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CHAPTER
10
第10章
统计预测
本章阐述了统计预测的概念、特点和种类;统计预测的基本原则和基本程序;一些常用的预测方法(简单模型预测法、长期趋势模型预测法、回归模型预测法);长期趋势模型预测法中的参数估计(最小平方法、取点法);回归模型预测法中的行列式法估计二元线性回归模型的参数;回归预测应注意的问题;预测误差的分析方法。
内容提要
3
第三节　
长期趋势模型预测
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最小平方法
一
（一）直线趋势预测模型
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最小平方法
一
[例10-6]某地区2008—2016年生产总值的资料见表10-3。
要求:建立直线趋势预测模型,用最小平方法求解参数,并预测该地区2017年的生产总值。
表10-3 某地区2008—2016年生产总值 单位:亿元
年　份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
生产总值 50 56 59 64 68 72 77 81 86
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最小平方法
一
（二）二次抛物线趋势预测模型
二次抛物线趋势预测模型为:
yt+k=a+bt+ct2
此时求解a、b、c的一般公式为(设∑t=0):
根据上述公式计算时,需要有∑y、∑t2、∑t4、∑ty、∑t2y等项数据,且通常设表计算。
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最小平方法
一
[例10-7]某地区2008—2016年农产品收购额资料见表10-4。
要求:建立二次抛物线趋势预测模型预测2017年的该地区农产品收购额。
表10-4 某地区2008—2016年农产品收购额 单位:万元
年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
金额 187 204 229 261 302 349 404 468 540
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最小平方法
一
首先,要分析二次差(二级增减量)是否大致相等。经列表(见表10-5)计算分析动态数列的二次差(二级增减量)大致相等,其发展的基本趋势属二次抛物线形式。
表10-5某地区2008—2016年农产品收购额一、二次增减量单位:万元
年　份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
一次差 (一级增减量) — 17 25 32 41 47 55 64 72
二次差 (二级增减量) — — 8 7 9 6 8 9 8
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最小平方法
一
其次,列计算表(见表10-6),求出a、b、c参数,列出趋势方程。
表10-6 二次曲线最小平方法计算表
年份 t y t2 t4 ty t2y
2008 -4 　187 16 256 -748 2 992
2009 -3 204 9 81 -612 1 836
2010 -2 229 4 16 -458 916
2011 -1 261 1 1 -261 261
2012 0 302 0 0 0 0
2013 1 349 1 1 349 349
2014 2 404 4 16 808 1 616
2015 3 468 9 81 1 404 4 212
2016 4 540 16 256 2 160 8 640
合计 0 2 944 60 708 2 642 20 822
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取点法
二
（一）直线趋势预测模型
直线趋势预测模型为:yt+k=a+bt,求参数a、b的计算公式为:
式中:N为时间数列总项数(假定为奇数);R为数列初期三项或五项的加权算术平均数;T为数列近期三项或五项的加权算术平均数。
其中:
或
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取点法
二
[例10-8]某地区财政收入的资料见表10-7,试用取点法(三项加权平均)配合直线预测模型,预测2017年、2019年的财政收入。
表10-7 某地区财政收入 单位:亿元
年　份 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
财政收入 29 36 40 48 54 62 70 76 85 94 103
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取点法
二
（二）二次曲线趋势预测模型
二次曲线趋势预测模型为:yt=a+bt+ct2
用取点法求a、b、c的计算公式为:
式中:S为数列中间三项或五项的加权算术平均数;其他符号含义同前。
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取点法
二
[例10-9]某进出口公司出口额的资料见表10-8,试据此用取点法建立二次抛物线模型,预测2018年和2019年的出口额。
表10-8 商品出口情况表 单位:万元
年　份 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
出口额 369 375 430 453 470 469 494 650 713 840 950
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取点法
二
用三项加权平均法计算的结果列于表10-9中。
表10-9 取点计算表
年　份 t y 权数f yf
2006 1 369 1 　369
2007 2 375 2 750
2008 3 430 3 1 290
小　　计 — — 6 2 409
2010 5 470 1 470
2011 6 469 2 938
2012 7 494 3 1 482
小　　计 — — 6 2 890
2014 9 713 1 713
2015 10 840 2 1 680
2016 11 950 3 2 850
小　　计 — — 6 5 243
4
第四节　
回归模型预测
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一元线性回归模型预测
一
（一）一元线性回归模型的建立
设x和y为两个相关变量,其中x为自变量,y为因变量。若通过样本数据判定两个变量间存在线性相关关系,则其一元线性回归模型为:y=b0+b1x+u
设通过估计得到如下具体的线性回归预测模型:y=b0+b1x
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一元线性回归模型预测
一
（二）模型参数的估计方法
一元回归模型参数估计的方法很多,其中使用最广泛的是最小平方法,下面以最小平方法来估计模型参数。
设通过一组观察值(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小平方法确定x与y之间的回归预测模型为:y=b0+b1x
如前所述,在最小平方法下,求参数b0及b1的计算公式为:
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一元线性回归模型预测
一
（三）一元线性回归预测模型的运用
对于已确定的一元线性回归模型y=b0+b1x,若给出自变量x的一个定值x0,代入回归模型就可以求出其相应的回归预测值y0,y0值即为点预测值,这种直接给出预测对象的一个定点值的预测,称为点预测。点预测方法很简单,只要求出预测模型并给出自变量的值,即可求出预测对象的一个定值。
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一元线性回归模型预测
一
[例10-10]某地2007—2016年10年中居民消费支出和居民收入情况见表10-10,若2017年居民收入为236亿元,试预测2017年居民消费支出额。
表10-10 居民收入和消费支出情况 单位:亿元
年　份 居民收入x 消费支出y xy x2
2007 64 56 3 584 4 096
2008 70 60 4 200 4 900
2009 77 66 5 082 5 929
2010 82 70 5 740 6 724
2011 92 78 7 176 8 464
2012 107 88 9 416 11 449
2013 125 102 12 750 15 625
2014 143 118 16 874 20 449
2015 165 136 22 440 27 225
2016 189 155 29 295 35 721
合　计 1 114 929 116 557 140 582
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多元回归预测
二
（一）多元线性回归模型的建立
一元回归预测研究的是因变量与一个自变量之间的相互关系,因变量的值只受一个自变量的影响。但是在现实生活中,仅仅只受一个因素变动影响的现象几乎没有。通常,一个现象的变化总是诸多因素共同作用的结果。由多个自变量来推测因变量未来状态,这便是多元线性回归预测。一般来说,多元回归预测比一元回归预测要可靠,但在多元线性回归模型中,自变量个数越多,求解方程参数越困难。为了简化计算而不致影响预测的可靠性,可以分别计算各自变量与因变量的相关系数;合理筛选自变量,保留与因变量联系最密切的自变量,建立回归模型。
与一元线性回归类似,设因变量y与自变量x1、x2、…、xp间存在线性回归关系,那么多元线性回归模型可以通过如下方程式描述:
y=b0+b1x1+b2x2+…+bpxp+u
这里b0、b1、b2、…、bp是待估参数。参数估计的方法仍然采用最小平方法。
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多元回归预测
二
（二）二元线性回归模型参数估计
设二元线性回归模型为:
y=b0+b1x1+b2x2
利用最小平方法估计模型的参数,有下列标准方程组:
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多元回归预测
二
（三）二元线性回归预测模型的运用
[例10-11]设某地区卫生陶瓷(如洗脸池、洗澡盆、厕所便池)需求量(y)与竣工住宅面积(x1)和竣工医疗卫生机构建筑面积(x2)存在密切的复相关关系(其统计资料见表10-11)。
要求:建立二元线性回归方程,用最小平方法求估计参数,并预测当竣工的住宅面积为2 600万平方米、医疗卫生建筑面积为250万平方米时的卫生陶瓷需求量。
年　份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
卫生陶瓷需求量y(万件) 47 61 46 37 53 80 103 141 110 111
竣工住宅面积x1(百万平方米) 9 9 10 18 19 19 23 21 10 22
竣工医疗卫生机构建筑 面积x2(百万平方米) 1.4 1.7 1.4 1.1 1.5 1.9 2.1 3.1 2.0 2.3
表10-11 某地区卫生陶瓷需求量相关资料
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回归预测应注意的问题
三
回归预测考虑了现象间的联系,也注意到现象的变化趋势,这对提高预测的准确度是有益的。但是,它不便于及时更新所用资料,增加一个新的观测值或减少一个观测值,整个回归模型就得重新计算。因此,具体利用回归模型进行预测时应注意如下问题:
注意问题
（一）对预测对象进行定性分析
（二）对回归系数进行分析
（四）注意因变量的滞后变动
（五）注意变量间的非线性关系
（三）注意样本资料的结构变形
5
第五节　
统计预测误差分析
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分析预测误差的意义
一
统计预测是根据历史和现实的统计资料,对未来事物发展前景进行的一种推测。既然是推测,其结果必然与客观实际存在着一定的差距,这个差距就是预测误差。预测误差的大小与预测结果的准确性有密切关系,预测误差愈小,准确性愈高;反之,准确性就愈低。如果预测值与实际值相差甚远,就可能产生预测失误。
因此,研究产生预测误差的原因,计算与分析误差的数量,不但可以认识预测结果的准确性,为编制计划、进行决策提供可靠的依据,而且也有利于改进预测工作,发展和完善预测理论。
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影响预测准确度的主要因素
二
预测过程中的一切主客观因素都会影响到预测结果的准确度。具体来说,影响预测准确度的因素有四个:
(一)数据资料的真实性和准确性
(二)主观判断的客观性和正确性
(三)统计方法的完整性和可靠性
(四)模型的科学性和有效性
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预测准确度的测量
三
（一）单个预测值的误差
它是任意一个实际值与其对应的预测值之差,其计算公式为:
式中:et为预测误差,et=0为准确预测,et>0为低估预测,et<0为高估预测。
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预测准确度的测量
三
（二）总预测误差
它是几个误差绝对值的和,其计算公式为:
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预测准确度的测量
三
（三）平均绝对误差
它是n个误差绝对值的平均数,通常用MAD表示,其计算公式为:
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预测准确度的测量
三
（四）预测相对误差
它表明预测误差的相对幅度,其计算公式为:
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预测准确度的测量
三
（五）均方根误差
它是实际值与预测值离差平方和的算术平均数的算术根,通常用Syx表示,其计算公式为:
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统计预测误差的计算
四
[例10-12]利用表10-13的资料,建立适宜模型计算并比较预测误差。
年　份 t y t2 t3 t4 ty t2y
2009 1 19 　1 　　1 　　1 　 19 　　19
2010 2 24 4 8 16 48 96
2011 3 33 9 27 81 99 297
2012 4 39 16 64 256 156 624
2013 5 51 25 125 625 255 1 275
2014 6 59 36 216 1 296 354 2 124
2015 7 77 49 343 2 401 539 3 773
2016 8 90 64 512 4 096 720 5 760
合　计 36 392 204 1 296 8 772 2 190 13 968
表10-13 最小平方法计算表

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