以且，解得且．
故答案为：
20．
【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答.
【详解】因为，，所以，
因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，
所以且，
解得且，所以的取值范围为，
故答案为：.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据得到与的夹角；
（2）根据与的夹角为钝角得到且不反向共线，然后求即可.
【详解】（1）当时，，，与的夹角为.
（2）因为与的夹角为钝角，所以，解得，
当与反向共线，即时，，解得，
综上，实数的取值范围为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.3.5平面向量数量积的坐标表示
[课标要求]
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
[明确任务]
1.用数量积判断两个平面向量的垂直关系（数学抽象）；
2.证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题（逻辑推理）；
3.利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题（数学运算）；
4.用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系（直观想象）；
1.平面向量加、减、数乘的坐标表示；
2.平面向量数量积定义及其运算；.
3.两点间距离公式，三角函数；.
核心知识点1 数量积的坐标运算
设非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2.
例1. 已知．求．
【答案】，
【分析】根据向量的运算法则以及向量坐标的运算求解即可.
【解析】，
，
，
归纳总结　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系
（1）|a|2＝a·a.
（2）（a＋b）·（a－b）＝|a|2－|b|2.
（3）（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
【举一反三】
1．已知，则等于（　　）
A．10 B． C．3 D．
2．已知，，，若，则x等于（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，，则 .
核心知识点2 平面向量的模
（1）若a＝（x，y），则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
（2）若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则a＝（x2－x1，y2－y1），|a|＝.
例2. （1）设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，则|3a＋b|等于（　　）
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】　∵a∥b，∴1×y－2×（－2）＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝（1，2），|3a＋b|＝.
（2）已知向量a＝（cos θ，sin θ），向量b＝（，0），则|2a－b|的最大值为________．
【答案】　2＋
【解析】　2a－b＝（2cos θ－，2sin θ），
|2a－b|＝＝，
当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.
归纳总结 求向量a＝（x，y）的模的常见思路及方法
（1）求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．
（2）a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
【举一反三】
4．已知向量，，，则等于（　　）
A． B． C．5 D．25
5．设向量，且，则 ， .
核心知识点3 平面向量的夹角、垂直问题
（1）cos θ＝＝.
（2）a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
例3.已知a＝（4，3），b＝（－1，2）．
（1）求a与b夹角的余弦值；
（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值．
【解析】（1）因为a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.
（2）因为a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8），
又（a－λb）⊥（2a＋b），
所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，解得λ＝.
例4. 若点，，，则是什么形状？证明你的猜想.
【解析】如图，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.
证明如下：
因为，
，
所以..
于是.
因此，是直角三角形.
归纳总结 解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.
（2）注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝
判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
【举一反三】
6．已知向量. 若向量的夹角为，则实数
A． B． C．0 D．
7．已知向量，若向量与垂直，则 .
8．若向量，，，则等于（　　）
A．3 B．
C． D．
9．已知，则与夹角的余弦值为（　　）
A． B．
C． D．
10．已知向量，若与垂直，则等于（　　）
A．1 B．
C．2 D．4
11．若平面向量与的夹角是180°，且，则等于（　　）
A． B．
C． D．
12．已知点，．向量，则 ，＝ .
13．已知向量若，则 .
14．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则的值是 .
15．已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若是单位向量，且，求与的夹角.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.
【详解】由向量，可得，
所以.
故选：B.
2．C
【分析】运用向量的坐标运算规则进行求解.
【详解】解：由题意可得，，
所以，，
所以，解得x＝4.
故选：C.
3．
【分析】建系，根据平面向量的坐标运算求解.
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，则，
因为，则，可得，
所以.
故答案为：.
4．C
【分析】对进行平方，结合已知条件进行求解.
【详解】因为，故，
又，所以，
即，
即，解得.
故选：C.
5．
【分析】由，化简得到，列出方程求得，再由向量模的坐标运算公式，即可求解.
【详解】由向量且，
可得，所以，
则，解得，所以，
所以，则.
故答案为：；.
6．B
【分析】运用向量的数量积表示出向量点乘结果，然后求出的值
【详解】，
根据题意可得：
即
两边平方化简可得
故选
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，属于基础题．
7．
【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，可得
因为与垂直，可得，解得.
故答案为：.
8．A
【分析】根据向量数量积的坐标运算规则进行求解.
【详解】因为，
故.
故选：A.
9．A
【分析】根据题意，结合数量积的运算公式和向量夹角公式，准确计算，即可求解.
【详解】由向量，
可得，且，
所以.
故选：A.
10．C
【分析】根据两向量垂直的充要条件列出关于的方程，求解即得.
【详解】由与垂直可得：，
得：，故.
故选：C.
11．A
【分析】根据题意，可设，结合，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】因为平面向量与的夹角是180°，所以且方向相反，
可设，其中，
又因为，可得，
因为，所以，所以.
故选：A.
12． 7
【分析】先求解出，根据数量积运算规则求出；求出坐标，根据模的运算规则得出结果.
【详解】因为，，所以，又，
所以，
，
故.
故答案为：7；
13．
【分析】根据向量坐标的加减运算，利用垂直数量积为0的性质即可得解.
【详解】由题意得，
因为，
所以，解得．
故答案为：.
14．
【分析】由于向量的数量积可以进行坐标运算，所以将几何问题转化为代数问题，建立以A为原点，
AB所在直线为x轴的平面直角坐标系，分别写出A、B、E的坐标，再通过向量的坐标运算
即可求出向量的数量积.
【详解】解析　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
∵AB＝，BC＝2，
∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，
∵点E在边CD上，且＝2，
∴E.∴＝，＝，
∴.
15．(1)或
(2)
【分析】（1）设，由，且，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.
【详解】（1）解：设，因为，且，
可得，解得或，
所以或.
（2）解：因为，且为单位向量，可得，，
又因为，可得，所以，
则，
因为，所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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