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6.3.5平面向量数量积的坐标表示
【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.平面向量数量积的坐标运算，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理素养，如第1题、第6题、第9题、第13题；
2.向量的夹角与垂直问题，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第3题、第12题、第15题；
3.向量的模与长度问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第2题、第4题、第11题、第16题；
4.与数量积有关的参数最值与范围问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第5题、第7题、第8题、第10题、第14题；
一、单选题
（2023·陕西咸阳·高一校考期中）
1．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
（2024·广东佛山高一统考期末）
2．已知向量，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
（2023·湖北黄石高一期末）
3．已知向量，，且与的夹角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·贵州遵义·高一统考期末）
4．已知，，，，若，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
（2024上·广东深圳·高一统考期末）
5．已知是边长为2的正六边形的一个顶点，则的最小和最大值分别是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·浙江杭州浦江中学校高一联考期中）
6．设非零向量和的夹角为，定义运算：.已知，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校联考期中）
7．设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·广东广州六中高一校考期末）
8．如图，在平面四边形中，，，，，若为线段上的动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
（2023下·广西柳州·高一统考期末）
9．在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ）
A．
B．与的夹角为
C．在方向上的投影向量的坐标为
D．与垂直的单位向量的坐标为或
（2023下·浙江舟山·高一统考期末）
10．已知是边长为1的正方形边上的两个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为2
C．的最小值为
D．的最大值为1
三、填空题
（2023·陕西安康·高一期中）
11．已知平面向量，的夹角为，则 ．
（2023·江西宜春高一统考期中）
12．已知向量，，，若，则等于
（2023上·山西吕梁·高一期末）
13．已知 ，，且，则在上的投影向量为 ．
（2023·天津河东·高一期末）
14．△ABC中，AC = BC，∠BAC = ，D为BC中点，E为AB中点，M为线段CE上动点，= 4，则| AC | = ；的最小值为 .
四、解答题
（2023下·山西朔州·高一校联考期末）
15．已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
（2023·浙江丽水·高一统考期末）
16．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点.
(1)求的余弦值.
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由.
【易错题目】第8题、第10题、第14题
【复盘要点】 运用向量数量积求参数的最值与范围问题，基本思路是利用向量数量积坐标运算建立关于参数的函数关系式，再运用函数或基本不等式可得出其最值或取值范围．
（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）
典例.在等腰梯形中，∥，，，为的中点，点是边上一个动点，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标运算可得，进而可得结果.
【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，
设，
可得，
则，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
易错提示：应用向量数量积坐标运算求参数的最值或范围的基本思路：
1. 确定问题中的向量和参数：首先，明确问题中涉及的向量及其坐标表示，以及与参数相关的向量或函数；
2. 建立向量关系：根据问题的条件，找到向量之间的关系（共线、平行）等；
3. 转化为坐标形式：将向量关系转化为坐标形式，利用向量的坐标运算规则进行计算；
4. 构建目标函数：根据问题的要求，构建与参数相关的目标函数，通常是一个关于参数的表达式；
5. 求解参数的最值或范围：根据目标函数，通过函数性质、求解方程、基本不等式等方法，确定参数的最值或范围.
【复盘训练】
（2023·湖南永州高一期末）
17．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
（2023上·天津北辰·四十七中学高一期中）
18．如图，等腰梯形ABCD中，，，点E是线段BD上的动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
（2023上·江苏连云港·高一统考期中）
19．设，，都是单位向量，且与的夹角为60°，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·云南曲靖·高一曲靖一中期中）
20．已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为 .
（2023·山东菏泽三中高一期末）
21．设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ．
（2023·四川攀枝花高一期末）
22．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据数量积得运算律计算即可.
【详解】由，
所以，则.
故选：C
2．A
【分析】由求出，从而可求解.
【详解】由，，所以，
因为，所以，得，
所以，故A正确.
故选：A.
3．B
【分析】先表示出，然后根据求解出的值.
【详解】因为，，
所以，所以，
解得或（舍去），
故选：B.
4．B
【分析】由向量的运算和三角函数即可得的值.
【详解】，，
，
，
因为，
所以，，
即，显然，
所以，，
又，所以或.
故选：B
5．C
【分析】在正六边形中建立直角坐标系，求得各顶点的坐标，根据数量积的坐标运算计算即可．
【详解】由题意，在边长为2的正六边形中，建立如图所示坐标系，
则，，，，，，
则，，，
，，，
，，
，，
显然为最大值，为最小值，
故选：C．
6．C
【分析】先根据，求得，，，
进而可得，进而由可得.
【详解】由，得：
，，，
故，
因，故
由题意，
故选：C
7．C
【分析】利用向量在向量上的投影向量得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：向量在向量上的投影向量为，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：C
8．C
【分析】先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
【详解】因为，两边平方化简得，即，
如图所示的平面直角坐标系，

，所以，
所以，又F为线段DE上的动点，
设，则，所以
则，
所以，又
所以当时，取最小值为4.
故选：C.
9．BD
【分析】求出即可判断A选项，设与的夹角为，求出即可判断B选项，设与同向的单位向量为，求出，根据在方向上的投影向量的坐标为即可判断C选项，设与垂直的单位向量为，解即可判断D选项．
【详解】因为点，，，
所以，，所以，
所以，故A选项错误；
设与的夹角为，所以，
所以与的夹角为，故B选项正确；
设与同向的单位向量为，，
所以在方向上的投影向量的坐标为，故C选项错误；
因为，设与垂直的单位向量为，
则，解得或，
所以与垂直的单位向量的坐标为或.
故D选项正确.
故选：BD.
10．AD
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式逐项计算后可得正确的选项.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则，，
设，
其中或时，；或时，；
或时，；或时，.
又，
对于A，，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为，故A正确.
对于B，，
因为，，故，
而，故，所以的最大值不可能为2，故B错误.
对于C，，
因为，故，
当且仅当时，；
当且仅当时，；
所以的最小值为，的最大值为1，
故C错误，D正确.
故选：AD.
【点睛】思路点睛：对于几何图形下的数量积的计算问题，如果图形比较规则，则可以考虑建立平面直角坐标系，让数量积的计算问题归结为坐标计算，另外在估计多变量的代数式的最值时，可利用不等式的性质结合等号成立的条件来处理.
11．
【分析】利用向量的坐标表示可得，将平方代入计算即可求出.
【详解】由得，
由的夹角为，得，
又，所以，
所以．
故答案为：
12．
【分析】确定，再利用向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】，，，
，即，即，解得.
故答案为：.
13．
【分析】根据模得数量积，再由已知可得数量积，根据投影向量的定义求解即可得答案.
【详解】由题可得：，整理得，则
又 ，，所以，则，
则在上投影向量为.
故答案为：.
14． 4
【分析】根据即可条件可判断出△ABC为等边三角形，再根据向量的数量积运算公式展开题中式子即可算出三角形边长，最后根据三角形边长建立平面直角坐标系将各点表示出来运用向量的坐标运算即可得出答案.
【详解】空1：由题可知△ABC为等边三角形，，
解得，因此；
空2：如图，设，，，其中，
，，，
当时，，即为的最小值.
故答案为：4；.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）先求出和的坐标，再由，得，从而可求出的值；
（2）由与的夹角为锐角，可得且与不共线，从而可求出的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
，
又，所以，
即，解得；
（2）因为，所以.
因为向量与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
所以，解得且，
即的取值范围是.
16．(1)
(2)存在或者
【分析】（1）建立平面直角坐标系，运用向量法求解夹角即可.
（2）分类讨论点的位置，依据条件求解即可.
【详解】（1）
如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.
则.
由于就是的夹角.
∴.
∴的余弦值为.
（2）设.
.
∴.由题得.
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
∴舍去；
③当点在上时，设，
∴舍去；
④当点在上时，设，
∴.
综上，存在或者.
17．D
【分析】建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量的数量积和三角函数的性质即可求解.
【详解】如图以为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设点，
由题意知，，，则，，
所以，当，即时取最小值，
故选：D.
18．A
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，将向量坐标化即可求解
【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过A且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，，所以．

设，，，（注意判断的取值范围，为后续计算做准备）
则，所以，得，
所以，所以，．
所以，
所以当时，取得最小值，为．
故选：A
19．D
【分析】按题意设出向量坐标，展开运算即可.
【详解】设，，，则
所以
故选：D.
20．
【分析】设，根据已知列出关系式，代入坐标整理得出.表示出，根据二次函数的性质，即可得出最值，求出答案.
【详解】设，
则由，得，所以，
所以，即，化得.
又，
所以.
当时，取得最小值，
此时，即.
故答案为：.
21．
【分析】根据向量垂直列方程求得，进而求得.利用平方的方法，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】因为，所以，即，得，
所以．
由题知，又，
所以当时，取得最小值，最小值为5，
当时，取得最大值，最大值为25，
故的取值范围为．
故答案为：；
22．
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标系表示向量，写出的解析式，再求的取值范围即可.
【详解】以原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.
因为正方形的边长为，所以，
则、，则，
设的中点为，则，，所以，，
因为是半圆上的动点，设点，
则，其中，则，
所以，，
由对称性可知，当点在第三象限的半圆弧上运动时（包含点、），
，
当点在第一象限的半圆弧上运动时（包含点、），的中点为，半圆的半径为，
可设点，其中，则，
，则，
同理可知，当点在第四象限内的半圆弧上运动时（包含点、），
.
综上可知，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页 6.3.5平面向量数量积的坐标表示
【第三课】
扩展1 判断三角形形状问题
（2023·安徽铜陵·高一统考期中）
例1.已知向量，，．若中A为钝角，则实数k应满足的条件是______．
【答案】
【思路分析】中A为钝角，则．
【解析】因为，，，所以，．
因为A为钝角，所以，且 ，
所以解得，则实数k应满足的条件是．
【方法总结】对于判断三角形形状的问题，在中，若已知三点，，，则（1），即时，A为锐角；
（2），即时，A为直角；
（3），即时，A为钝角．
三角形的三个内角均满足（1）时，该三角形为锐角三角形；三个内角有且只有一个满足（2）时，该三角形为直角三角形；三个内角有且只有一个满足（3）时，该三角形为钝角三角形．
【举一反三1-1】
（2023下·河北唐山·高一唐山市第十一中学校考期末）
1．已知，，，则的形状是（ ）．
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【举一反三1-2】
（2024·辽宁丹东·高一统考期末）
2．已知向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为
A．等腰非直角三角形 B．等边三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
【举一反三1-3】
（2023·河南洛阳·高一统考期中）
3．已知，，.
（1）若，判断的形状，并给出证明；
（2）求实数的值，使得最小；
（3）若存在实数，使得，求、的值.
扩展2 与向量数量积有关的最值或取值范围
（2023·福建三明一中高一期中）
例2.在直角三角形ABC中，A为直角，，．若AM是BC边上的高，点P在的边界上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路分析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，利用三角函数知识求点M的坐标，分别确定
点P横、纵坐标的范围，计算，利用一次函数的性质得到结论．
【解析】由，，，可得．
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则，．
∵，，，∴，∴，
∴，∴，
∴，，∴．
由题可知，∴当点P在线段BC上运动时，．
当点P在线段AC上运动时，随点P位置的变化而变化．
设，则，
∴．
同理，当点P在线段AB上时，．
∴的取值范围是．故选D．
例3. 已知点和，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．3 D．
【思路分析】先求向量的坐标，再求，利用二次函数的性质求最小值．
【解析】由题意可得，，则．由二次函数的性质可得，当且仅当时，．故选D．
【方法总结】解决与向量数量积有关的最值（范围）问题，一般是利用数量积的坐标表示转化为关于某一自变量的函数，根据函数的性质以及满足题目条件的自变量的范围，确定函数的值域，从而得到结论．
【举一反三2-1】
（2023·四川南充一中高一校考期中）
4．正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三2-2】
（2023·辽宁沈阳市郊联体高一期中）
5．在等腰梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【举一反三2-3】
（2023·湖南武冈第二中学高一期末）
6．在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三2-4】
（2023·河北邯郸高一期末）
7．已知是边长为的正三角形，E为线段BC上一点（含端点），M为线段AC上一点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三2-5】
（2023·四川泸州·高一统考期末）
8．在中，，P为所在平面内一动点，则的最小值为 ．
【举一反三2-6】
（2023·江苏无锡市北高级中学高一期中）
9．已知向量，，在同一平面上，且，．
(1)若与与垂直，求k的值；
(2)若（其中，当取最小值时，求与的数量积的大小．
（重庆·高考真题）
10．设向量，则等于（ ）
A． B． C． D．
（全国·统考高考真题）
11．已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
（北京·统考高考真题）
12．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
（全国·统考高考真题）
13．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
（全国·统考高考真题）
14．正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
（山东·高考真题）
15．已知向量，若与垂直，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
（湖南·高考真题）
16．已知向量，若时，；时，，则（ ）
A． B．
C． D．
（全国·统考高考真题）
17．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
（福建·高考真题）
18．在中，，则k的值是（ ）
A．5 B． C． D．
（湖北·高考真题）
19．已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（全国·统考高考真题）
20．已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（天津·高考真题）
21．已知向量与向量的夹角是，且，则＝ .
（山东·统考高考真题）
22．已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是 .
（2022·北京·统考高考真题）
23．在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 .
（湖北·高考真题）
24．已知向量，若不超过5，则的取值范围是 .
（天津·统考高考真题）
25．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
（浙江·统考高考真题）
26．已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】根据向量的坐标表示可得，，，再利用向量数量积的坐标表示即可判断.
【详解】根据已知，有，，，
因为，
所以，即．
故为直角三角形．
故选：A
【点睛】本题考查了向量的坐标表示、向量数量积的坐标表示，属于基础题.
2．C
【分析】由向量得出向量的坐标，然后利用平面向量的数量积运算法则求出 ，得出值为0，可得两向量互相垂直，最后分别求出三向量的模，发现互不相等，进而得出三角形ABC为直角非等腰三角形．
【详解】∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，
∴＝－＝(－2，－1)，
∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.
∴△ABC是直角非等腰三角形．
故选C.
【点睛】此题考查了三角形的形状判断，·＝0是解本题的关键.
3．（1）为直角三角形；（2）；（3）.
【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明；
（2）根据题意可得，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；
（3）利用向量共线可得方程组，解得即可.
【详解】（1）当时，为直角三角形.证明如下：
当时，由，，，则，，
此时，即，即，
所以，为直角三角形.
（2）由题意，，，则，
所以，，当且仅当时取等号.
故当时，取得最小值为.
（3）由题意，，，因，
所以，解得.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.
4．B
【分析】以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，写出坐标，设，用数量积的坐标表示计算数量积后由正弦函数性质得范围．
【详解】以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，
圆方程为，在圆上，设，
，，
，
，所以．
故选：B．
5．C
【分析】如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出，即可求出答案
【详解】解：如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得，设，其，
则，
所以，
所以
，
所以当时，取最小值，
故选：C
6．C
【分析】建立平面直角坐标系，写出坐标表示，利用二次函数求出最小值时的坐标，最后利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
则,
设，
因为动点位于直线上，
直线的方程为：，
所以
，
当时，取得最小值，此时，
，
所以，
又因为，
所以，
故选：C.
7．A
【分析】以线段的中点为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立平面直角坐标系，设，则，表示出、，根据数量积的坐标表示及二次函数的性质计算可得；
【详解】解：以线段的中点为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设，则，，，，
由得，，，
所以，因为，
所以当时，当时，
所以.
故选：A.
8．
【分析】建立坐标系，利用向量的坐标运算公式将用的坐标表示，利用配方法求得最小值.
【详解】由题意可建立如图所示的直角坐标系，易知，设，
则，
故．
当且仅当时取得等号，
∴所求最小值为，
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算和配方法求最值，关键在于建立坐标系，用的坐标表达所求的向量的数量积，属中档题.
9．(1)
(2)
【分析】（1）运用平面向量垂直的充要条件的坐标形式列式即可求解（2）求出的坐标之后代模长公式，通过配方，可以判断取何值时，最小，然后代数量积的坐标计算公式即可求解
【详解】（1）
因为与垂直
所以
所以
（2）
所以
当时，取得最小值
此时
所以
10．B
【分析】利用向量数量积运算与线性运算的坐标表示即可求解.
【详解】因为，
所以，，
故.
故选：B.
11．D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
12．B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
13．B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
14．B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
15．C
【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再计算即可.
【详解】由题可知，
因为与垂直，所以，解得，
所以，
故选：C
16．C
【分析】根据平面向量平行的充要条件求出的值，再根据平面向量两垂直的充要条件求出的值即可求解.
【详解】因为，所以，解得，故，
又因为，所以，解得，故，
故选：.
17．C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
18．A
【分析】先写出，再利用向量垂直得到，解出即可.
【详解】，，
，解得，
故选：A.
19．C
【分析】先根据向量的坐标运算求出，再根据向量的模的坐标公式和题意列出关于的不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，因为不超过5，
所以，解得：，
故选：C.
20．AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
21．
【分析】利用向量数量积的坐标表示及模长公式计算即可.
【详解】设，由题意可知，
即，所以.
故答案为：
22．或
【分析】由对称轴方程可设，再由，利用求出即可.
【详解】由题意函数图象的对称轴是，设，
因为，所以，
解得或，所以或.
故答案为：或
23．
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即
故答案为：
24．
【分析】先求出，然后表示出其模，再由题意列不等式可求出的取值范围
【详解】解：因为向量，
所以，
因为不超过5，
所以，解得，
故答案为：
25．
【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
26．
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.
答案第1页，共2页
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