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CHAPTER
06
第6章
动态数列
动态分析是统计分析方法之一,其依据是动态数列。本章阐述了动态数列的概念、作用、种类和编制原则,总量指标、相对指标和平均指标三种动态数列(其中总量指标动态数列是基础),动态分析的水平和速度指标(平均发展水平、平均增长量、平均发展速度和平均增长速度),测定事物变动长期趋势的主要方法(时距扩大法、序时平均法、移动平均法和直线配合法),直线配合法的常用方法,测定季节变动的主要指标。
内容提要
4
第四节　
长期趋势和季节变动
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长期趋势分析
一
（一）长期趋势的概念
长期趋势,是指某种现象在相当长的时期内,发展过程表现为不断增长或不断下降的总趋势。任何现象的发展变化,都同时受多种因素的影响,这些影响因素可大体分为两类:一类是基本因素;另一类是偶然因素。凡总是朝着一个方向促使某种现象不断增长或不断下降的那些因素,属基本因素。时而影响增长时而影响下降,或有时影响有时不影响的那些因素,属偶然因素。
例如,在农业方面,耕作技术的改进、优质化肥的推广使用和种子的改良等对农产量的增长有影响,属基本因素;而气候、雨量和温度等属偶然因素。这些基本因素和偶然因素综合影响的结果,使现象在不同时间上的发展水平时高时低,因而,有时不易看出现象的变化趋势。但运用科学的分析方法,消除那些偶然因素的影响后,被研究现象的发展趋势就比较明显地呈现出来。在统计上,把原来不易看出现象变化趋势的动态数列,通过加工和分析后,使现象的变化趋势明显化的方法,就是长期趋势分析法,又称动态数列修匀法。
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长期趋势分析
一
（二）长期趋势分析法
1.时距扩大法。它是对原来的动态数列扩大时距,达到消除偶然因素的影响,使其明显反映现象发展趋势的方法。例如,表6-2中的第一个动态数列,变化趋势不够明显,若将时距由月扩大为季,新编一个动态数列(见表6-10),该动态数列的发展趋势就十分明显了。
时距究竟扩大到何种程度为宜,应依现象和原动态数列的特点而定,以能明显反映现象的发展趋势为准。
表6-10 某商场2016年各季度商品销售额 单位:万元
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长期趋势分析
一
（二）长期趋势分析法
2.序时平均法。由于时点数列各水平相加无独立存在的意义,因此,时点数列不能直接用时距扩大法,必须利用序时平均法消除偶然因素的影响,以反映现象的变化趋势。例如,表6-3中的那个时点数列的变化趋势不够明显,宜做改变,见表6-11。
这样,该商场2016年售货员人数各季递增的趋势就很明显了。时期数列亦可用此法。
表6-11 某商场2016年各季度平均售货员人数 单位:人
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长期趋势分析
一
（二）长期趋势分析法
3.移动平均法。这种方法也是通过时距扩大计算其移动平均数来削弱偶然因素的影响。
根据各移动平均数编制的动态数列,能较明显地反映现象的发展趋势(见表6-12)。
表6-12 某地区2006—2016年粮食产量 单位:万吨
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长期趋势分析
一
（二）长期趋势分析法
4.直线配合法。动态数列的修匀除上述方法外,还有直线配合法。当然,根据动态数列在散点图上的表现形式接近某种曲线,也可以给它配合以适当的曲线,但直线是基本的、常用的。在此,仅讲直线配合。所谓直线配合,就是根据动态数列在散点图上表现的形式接近一条直线,可利用数学方法给它拟合一条直线,以反映现象的发展趋势。
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长期趋势分析
一
（二）长期趋势分析法
(1)半数平均法。直线趋势方程的一般式为:
yc=a+bt [公式6-19]
式中:yc为趋势值;t为时间变量;a、b为两个待定参数。
设y为原动态数列的实际值,n为数据项数。根据半数平均法的要求,实际观察值y(即现象各期的实际发展水平)与趋势值yc离差之和为零,用公式表示:
∑(y-yc)=0 [公式6-20]
将[公式6-19]代入[公式6-20]得:
∑[y-(a+bt)]=0
即∑y-∑a-∑bt=0
用n除上式后得:
[公式6-21]
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长期趋势分析
一
[例6-11]以表6-12中粮食产量动态数列为例,说明求直线趋势方程式中a、b两个参数值的步骤。
第一步,将原动态数列均分为两半,如果原动态数列为奇数项,删除最初一期的数据。
第二步,用时间顺序数t,即1、2、3、…、10分别代表各年份(见表6-13)。
第三步,分别计算这两半数列时间变量t的平均值和现象实际水平y的平均值(表6-13中已经列出)。
第四步,将 和 的值分别代入[公式6-21]得:
361.4-a-3b=0
441.4-a-8b=0
第五步,解此联立方程得:b=16,a=313.4,将a、b值代入[公式6-19],即为所求的直线趋势方程yc=313.4+16t。
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长期趋势分析
一
[例6-11]
表6-13 半数平均法计算表
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长期趋势分析
一
图6-1　
某地区粮食产量
发展趋势
[例6-11]该直线趋势方程表明:当t=0时,趋势值为313.4,即该直线趋势方程的起点值为313.4万吨,每增加一年,产量平均增长16万吨。将时间顺序1、2、3、…、10分别代替t,就分别得到粮食产量各年的趋势值(见表6-13中的yc栏),将这些趋势值在直角坐标图中描点,并将它们连接起来所形成的直线,就是该现象的趋势直线。它对原动态数列的折线作了修匀,清楚地表明该地区粮食产量的发展趋势(如图6-1所示)。
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长期趋势分析
一
（二）长期趋势分析法
(2)最小平方法。根据现象的有关数列,在建立数学模型的过程中,配以参数值时,广泛使用最小平方法。依最小平方法的要求——实际观察值y与趋势值yc离差的平方和等于最小值Q,用公式表示为:
Q=∑(y-yc)2=最小值
即　Q=∑[y-(a+bt)]2=最小值
根据数学运算,上式可导出下列两个标准方程式:
推导,得:
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长期趋势分析
一
[例6-12]依资料计算表6-14中该地区粮食产量历年的趋势值yc。
表6-14 最小平方计算表
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指数曲线趋势模型
二
当动态数列各期发展水平的环比发展速度大致相同时,即时间数列呈固定速度增长趋势时,就可以配合指数曲线趋势模型。指数曲线趋势模型的一般形式是:
求解a、b参数的方法也很多,这里仅介绍最小平方法。用最小平方法配合指数曲线求解参数,往往需将指数曲线趋势模型yt=abt化为对数形式:lgyt=lga+tlgb,然后配合求直线趋势方程的方法即可得到所求的指数曲线趋势方程。
按最小平方法求直线模型参数公式为:
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[例6-13]某地区2011—2016年人口数资料见表6-15,用指数曲线趋势模型预测2021年和2026年的人口数。
表6-15 某地区2011—2016年人口指数曲线计算表
指数曲线趋势模型
二
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季节变动分析
三
（一）季节变动的概念
季节变动,是指某些现象由于受自然因素和社会条件的影响,在一年之内比较有规律地变动。例如,农作物生产的季节性很强,在我国,大体来说是春种、夏锄、秋收、冬藏;家禽下蛋的高峰季节是在第二季度,所以各种农产品的购销业务和市场价格也就有相应的规律性变动,以农产品为原料的某些工业生产(如榨糖等)亦有相应的季节变动。又如,每年寒暑假期间,总是客运量的高峰期。除春节外,每年端午节前后,糯米的销量最大;中秋节前后,月饼的销量最多。此外,在其他行业(如建筑业、货运业等)也都存在不同程度的季节变动。
季节变动有时会给社会生产和人们的生活造成某些不良影响。例如,在农忙季节所需的农业生产资料,若不能及时供应,就会影响生产的顺利进行;农作物已经成熟,无装运工具和适当的存放场地,会造成损失浪费。为了加强计划性,克服盲目性,更好地组织生产和安排人们生活,需要研究和掌握有关现象的季节变动规律。
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季节变动分析
三
（二）季节变动的测定
统计用以反映季节变动的指标是季节比率,又称为季节指数,它是将现象各月(季)的发展水平与全期的平均发展水平对比得到的一种相对数。但季节比率指标不能根据某一年的资料来计算,因为个别年份的资料受偶然因素影响大,必须用三年以上各月或各季度的完整资料来计算。
季节比率的计算方法大体分为两种:在此,只介绍前一种方法。
一种叫直接平均法,它不考虑长期趋势的影响;
另一种叫剔除法,即先剔除长期趋势的影响,然后计算。
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[例6-14]根据某地区某种商品销售情况列出计算表(见表6-16)。
直接平均法的具体计算步骤如下:
第一步,将三年以上各月或各季度的完整资料排列整齐,见表6-16。
第二步,计算同季(月)的合计数及平均数,即表6-16中的第6、第7行,计算年度的合计数及平均数,即表6-16中的第(5)、第(6)栏。
第三步,计算出全期季(月)的平均数,[例6-14]为5年20个季度的季平均数74.6万吨。
第四步,将各同季(月)的平均数分别与全期季(月)的平均数对比,即为季节比率,如一季度的季节比率为:55.8÷74.6×100%=74.8%;二季度的为:79.6÷74.6×100%=106.7%,余者依此类推,见表6-16第8行。
季节变动分析
三
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[例6-14]
季节变动分析
三
表6-16 某地区某种商品销售季节比率计算表 单位:万吨
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[例6-15]根据表6-16中的资料对该地区这种商品年及各季的销售量进行预测。用最小平方法配合直线趋势方程预测2017年的销售量为380.6万吨,平均每季销售量=380.6÷4=95.15(万吨),则2017年各季的预测值:
第一季度为:95.15×0.748=71.17(万吨)
第二季度为:95.15×1.067=101.53(万吨)
第三季度为:95.15×1.378=131.12(万吨)
第四季度为:95.15×0.807=76.79(万吨)
必须指出,某些现象的季节变动并非是永恒的规律,随着科技的进步和人们生活习惯的改变,某些社会现象的季节变动会被削弱甚至完全消失。例如,鸡在冬天通常不下蛋,但在现代化的养鸡场,用电灯代替阳光延长白昼,室内设有空调,饲料又有专门的配方,讲究营养,所以,鸡在冬天照样下蛋。
季节变动分析
三

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