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6.3.5平面向量数量积的坐标表示
题型一 平面向量数量积的坐标表示
例1. （2023·北京北大附中高一期末）已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P满足
，则______；_____.
【分析】先根据图形建立恰当的平面直角坐标系，然后标出各点坐标，根据条件求出点P的坐标，最后求.
【答案】 10
【解析】如图，以A为原点，的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，，.
设，所以，，.
因为，所以，解得，，
所以，所以，所以.
又，所以.
【方法技巧与总结】向量数量积运算的途径及注意点：
（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算.
（2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，看到题目中的直角条件要敏锐地产生建系的想法，并写出相应点的坐标求解.
【变式训练1-1】（2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）
1．函数的部分图象如图所示，则=
A．6 B．14 C．3 D．6
【变式训练1-2】（2024·河北邯郸高一期末）
2．已知，，则 .
【变式训练1-3】（2024·江苏盐城高一期末）
3．在中，，，，为的重心，在边上，且，则 ．
【变式训练1-4】（2023·湖北黄石高一期末）
4．已知，.
(1)设，求；
(2)求向量在上的投影的数量.
题型二 向量的垂直及应用
例2.（2023·安徽铜陵·高一期中）已知向量，，且，则m的值为（　　）
A.3 B.1 C.1或3 D.4
【答案】A
【解析】因为，，所以.
又因为，所以，所以，
即，解得.故选A.
【方法技巧与总结】设两个非零向量，，则
，即.
.
注意向量平行与垂直坐标表示的区别，有关向量的垂直问题，通常利用向量的数量积为0来解决，
【变式训练2-1】（2023·安徽亳州第一中学·高一期末）
5．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（2023·吉林省吉林市·高一期末）
6．已知向量，则与向量垂直的单位向量的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
题型三 向量的模
例3.（2023·江西南昌莲塘一中·高一期中）设，向量，，，且，，则（　　）
A. B. C.3 D.4
【答案】B
【解析】∵，∴，解得，则.
∵，∴，解得，则.
∴，则.故选B.
【方法技巧与总结】（1）用字母表示的向量的模的运算：利用，将向量模的运算转化为向量
与向量的数量积的问题；
（2）用坐标表示的向量的模的运算：若，则，则.
【变式训练3-1】（2023·湖北华中师大附中·高一期中）
7．已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0 B．48 C． D．
【变式训练3-2】（2023·北京育英学校·高一统考期中）
8．已知向量，，则 .
【变式训练3-3】（2023·江苏淮安·高一统考期中）
9．已知，设向量，.若，则 .
题型四 向量的夹角
例4.（2023·江西南昌莲塘一中·高一期中）已知向量，，则向量，的夹角为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路分析】先求向量的坐标，再求向量，夹角的余弦值，最后根据向量夹角的范围确定角的大小.
【解析】由，得，
故，，.
设向量，的夹角为，则.
又因为，所以.故选B.
【方法技巧与总结】先利用向量的坐标求出向量，的数量积以及，，再由，求出，也可由，直接求出.由三角函数值求角时，应注意角的取值范围是（为与的夹角）.所以用来判断时，可将分为五种情况：若，则；若，则；若，则；若且，则为钝角；若且，则为锐角.
【变式训练4-1】（2023·江西宜春·高一统考期中）
10．已知向量，且与的夹角为锐角，则实数满足
A． B．
C．且 D．且
【变式训练4-2】（2023·安徽宣城·高一统考期中）
11．已知向量且向量，设向量与向量的夹角为，则 ．
【变式训练4-3】（2023·山东青岛·高一统考期中）
12．已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量与的夹角的大小．
易错点1 忽视向量的夹角的范围致误
【典例】（2023·湖北孝感高一期中）已知向量，，，
则与的夹角为（　　）
A. B. C. D.
【错解】∵，
∴.故选B.
【错因分析】因为，所以，故的范围不在内.
【正解】∵，且，，
∴.∴.故选A.
【答案】A
易错警示 在求向量夹角时，要确保所求的夹角在内，并且一方面要保证方程中三角函数同名，另一方面要保证前后两角在相同的单调区间上.
1-1（2023·江苏盐城·高一期中）
13．角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（　　）
A． B． C．或 D．或
1-2（2023·河南周口·高一期中）
14．已知，．
(1)若与垂直，求k的值；
(2)若为与的夹角，求的值．
易错点2 判断图形的形状考虑不周出错
【典例】（2023·江苏盐城·高一期中）已知，，，，
判断由此四点构成的四边形的形状.
【错解】因为，，
所以，所以四边形ABCD是平行四边形.
【错因分析】判断四边形的形状一般按以下步骤进行：（1）是否是平行四边形；（2）是否是矩形或菱形；
（3）是否是正方形，其中判断是否为平行四边形要利用向量相等，判断是否为矩形或菱形要利用向量垂直.
【正解】因为，，
所以，所以四边形ABCD是平行四边形.
因为，
所以，
所以，所以四边形ABCD是矩形.
易错警示 在判断图形的形状时，我们要从边和角两方面来考虑，从而判断出一个最准确的形状，有时容易因为考虑不全面而导致判断错误.
2-1（2023·山东泰安高一期中）
15．已知，，则 时，是直角三角形．
2-2（2023·山西长治·高一校考期中）
16．在四边形ABCD中，已知，，，.
（1）判断四边形ABCD的形状；
（2）求向量与夹角的余弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】首先结合正切函数图象得到点A与点B的坐标，进而表示出，然后利用向量数量积的坐标运算法则进行解答即可．
【详解】在中，
令，得，所以点A的坐标为；
令，得，所以点B的坐标为．
∴，
∴，
∴.
故选D．
【点睛】本题考查数量积的运算和正切函数的性质，求解的关键是根据正切函数的图象得到点的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算求解，考查转化能力和计算能力．
2．38
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算可求出结果.
【详解】.
故答案为：38
3．
【分析】根据为的重心，得到，再由和，利用等面积法求得，进而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】解：因为为的重心，
所以，
因为，
所以，则，
因为，所以，
即，
所以，
在中，．
方法一：因为，
，
所以，
．
方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，
由方法一可知，，
所以．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用向量的坐标运算，以及数量积的运算公式，准确运算，即可求解；
（2）根据题意，利用向量的数量积的几何意义，即可求解.
【详解】（1）解：由向量，，
可得，且，
所以.
（2）解：由向量，，可得，且，
所以向量在上的投影的数量为.
5．B
【分析】首先求出的坐标，再根据向量垂直得到，即可求出参数的值；
【详解】解：因为，所以
因为，所以，解得
故选：B
6．D
【分析】先写出与之垂直的一个向量，然后再求得与此垂直向量平行的单位向量即得．
【详解】易知是与垂直的向量，，
所以与平行的单位向量为或，
故选：D．
7．C
【分析】由向量反向共线求得，再应用向量线性运算及模长的表示求.
【详解】由题意，得，
又与反向共线，故，此时，
故.
故选：C.
8．
【分析】根据向量的坐标运算，求得，结合模的坐标运算，即可求解.
【详解】由向量，，所以，
所以.
故答案为：.
9．2
【分析】按向量的坐标运算规则展开即可.
【详解】因为
所以
所以
所以
解得
故答案为：2.
10．C
【详解】由题意知，向量，且与的夹角为锐角，
则根据向量的数量积可知，，而,则，
同时不能共线且同向，则，
据此可得且，
本题选择C选项.
点睛：向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．
11．
【分析】利用向量夹角的坐标表示求即可.
【详解】由题设，，，则，，
所以.
故答案为：
12．（1），；（2）.
【分析】（1）利用平行、垂直的坐标表示列方程，由此求得，进而求得与.
（2）利用向量夹角公式计算出，进而求得向量与的夹角的大小.
【详解】（1）由得，，
所以，即，
由得，，
所以，即.
（2）由（1）得，
，
所以，，，
所以，
所以向量，的夹角为.
13．C
【分析】根据题意，求得，，结合向量的夹角公式，求得，分类讨论，即可求解.
【详解】由点P在的终边上，且，可设，所以
又由，可得，则，
可得，
当时，；当时，.
故选：C.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合垂直的坐标表示求解作答.
（2）利用向量夹角的坐标表示计算作答.
【详解】（1）因为，，则，，
依题意，，解得，
所以.
（2）由（1）知，，，则，，
因此，而，
所以.
15．或或
【解析】分角分别为直角时,利用垂直向量的性质求解即可.
【详解】①当时,
∵,∴．∴,解得．
②当时,
∵,且,
∴,解得．
③当时,∵,∴,
即,∴．
故答案为：或或
【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用,属于中等题型.
16．（1）等腰梯形；（2）
【分析】（1）计算得到，且，得到答案.
（2），，利用夹角公式计算得到答案.
【详解】（1），，故，
，，故，故四边形ABCD为等腰梯形.
（2），，故.
【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，向量夹角，意在考查学生的计算能力和应用能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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