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随机事件与概率
第 1 章
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概率论是研究随机现象统计规律性的数学学科，它的理论与方法在自然科学、社会科学、工程技术、经济管理等诸多领域有着广泛的应用.从17世纪人们利用古典概型来研究人口统计、产品检查等问题，到20世纪30年代概率论公理化体系的建立，概率论形成了自己严格的概念体系和严密的逻辑结构.
本章重点介绍概率论的两个最基本的概念：随机事件与概率.主要内容包括：随机事件与概率的定义、古典概型、条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式以及事件的独立性等.
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END
§1.1随机现象与随机事件
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(1)没有受到外力作用的物体永远保持原来的运动状态；
1.1.1、确定性现象和随机现象
例如：
在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：必然现象和随机现象.
确定性现象：在一定条件下必然出现的现象
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(2)异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥；
(3)市场经济条件下，商品供过于求，其价格下降.
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例如（1）抛掷一枚硬币出现正面还是出现反面;
随机现象：在相同的条件下可能出现也可能不出现的现象
（2）检查产品质量时任意抽取的产品是合格品还是次品
（3）未来一段时间内来到一个服务系统(例如超市、火车站、商场等)的顾客数，
可能是0个，也可能是1个，…，
还可能是1000个， …；
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1 重复性
2 明确性
3 随机性
试验可以在相同的条件下重复进行；
所有可能结果都是明确的、可观测的，
并且试验的可能结果有两个或更多个；
每次试验将要出现的结果事先不能准确
预知，但可以肯定会出现上述所有结果
中的一个.
我们对事物的效果或者性能做一次观察或者进行一次试作叫做试验.如果试验具有以下特点：
则称之为随机试验，简称为试验，通常用字母E1,E2…表示.
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随机试验结果的外在表现即为随机现象.由于随机现象的结果事先不能预知，初看似乎毫无规律.然而，当我们对同一随机现象进行大量重复试验时，发现其每种可能的结果出现的频率具有稳定性，这表明随机现象存在其固有的量的规律性.我们把随机现象在大量重复试验时所表现出来的量的规律性称为随机现象的统计规律性.
抛掷硬币的试验是历史上研究随机现象统计规律性的最著名的试验，该试验结果如表1.1.
统计规律
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试验者 抛掷次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率
De Morgan Buffon Fisher Pearson Pearson 2048 4040 10000 12000 24000 1061 2048 4979 6019 12012 0.5181
0.5069
0.4979
0.5016
0.5005
表1.1 历史上抛掷硬币试验的记录
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　　试验表明:虽然每次抛掷一枚硬币事先无法预知出现正面还是反面，但大量重复该试验时，发现出现正面和反面的次数大致相等，即正面出现的频率在0.5附近摆动，并且随着试验次数的增加，频率更加稳定地趋于0.5.
随机现象是不是没有规律可言
否！
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1.1.2 、样本空间与样本点
　　对于随机试验 ，虽然在每次试验之前不能确定本次试验的结果，但是试验的所有结果在试验之前都是明确可知的，一个随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间，记为 .样本空间的每一个元素 .（每一个可能结果）称为样本点.
　
则试验的样本空间为
例1.1 抛掷一枚硬币，观察正面H和反面T出现
的情况（将这两个结果依次记作 ）,
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例1.2 将一枚硬币掷三次，观察正面H、反面T
出现情况的试验中，
其样本空间为
则试验的样本空间为
例1.3 抛掷一枚骰子，观察出现的点数，
则试验的样本空间为
例1.4 观察一部电梯一年内出现故障的次数.
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则试验的样本空间为
则试验的样本空间为
例1.6 测试某种电子元件的寿命(单位:小时).
例1.5 测量某机床加工的零件长度与零件规定
长度的偏差 (单位：毫米).由于通常可以知道
其偏差的范围，故可以假定偏差的绝对值不大于
某一固定的正数 .
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1.1.3、随机事件
在概率论中，我们称随机试验 的样本空间 的子集为 的随机事件，简称为事件，用大写字母A,B,C 等表示.
个样本点 发生，则称事件A在这次试验中发生，记作 .
例如，在例1.6中，若规定电子元件的
寿命大于5000小时为正品，那么满足这一条件的样本点组成 的子集 ，称A为该试验的一个随机事件. 显然，当A发生时，有 .
在每次试验中，如果事件A中的一
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例1.7在例1.3中，关于抛掷一枚骰子观察出现的点数的随机试验中，
其样本空间为Ω={1， 2， 3，4，5，6}，则
特别地，由一个样本点组成的单点子集，称为基本事件.样本空间 作为它自身的子集，包含了所有的样本点，每次试验总是发生，称为必然事件.空集 作为样本空间的子集，不包含任何样本点，每次试验都不发生，称为不可能事件.
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◎Ｂ={掷出的点数不小于3，不大于5}={3，4，5}，
◎Ｃ={掷出的点数能被4整除}={4}，
◎Ｄ={掷出的点数不超过7}=Ω，
◎Ｅ={掷出的点数超过8}=Ф
都是随机事件．其中，
◎Ａ={掷出奇数点}={1，3，5}，
　　 C是基本事件，D为必然事件， E为不可能事件.
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　　为了通过对简单事件的研究来掌握复杂事件，我们需要研究事件间的关系及运算.由于事件是一个集合（样本空间派生出的子集），因此事件的关系及运算与集合的关系及运算是相互对应的.
1.1.4、事件之间的关系
　　在以下的讨论中，记一个随机试验为E，Ω为 E的样本空间， 为Ω中的样本点，A、B、 是试验 E的事件，也是Ω的子集.
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1、包含关系
　　它表示事件A发生必然导致事件B发生，这时称事件B包含事件A，或者称事件A包含于事件B.
的准确含义是
　 显然，事件 的含义与集合论中的含义是一致的，并且对任意事件A，有
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B
A
　　在例1.7中，B={掷出的点数不小于3，也不超过5}，C={掷出的点数能被4整除}，D={掷出的点数不超过7}，C B，C D．
包含关系维恩(Venn)图
　　在例1.6中，若记 ，
则Ａ Ｂ．
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2、相等关系
它表示在任何一次试验中，Ａ，Ｂ两个事件同时发生或同时不发生．
A＝B A B且B A.
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3、互不相容
　　若事件A与B在任何一次试验中都不能同时发生，则称A与B互不相容(互斥)，否则称A与B相容．
　　在例1.7中，A={掷出奇数点}，B={掷出的点数不小于3，也不超过5}，C={掷出的点数能被4整除}，E={掷出的点数超过8}，A与C、A与E都互不相容，而A与B相容．
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显然事件A与事件B互不相容说明集合A与B无公共元素
　　“事件Ａ和事件Ｂ同时发生”这一事件称为事件Ａ与事件Ｂ的交（或积），记作　　 (或 　)，即
1.1.5 、事件的运算
1、交运算
B
A
交运算维恩(Venn)图
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表示“且”、 “都”、“同时”．
“
”
表示事件 “
”同时发生．
推广：
Ａ与Ｂ不能同时发生；
　A与B互不相容
显然，
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　　在例1.7中，A={掷出奇数点}，B={掷出的点数不小于3，也不超过5}，Ｃ={掷出的点数能被4整除}，AB={3，5}，BC={4} ．
表示事件 “
”同时发生．
　　“事件Ａ和事件Ｂ至少有一个发生”这一事件称为事件Ａ与事件Ｂ的并（或和），记作　　 (或 　　)，即
2、并运算
B
A
并运算维恩(Venn)图
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表示“或”、“至少有一个”．
“
”
推广：
表示事件
至少有一个发生”．
“
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　　在例1.７中，A={掷出奇数点}，B={掷出的点数不小于3，也不超过5}，则A∪B={1，3，4，5}，B∪C={3，4，5}．
“ ”至少有一个发生．
表示事件
3、差运算与对立运算
“事件A发生而事件B不发生”这一事件称为事件A与事件B的差，记作 ，即
B
A
A
B
差运算
维恩(Venn)图
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表示“前者发生且后者不发生”．
“
”
　　在例1.7中，A={掷出奇数点}，B={掷出的点数不小于3, 也不超过5}，则A-B={1}，B-C={3，5}．
　　●相互对立的两个事件在每次试验中有且仅有一个发生．
A与B互不相容.
称
为A的对立事件(或逆事件)，表示A不发生，
●A与B相互对立
记作
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B
A
A
A与B互不相容
对立运算与互不相容维恩(Venn)图
A与
相互对立
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4、完备事件组
①两两互不相容：
如果一组事件
满足下列两个条件：
②在每次试验中，其中至少有一个发生
则称
构成一个完备事件组．
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　◆一个事件组构成一个完备事件组的充要条件是该事件组在每次试验中有且只有一个事件发生．
　◆当完备事件组中仅有两个事件时，它们是一对对立事件．
　◆完备事件组是对立事件概念的推广：对立事件只针对两个事件，完备事件组针对两个及以上的事件．
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与集合的运算类似，事件的运算有如下的运算规律：
●交换律
●分配律
●结合律
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一般差可以转化为真差
差运算与交运算可以相互转化
●对偶律
●差化律
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　　例1.8 设A，B，C为随机试验中的三个事件，则
(2)事件“三个事件都发生”可表示为
(3)事件“A与B同时发生，而C不发生”可表示为
(4)事件“三个事件恰有一个发生”可表示为
ABC；
(1)事件“A发生而B与C都不发生”可表示为
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(6)事件 “三个事件中至少有两个发生”可表示为
利用分配律可得
(5)事件“三个事件中恰有两个发生”可表示为
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　　练习 在图书馆中随意抽取一本书，事件A表示“数学书”，B表示“中文图书”，C表示“平装书”．
中文版的，而且中文图书都不是数学书”．
表示
表示
表示
书”；
“精装的中文数学书”；
“图书馆中的精装书都是中文图
“图书馆中的所有非数学书都是
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