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CHAPTER
09
第9章
相关与回归分析
相关分析与回归分析是两种既有区别又有联系的统计分析方法。本章阐述了相关关系的概念与特点;相关关系与函数关系的区别与联系;相关关系的种类;相关关系的测定方法(直线相关系数的含义、计算方法与运用);回归分析的概念与特点;回归直线方程的求解及其精确度的评价;估计标准误差的计算。
内容提要
1
第一节　
相关分析的一般问题
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相关关系的概念与特点
一
（一）相关关系的概念
在自然界与人类社会中,许多现象之间是相互联系、相互制约的,表现在数量上也存在着一定的联系。这种数量上的联系和关系究其实质,可以概括为两种不同类型,即函数关系与相关关系。
相关关系:是指现象之间客观存在的,在数量变化上受随机因素的影响,非确定性的相互依存关系。例如,商品销售额与流通费用率之间的关系就是一种相关关系。
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相关关系的概念与特点
一
（二）相关关系的特点
相关关系表现为数量相互依存关系。
（1）
相关关系在数量上表现为非确定性的相互依存关系。
（2）
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相关关系的种类
二
01
相关关系按变量的多少,可分为单相关和复相关
03
相关关系从变动方向上划分,可分为正相关和负相关
02
相关关系从表现形态上划分,可分为直线相关和曲线相关
04
按相关的密切程度分,可分为完全相关、不完全相关和不相关
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相关关系的种类
二
相关分析是对客观社会经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种统计方法。其目的在于对现象间所存在的依存关系及其所表现出的规律性进行数量上的推断和认识,以便为回归分析提供依据。
相关分析的内容和程序是:
B
A
内容和
程序
(2)判定相关关系的表现形态和密切程度
(1)判别现象间有无相关关系
2
第二节　
相关关系的判断与分析
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相关关系的一般判断
一
（一）定性分析
对现象进行定性分析,就是根据现象之间的本质联系和质的规定性,运用理论知识、专业知识、实际经验来进行判断和分析。例如,根据经济理论来判断居民的货币收入与社会商品购买力是否存在相关关系;根据会计学理论来判断生产成本与利润有无相关关系;根据生物遗传理论来判断父辈的身高与子辈的身高是否存在相关关系等。定性分析是进行相关分析的基础,在此基础上,根据需要通过编制相关表和绘制相关图来进行分析。
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相关关系的一般判断
一
（二）相关表
相关表就是把被研究现象的观察值对应排列所形成的统计表格,如某地区工业固定资产投资与工业增加值的历史资料对应排列所形成的表9-1。
工业固定资产投资(万元) 工业增加值(亿元)
1 373 156
1 501 174
1 400 179
1 375 212
1 401 257
2 416 401
2 881 527
2 979 565
2 224 345
1 705 303
表9-1
某地区工业固定资产投资与工业增加值相关表
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相关关系的一般判断
一
（二）相关表
单变量分组相关表是在具有相关关系的两个变量中,只对自变量进行分组的相关表(见表9-2)。
表9-2
商品销售额与流通费用率相关表
商店按商品销售额分组 (万元) 商店个数 (个) 流通费用率
(%)
40以下 14 9.81
40~80 22 7.90
80~120 38 7.32
120~160 44 7.00
160~200 66 6.80
200~240 50 6.71
240~280 34 6.66
280~320 26 6.60
320~360 10 6.56
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相关关系的一般判断
一
（二）相关表
双变量分组相关表就是对自变量和因变量都进行分组的相关表。如果两个相关变量变动均较为复杂,根据分析的需要,同时对两个变量进行分组,即对总体作复合分组,一个分组设在主体栏,另一个分组设在叙述栏,形成棋盘式的表格,叫双变量分组相关表(见表9-3)。
表9-3 化肥施用量与稻谷单产量双变量分组相关表
按单产量 分组 (千克/公顷) 按化肥施用量分组 (千克/公顷) 施肥田
块合计
(块)
300 450 600 750 900 1 050 1 200
8 250~9 000 2 2
7 500~8 250 1 3 1 5
6 750~7 500 2 2 4
6 000~6 750 3 3
5 250~6 000 1 2 2 5
4 500~5 250 1 2 1 4
3 750~4 500 2 1 3
3 000~3 750 1 1 1 3
2 250~3 000 1 1
产量田块合计(块) 2 4 5 6 5 5 3 30
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相关关系的一般判断
一
（三）相关图
相关图也叫相关散点图,它是根据相关表中的观测数据在坐标图中所绘制的点状图形。用x和y分别代表两个变量,把相关表中的对应观测值一一描绘在坐标图中,则形成了反映相关点分布状况的图形,据此就可以观测现象间相关关系的情况(如根据表9-1的数据所绘制的图9-1和根据表9-2的数据所绘制的图9-2)。
图9-1　
工业固定资产投资与工业增加值相关图
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相关关系的一般判断
一
（三）相关图
在相关图中,若相关点呈现出一定的规律性,如大致为一条直线(如图9-1所示)或一条曲线(如图9-2所示),这表明现象间存在相关关系,且为直线相关或曲线相关。相关点越密集,表明相关关系越密切。若相关点分布毫无规律,则表明现象间无相关关系或存在低度的相关关系。
图9-2　
商品销售额与流通费用率相关图
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相关关系的定量分析
二
（一）相关系数的含义
相关系数是指直线相关条件下,说明两种现象之间相关关系密切程度和方向的统计分析指标,用r表示。其定义公式为:
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相关关系的定量分析
二
（一）相关系数的含义
依直线相关系数的定义公式可知相关系数的含义如下:
0
1
1.r的取值范围为-1≤r≤1。
0
2
2.r的绝对值越接近于1,表明相关关系越密切;越接近于0,表明相关关系越不密切。
0
3
3.r=+1或r=-1,表明两种现象完全相关,即存在函数关系。
0
4
4.r=0,表明两种现象无直线相关关系。
0
5
5.r>0,表明现象呈正直线相关;r<0,表明现象呈负直线相关。
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相关关系的定量分析
二
（二）相关系数的计算
1.根据相关系数的定义公式可直接计算相关系数。
[例9-1]已知某地生产总值和社会商品零售总额的历史资料见表9-4。
年份(序号) 生产总值 社会商品零售总额
1 39 20
2 45 22
3 52 26
4 63 34
5 70 36
6 80 39
7 85 40
表9-4 某地生产总值和社会商品零售总额资料 单位:亿元
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相关关系的定量分析
二
（二）相关系数的计算
[例9-1]现根据表9-4的资料,用定义公式计算相关系数,其计算过程数据列于表9-5中。
表9-5 相关系数计算表(一)
生产总值x (亿元) 商品零售总额y (亿元) x- (=62) y- (=31) (x-)(y-) (x-)2 (y-)2
39 20 -23 -11 253 　529 121
45 22 -17 -9 153 289 81
52 26 -10 -5 50 100 25
63 34 1 3 3 1 9
70 36 8 5 40 64 25
80 39 18 8 144 324 64
85 40 23 9 207 529 81
434 217 — — 850 1 836 406
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相关关系的定量分析
二
（一）相关系数的含义
2.相关系数的简捷计算法。按照定义公式计算相关系数r运算量较大,过程烦琐,实践中多采用由定义公式推导出的简捷公式计算相关系数。简捷计算公式为:
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相关关系的定量分析
二
（一）相关系数的含义
按照这一公式计算相关系数,只需列3个计算栏:xy、x2、y2,且避免了平均数、协方差、标准差的直接计算,大大简化了运算过程。现根据表9-4中的数据,用简捷公式计算相关系数(见表9-6)。
表9-6 相关系数计算表(二)
生产总值x (亿元) 商品零售总额y (亿元) xy x2 y2
39 20 　 780 1 521 　400
45 22 990 2 025 484
52 26 1 352 2 704 676
63 34 2 142 3 969 1 156
70 36 2 520 4 900 1 296
80 39 3 120 6 400 1 521
85 40 3 400 7 225 1 600
434 217 14 304 28 744 7 133
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相关关系的定量分析
二
（一）相关系数的含义
3.相关系数的其他计算公式。在[公式9-1]中,分子、分母中均有1/n,因此可以消掉,于是可得:
根据相关系数的定义公式,可推导出相关系数的其他计算公式:
根据掌握的有关统计资料,可灵活选择合适的公式计算相关系数,以达到简单易行的目的。

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