资源简介

6.3.1 平面向量基本定理【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.基底的概念，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理素养，如第1题、第7题、第11题、第14题；
2.用基底表示向量，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第2题、第5题、第8题、第9题、第13题；
3.平面向量基本定理的应用，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第3题、第4题、第6题、第10题、第12题、第15题；
（2023下·河南·高一校联考期中）
1．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．与
C．与 D．与
（2023·江西宜春高一期中）
2．在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·广西玉林·高一校考期中）
3．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（ ）

A． B．3 C．1 D．
（2023·湖北孝感·高一期中）
4．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（ ）

A． B．2 C． D．3
（2023·山东德州·高一统考期末）
5．如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口.六边形开口可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）
6．如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（ ）

A． B． C． D．
（2023·河南洛阳·栾川县高一期中）
7．如果是平面内两个不共线的向量，那么选项中正确的是（ ）
A．可以表示平面内的所有向量
B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个
C．两向量共线，则有且只有一个实数，使得
D．若存在实数使得，则
（2023下·福建漳州·高一校联考期中）
8．如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是（ ）

A． B．
C． D．
（2023·湖南邵阳高一期中）
9．已知的两条对角线相交于点O，以，为基向量，则 .
（2023·陕西商洛·高一校考期中）
10．在中,为的中点,为线段上一点,若,则的值为 .
（2023·山西师大附中高一期中）
11．已知、不共线，，，要使、能作为平面内的一组基，则实数的取值范围为 ．
（2023下·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考期末）
12．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 .
（2023上·河南焦作·高一期中）
13．如图，平行四边形的对角线AC和BD交于点M，E在BC上，且，直线DE与AB的延长线交于点F，记，．

(1)试用，表示、；
(2)试用，表示．
（2024上·辽宁丹东·高一统考期末）
14．己知向量以为基底的分解式为，其中.
(1)求m，n的值；
(2)若，且，求k的值.
（2023下·福建漳州·高一统考期末）
15．如图，在中，，点是的中点，设，

(1)用表示；
(2)如果，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.
【易错题目】第10题、第12题
【复盘要点】三点共线定理是2019人教A版必修二6.3.1平面向量基本定理一节中，的例1内容，定理在某些题目中应用起来会起到事半功倍的效果，具体应用如下.
例1.（2023上·北京·高一北京市第十二中学校考期中）在中，，若点D满足，则 .
【答案】1
【分析】利用向量的几何关系，结合加减法及已知条件用表示出，即可得结果.
【详解】如图
由题设，，而，
所以，又，
则，故.
故答案为：1
易错警示：三点共线定理：如图，如果三点共线，点是平面内任意一点，若，则.反之也成立.
这个定理可以用来证明三个点是否在同一条直线上，也可以用来求出直线上的一点到已知两点的距离.
【复盘训练】
（2023·甘肃天水高一期中）
16．在中，D为线段BC上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·重庆开州·高一临江中学月考）
17．如图，在中，为线段上的一点，，且，则 .
（2023·湖北黄石高一期中）
18．已知的面积为24，点D，E分别在边BC，AC上，且满足，，连接AD，BE交于点，则的面积为 ．
（2024上·广东汕头·高一统考期末）
19．如图，正方形中，，是线段上的动点且（），则的最小值为 ．
（2023下·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）
20．如图，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若点满足，证明：，，三点共线．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】判断出哪个选项的两个向量共线即可.
【详解】对于C，共线，不能作为基底，
对于ABD，两组向量都不共线，
故选：C.
2．D
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，．
两式相减，得，所以．
故选：D．
3．D
【分析】运用平面向量基本定理，结合图象即可得到问题答案.
【详解】根据图象，

根据平面向量基本定理，可知：，
所以，，
，
故选：D.
4．B
【分析】先将分别用表示，再结合题意即可得解.
【详解】，
，
所以，
又因为，
所以.
故选：B.
5．B
【分析】根据正六边形的性质及平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】解：因为，，由正六边形的性质可知，，
所以，，
所以
.
故选：B
6．D
【分析】根据向量加法的几何意义，结合已知，即可得出答案.
【详解】
根据向量加法的几何意义可知，
当时，由可知，点应落在区域1，不符合题意；
当时，由可知，点应落在区域2，不符合题意；
当时，由可知，点应落在区域3，不符合题意；
当时，由可知，点应落在区域4，符合题意.
又当时，根据向量加法的几何意义可知，此时点应落在阴影区域之外，所以.
故选：D.
7．AD
【分析】由平面向量基本定理、共线向量定理以及零向量的定义即可求解.
【详解】由平面向量基本定理可知，AD是正确的．
对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于C，当时，不存在这样的，故选A，D.
故选：AD.
8．BC
【分析】根据向量线性运算依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由B知：，D错误.
故选：BC.
9．
【分析】根据平行四边形的性质，结合图形即可得出答案.
【详解】
根据平行四边形的性质可知，.
故答案为：.
10．
【分析】先转化基底为,再利用三点共线即可求解.
【详解】如图:,
又因为三点共线,所以得.
故答案为:.
11．
【分析】依题意可知与不共线，则，根据平面向量基本定理得到不等式组，解得即可.
【详解】因为、不共线，所以与能作为平面内的一组基，
若、能作为平面内的一组基，则与不共线，
因为，，所以，
即，即，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：
12．
【分析】解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值.
解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值.
【详解】解法1：因为，所以，
又，
所以
因为点三点共线，
所以，
解得：.
解法2：
因为，设，
所以，
因为，所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以 解得： ，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.
13．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则求出，再利用向量减法法则求出作答.
（2）利用平行线的性质探求出，再利用向量减法法则求解作答.
【详解】（1）平行四边形的对角线AC和BD交于点M，
，
.
（2）点E在BC上，且，，则，
于是，即，，
所以.
14．(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量基本定理，列方程组求m，n的值；
（2）利用向量共线的条件，计算k的值.
【详解】（1），
则有，解得.
（2），由，有，
即，则，解得.
15．(1)，
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简，即可求解；
（2）因为，化简，即可得到结论.
【详解】（1）解：因为，所以，
因为是的中点，
可得
（2）解：.
因为，
则
以，所以.
16．D
【分析】可画出图形，根据即可得出，从而得出，解出向量即可．
【详解】如图，
，
，
，
．
故选：D
17．2
【分析】根据图形，利用平面向量的运算法则即可.
【详解】由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由，
得，即，所以，.
所以.
故答案为：.
18．4
【分析】根据平面向量的线性运算，结合三点共线的结论，即可由比例得面积关系.
【详解】由，得,
设,所以,
由于三点共线，所以，
所以，
由可得,所以,
由得.
故答案为：4

19．##
【分析】通过设将用的另一个表达式表示，再结合题设条件推得，运用常值代换法和基本不等式即可求得.
【详解】因是线段上的动点，不妨设,则，又，
则,
又，故得：，解得：.
因，于是由，
当且仅当时等号成立，即时，的最小值为.
故答案为：.
20．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可.
（2）利用三点共线的判定证明即可.
【详解】（1）因为，
，
.
（2）由，
可得，
所以，，即，
所以，，三点共线.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.3.1 平面向量基本定理
题型一 对基底的理解
例1. 如果，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】选项A中，设，则无解；
选项B中，设，则无解；
选项C中，设，则无解；
选项D中，，所以两向量是共线向量，故D中向量不能作为基底．
【方法技巧与总结】基底不能是共线向量，判定两个向量能否构成基底，主要看这两个向量是否共线．
【变式训练1-1】（2024·贵州六盘水高一期末）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量
B．在平面向量基本定理中，若，则
C．若单位向量，的夹角为，则在上的投影向量是
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的
【变式训练1-2】（2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）
2．若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．可以表示平面内的所有向量
B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D．若存在实数，，使，则
题型二 用基底表示向量
例2．（2023·安徽铜陵·高一期中）已知AD是边BC上的中线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．
【答案】D
【解析】如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，则．
因为，所以．
【方法技巧与总结】平面向量基本定理的作用以及注意点：
（1）根据平面向量基本定理，平面内的任一向量可用同一个基底表示，进而建立起了向量之间的联系．
（2）基底的选择，一般遵循“模已知、夹角已知”的原则．
（3）利用已知向量表示未知向量时，通常借助向量加法、减法、数乘运算的几何意义，将向量集中在封闭的图形中，利用三角形法则或者平行四边形法则快速找到表示法．
【变式训练2-1】（2023·四川南充·高一统考期末）
3．在中，且角的平分线交于则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】（2023·江西赣州·高一期末）
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（2023·河南开封高一期中）
5．如图，梯形中，，点M，N分别是，的中点，且，设，，以为基底表示向量.
题型三 对平面向量基本定理的理解与应用
例3．（2023·四川成都·高一期中）在中，，，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【思路分析】先找出一个基底，再用这个基底分别把等式两边的向量表示出来，然后利用方程（组）求解．
【答案】C
【解析】因为，所以，即点D在BC的延长线上，且C为BD的中点，则，
所以，，则，故选C．
【方法技巧与总结】
（1）对任一向量基底表示的唯一性的理解：
条件一 平面内任一向量和同一平面内两个不共线向量，
条件二 且
结论
（2）任一向量基底表示的唯一性的应用：
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量，的线性组合，即存在实数，，使．
在具体求，时有两种方法：
①直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．
②利用待定系数法，即利用定理中，的唯一性列方程组求解．
【变式训练3-1】（2024上·福建厦门外国语学校·高一期中）
6．如图，在中，令，，D，E分别是BC，AC上的点，且满足，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练3-2】（2023·河南濮阳·高一统考期中）
7．如图，在中，点分别在边上，且均为靠近的四等分点，与交于点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【变式训练3-3】（2023·四川泸州·高一统考期中）
8．如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底表示向量.
易错点 基底概念理解不透，判断出错
【典例】（2023·江苏镇江·高一镇江市实验高级中学高一期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【解析】由于是平面内的一个基底，故不共线，根据向量的加减法法则可知和不共线，和不共线，和不共线，故A，B，C中向量能作为平面的基底，
，故和共线，不能作为平面的基底，D错误，
故选：D
易错警示
（1）两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的．
针对训练1-1（2023·广西玉林·高一期中）
9．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（ ）
A． B．
C． D．
针对训练1-2（2023·吉林通化·高一期中）
10．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
针对训练1-3（2023下·山东泰安·高一统考期末）
11．若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
针对训练1-4（2023下·山东泰安·高一统考期末）
12．已知、不共线，，，要使、能作为平面内的一组基，则实数的取值范围为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．ABC
【分析】选项A，由基底的定义判断；选项B，由判断；选项C，由在方向上的投影向量的定义判断；选项D，由基底的定义判断.
【详解】选项A，作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，
因此，一定都是非零向量，故A正确；
选项B，，由在同一基底下向量分解的唯一性，得，故B正确；
选项C，在方向上的投影向量为，故C正确；
选项D，只要不共线的两个向量都可以作为基底，所以表示同一平面内所有向量的基底是不唯一的，故D错误；
故选：ABC
2．BC
【分析】根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断.
【详解】由题意可知：，可以看成一组基底向量，
根据平面向量基本定理可知：A，D正确，B不正确；
对于C，当时，则，
此时任意实数均有，故C不正确；
故选：BC．
3．A
【分析】由用平分线定理得，，然后利用向量的加法法则和减法法则计算化简，
【详解】因为是角的平分线，　，，
所以，
故选：A．
4．B
【分析】由已知可得出，利用平面向量的线性运算得出，再结合平面的基本定理可得结果.
【详解】由题意得，
所以，即，
故选：B．
5．，.
【解析】以，为基底， 根据向量的线性运算，结合图形即可求解.
【详解】∵，且，
∴.
∵，
∴
.
又∵，且，，
∴
.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，基底的概念，属于中档题.
6．B
【分析】设，结合平面向量的加减运算，利用平面向量基本定理求解.
【详解】解：设，
则，
，
，
，
又，
所以，
解得，
所以，
故选：B
7．B
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面共线向量的性质进行求解即可.
【详解】设，，
因为，
，
所以有，
即，因此，
故选：B
8．
【详解】试题分析：
根据N，E，B三点共线和C，E，M三点共线分别得到向量关于基底的分解式，根据分解式的唯一性可得系数相等，由此可得向量关于基底的表达式．
试题解析：
由题意得，，
由N，E，B三点共线知存在实数m，满足.
由C，E，M三点共线知存在实数n，满足.
所以.
由于为基底，
所以，解得
所以.
点睛：应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，平面的基底可以有无穷多组．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
9．B
【分析】利用基底的定义求解.
【详解】由题中图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，
与与不共线，可作为基底向量．
故选：B.
10．C
【分析】根据两个向量满足平面的一组基底，需这两个向量不共线，由此逐一判断可得选项．
【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，所以，所以此两个向量不可以作为基底.
故选：C．
11．C
【分析】根据向量共线定理逐一判断.
【详解】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选；
对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选；
对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C；
对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；
故选：C
12．
【分析】依题意可知与不共线，则，根据平面向量基本定理得到不等式组，解得即可.
【详解】因为、不共线，所以与能作为平面内的一组基，
若、能作为平面内的一组基，则与不共线，
因为，，所以，
即，即，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑