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CHAPTER
09
第9章
相关与回归分析
相关分析与回归分析是两种既有区别又有联系的统计分析方法。本章阐述了相关关系的概念与特点;相关关系与函数关系的区别与联系;相关关系的种类;相关关系的测定方法(直线相关系数的含义、计算方法与运用);回归分析的概念与特点;回归直线方程的求解及其精确度的评价;估计标准误差的计算。
内容提要
3
第三节　
回归分析的一般问题
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回归分析的概念与特点
一
（一）回归分析的概念
“回归”一词是英国生物学家高尔顿(Francis Galton, 1822—1911)首先提出的。高尔顿在研究父母身高和子女身高的关系时发现:身材特别高的父母所生的孩子其身材并非特别高,而身材特别矮的父母所生孩子的身材也并非特别矮,子辈身高有向父辈平均身高逼近的趋向,他把这种现象叫作“身高数值从一极端至另一极端的回归”。后来,高尔顿的学生皮尔逊(Karl Pearson,1857—1936)把回归的概念同数学的方法联系起来,把代表现象之间一般数量关系的统计模型叫作回归直线或回归曲线,从此诞生了统计上著名的回归理论。此后,“回归”这个词被用来泛指变量之间的一般数量关系。
现象之间的相关关系,虽然不是严格的函数关系,但现象之间的一般关系值,可以通过函数关系的近似表达式来反映,这种表达式根据相关现象的实际对应资料,运用数学的方法来建立,这类数学方法称回归分析。
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回归分析的概念与特点
一
（二）回归分析的特点
与相关分析相比,回归分析的特点有:
1.回归分析的两个变量是非对等关系。
2.回归分析中,因变量是随机变量,自变量是可控制变量。
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回归分析的内容
二
回归分析是指将具有相关关系的现象的变量转变为函数关系,并建立变量关系的数学表达式,来研究变量之间数量变动关系的统计分析方法。具体内容包括两个方面:
确定现象之间相关关系的数学模型
测定数学模型的拟合精度
（一）
（二）
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相关分析和回归分析的区别与联系
三
相关分析与回归分析既相互区别又密切联系,是相辅相成的。相关分析是研究两个或两个以上变量之间相关关系及其密切程度的分析。判断相关关系及其密切程度,一般可通过进行定性与定量分析、编制相关图表、计算相关系数等,来反映相关方向和密切程度。回归分析是指将相关现象的关系转变为函数关系,并建立变量关系的数学表达式,来研究变量之间数量变动关系的统计分析方法。
相关分析和回归分析是研究现象之间相互依存关系的不可分割的两个方面。一般先进行相关分析,测定相关现象之间相关程度的大小,进而决定是否需要进行回归分析,并拟合相应的回归方程,以便进行推算和预测等,因而可以说相关分析是进行回归分析的基础,回归分析是把变量的相关关系转变为函数关系的手段,是相关分析的继续和深入。但需指出,相关分析可以不分自变量和因变量,而进行回归分析时,则必须明确自变量和因变量,当自变量与因变量位置互换时所得到的回归方程则不同。
4
第四节　
一元线性回归模型的
建立与检测
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一元线性回归模型
一
（一）构建回归模型应具备的条件
1.现象间确实存在数量上的相互依存关系。
2.现象间存在直线相关关系。
3.具备一定数量的变量观测值。
A
C
B
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一元线性回归模型
一
（二）回归直线方程的求法
回归直线方程又称一元一次线性回归方程,若以x表示自变量,y表示因变量,则其基本形式为:
y=a+bx
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一元线性回归模型
一
[例9-2]几个地区的工农业增加值和财政收入资料见表9-7。
增加值x (亿元) 财政收入y (亿元) xy x2 y2
20 8 160 400 64
22 9 198 484 81
25 10 250 625 100
27 12 324 729 144
29 12 348 841 144
30 14 420 900 196
32 15 480 1 024 225
185 80 2 180 5 003 954
表9-7 几个地区的工农业增加值和财政收入资料
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估计标准误差
二
（一）估计标准误差的概念与计算
估计标准误差是用来说明回归直线方程代表性大小的统计分析指标。其定义公式为:
按照定义公式计算估计标准误差十分烦琐,运算量较大,因为它需要计算出因变量y所有的估计值。在实践中,在已知回归直线方程的情况下,通常用下面的简捷公式计算估计标准误差:
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估计标准误差
二
（一）估计标准误差的概念与计算
下面根据[例9-2]的资料分别用定义公式和简捷公式计算比较估计标准误差(见表9-8)。
增加值x (亿元) 财政收入y (亿元) y2 xy y- (y-)2
20 8 64 160 7.714 0.286 0.082
22 9 81 198 8.869 0.131 0.017
25 10 100 250 10.603 -0.603 0.364
27 12 144 324 11.759 0.421 0.177
29 12 144 348 12.915 -0.915 0.837
30 14 196 420 13.493 0.507 0.257
32 15 225 480 14.648 0.352 0.124
185 80 954 2 180 — — 1.858
表9-8 估计标准误差计算表
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估计标准误差
二
（二）估计标准误差与相关系数的关系
估计标准误差与相关系数存在着密切的关系,二者的关系可由如下表达式描述:
根号前面的正负号表明正相关或负相关,具体取舍由回归系数的符号来确定:回归系数为正,则取正;回归系数为负,则取负。
在给定相关系数的情况下,估计标准误差的计算公式为:
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估计标准误差
二
（三）相关系数与回归系数的关系
相关系数与回归系数的关系可用如下公式表示:
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估计标准误差
二
（四）回归方程的变形形式
在y=a+bx中,b是直线的斜率。由于回归直线方程必经过( )点,根据点斜式直线方程的公式,回归直线方程可由下式给出:
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估计标准误差
二
[例9-3]某银行各月存款平均增加额 =165亿元,各月放款平均增加额 =124亿元。又知各月存款、放款增加额的标准差分别为σx=5亿元、σy=4亿元。存款、放款增加额两个变量的相关系数r=0.8,试求放款增加额y与存款增加额x的回归直线方程及估计标准误差。
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应用相关分析与回归分析应注意的问题
三
相关分析与回归分析都是重要的统计分析方法,在统计学知识体系中占有重要的地位。它们对于人们加深现象间相互依存关系的认识,促使这种认识由定性阶段进入定量阶段都具有重要意义。但是,应该看到,相关分析和回归分析与其他统计方法一样,也有自己的局限性,因此,在实践中应注意如下几方面的问题:
（1）
A
注意定性分析与定量分析的结合
（2）
B
注意客观现象质的规定性
（3）
C
注意社会经济现象的复杂性
（4）
D
注意对相关系数和回归直线方程的有效性进行检验

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