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第十一章 功和机械能
11.1 功
1．功的概念：当一个力作用在物体上时，物体在力的方向上移动了一段距离，这个力就对物体做了功。
2．做功的两个必要条件：一个是作用在物体上的力；另一个是物体在力的方向上通过的距离。两者缺一不可。
3．功的单位：焦耳，符号是J。
4．物体不做功的三种情况：
（1）有力无距离（物体受力，但静止）；
（2）有距离无力（物体由于惯性而运动）；
（3）有力有距离（运动方向和力的方向垂直）。
5．做功的计算公式：
6．做功计算公式的导出公式及应用
（1）F=W/s：已知物体在力的方向上移动的距离s和力做的功W，可求出该力F。
（2）s =W/ F：已知力F和该力做的功W，可求出物体在该力的方向上移动的距离s。
7．做功的两种表述
（1）力的方向和物体运动的方向一致，称为力对物体做功。
（2）力的方向和物体运动的方向相反，称为物体克服某个力做功。比如：物体竖直上升，物体克服重力做功，功的大小为W=Gh；在水平方向上，物体克服摩擦力做功，功的大小为W=fs。
【题型1】 判断力是否做功
方法点拨 判断一个力对物体是否做功，关键要看物体是否在这个力的方向上移动一段距离，即判断做功的两个必要条件是否同时存在。可分为两个步骤： （1）明确所判断的是哪个力（或施力物体）； （2）分析受力物体在该力的方向或反方向上是否移动了距离。 注意：克服力做功即力与物体移动方向相反。
（2023 镇江）小华参加校外劳动时，经历了如下过程：
①她用力搬一筐玉米，未能搬起；
②她又用力推筐，仍未推动；
③在小明的帮助下，他们将这筐玉米抬起并放到手推车上；
④接着他们用水平力推着手推车沿水平路面前往仓库。则（　　）
A．①中小华对这筐玉米做了功
B．②中小华对这筐玉米做了功
C．③中他们对这筐玉米做了功
D．④中他们对手推车没有做功
【答案】C
【分析】做功的两个必要因素：一是作用在物体上的力，二是物体在力的方向上通过的距离；二者缺一不可。若做功，利用W＝Fs计算。据此分析判断。
【解答】解：A、①她用力搬一筐玉米，未能搬起，没有移动距离，故不做功，故A错误；
B、②她又用力推筐，仍未推动，虽然用力了，但没有移动距离，故不做功，故B错误；
C、③在小明的帮助下，他们将这筐玉米抬起并放到手推车上；抬的力竖直向上，玉米在竖直向上的方向上移动了距离，故他们对这筐玉米做了功，故C正确；
D、④接着他们用水平力推着手推车沿水平路面前往仓库，推力水平方向，推车在水平方向移动了距离，因而做功了，故D错误。
【点评】明确三种情况不做功：一是有力无距离（例如：推而未动），二是有距离无力（靠惯性运动），三是力的方向与运动方向垂直。
【变式1-1】（2023 连云港）下列有关功的说法正确的是（　　）
A．用力推车没有推动，人对车也做了功
B．足球在水平地面上滚动时重力对足球没有做功
C．运动员举起杠铃在空中静止不动时对杠铃做了功
D．学生背着书包在水平路面匀速前进时对书包做了功
【答案】B
【分析】本题要抓住做功的两个必要因素：一是作用在物体上的力，二是物体在力的方向上通过的距离，二者缺一不可。
【解答】解：A、用力推车，但没有推动，没有距离，所以没做功，故A不符合题意。
B、足球在水平地面上滚动时，重力方向竖直向下，运动方向是水平的，两个方向垂直，重力对足球没有做功，故B符合题意；
C、运动员举着杠铃静止不动，没有距离，所以没做功，故C不符合题意；
D、学生背着书包在水平路面匀速前进时，有力也有距离，但不是在力的方向上通过的距离，所以没做功，故D不符合题意。
【点评】本题考查了力是否做功的判断方法，基础题目。
【变式1-2】（2023秋 海安市期末）下列过程中，人对物体没有做功的是（　　）
A．搬起重物 B．推车前进
C．踢飞足球 D．搬而未动
【答案】D
【分析】做功的两个必要条件：（1）有力作用在物体上；（2）在力的方向上物体产生了距离。二者缺一不可。
【解答】解：A、搬起重物，对物体施加了力，且在力的方向上移动了距离，人对物体做了功，故A错误；
B、推车前进，对车施加了力，且在力的方向上移动了距离，人对物体做了功，故B错误；
C、踢飞足球，对足球有力的作用，且在力的方向上移动了距离，人对物体做了功，故C错误；
D、搬而未动，人对石头有力的作用，但石头没有移动距离，人对石头没有做功，故D正确。
【点评】明确三种情况不做功：一是有力无距离（例如：推而未动），二是有距离无力（靠惯性运动），三是力的方向与运动方向垂直。
【变式1-3】（2023 聊城）杂技是我市对外文化交流的重要名片，也是国家级首批非物质文化遗产。如图是杂技表演中男演员举着头上顶碗的女演员，并在舞台上保持静止的情景。关于此情景下列说法正确的是（　　）
A．女演员相对于男演员是运动的
B．女演员对头上的碗没有做功
C．男演员所受的重力与舞台对男演员的支持力是一对相互作用力
D．女演员对男演员的压力与男演员对女演员的支持力是一对平衡力
【答案】B
【分析】（1）在研究物体运动时，要选择参照的标准，即参照物，物体的位置相对于参照物发生变化，则运动，不发生变化，则静止；（2）做功的两个必要条件是：一是物体受到力的作用；二是物体在这个力的方向上通过一定的距离；（3）相互作用力的条件：大小相等、方向相反、作用在同一条直线上、作用在两个物体上；（4）平衡力的条件：大小相等、方向相反、作用在同一个物体上，作用在同一条直线上。
【解答】解：A、男演员举着女演员静止不动，女演员与男演员之间没有位置的变化，女演员相对于男演员是静止的，故A错误；B、男演员举着头上顶碗的女演员，在舞台上保持静止，女演员对头上的碗有力的作用，但碗没有在力的方向上通过一定距离，故女演员对头上的碗没有做功，故B正确；C、男演员所受的重力与舞台对男演员的支持力，作用在同一物体上，不是一对相互作用力，故C错误；D、女演员对男演员的压力与男演员对女演员的支持力，作用在两个物体上，不是一对平衡力，故D错误。
【点评】本题主要考查了对机械运动、做功的两个必要因素、平衡力与相互作用力的区分的理解和掌握，关键是知道平衡力与相互作用力的区别：平衡力是作用在同一物体上的两个力；相互作用力是作用在两个物体上的力。
【题型2】 功的计算
方法点拨 理解计算功的方法，熟悉公式的变形求功，然后才能正确运用这些规律和原理进行分析或计算，并通过练习和运用达到对物理知识的进一步理解和掌握。
（2023 哈尔滨）如图所示，物体静止在水平桌面上，现用50N的水平推力，使其在桌面上移动了0.2m的距离，说明推力可以改变物体的　 　（选填“运动状态”或“形状”），推力做功 　J。
【答案】运动状态；10。
【分析】（1）力可以改变物体的运动，力还可以改变物体形状；
（2）利用功的定义式W＝Fs进行计算。
【解答】解：（1）物体在水平推力的作用下由静止开始运动，运动状态发生改变，说明力可以改变物体的运动状态；
（2）由题知，推力F＝50N，物体在水平推力的作用下移动的距离为s＝0.2m，故可得推力所做的功为：W＝Fs＝50N×0.2m＝10J。
【点评】此题考查了力的作用效果以及功的计算，掌握好基本概念，不难正确解答。
【变式2-1】（2023春 松江区校级月考）甲用力推一辆小车，经过4分钟小车在力的方向上前进了50米，乙用同样大小的力推另一辆小车，经过8分钟小车在力的方向上前进了相同的距离，那么（　　）
A．甲和乙做的功一样多
B．甲做的功多
C．乙做的功多
D．乙的功是甲的功的两倍
【答案】A
【分析】已知作用在物体上的力和物体在力的方向上移动的距离，根据公式W＝Fs可求做功的大小。
【解答】解：由题知，作用在物体上的力相同，通过的距离相同，根据公式W＝Fs可知，甲和乙做的功相同，故A正确，BCD错误。
【点评】本题考查做功的计算，要知道影响做功的条件是有力作用在物体上和物体在力的方向上的移动距离。
【变式2-2】（2023 日照）“兄弟齐心，其利断金”，在某次劳动课上，李陆同学用F1＝200N的力水平向左推小车，刘湾同学用F2＝100N的力作用在该小车上，要使两人作用在小车上的力的效果最大，两个力的方向须　 　，在两人共同作用下，10s内小车加速前行了5m，则此10s内两人作用在小车上的力做的总功为　 　J。
【答案】相同；1500。
【分析】力的三要素为力的大小、方向、作用点；根据W＝Fs可求出两人作用在小车上的力做的总功。
【解答】解：在某次劳动课上，李陆同学用F1＝200N的力水平向左推小车，刘湾同学用F2＝100N的力作用在该小车上，要使两人作用在小车上的力的效果最大，则两个力的方向应相同；在两人共同作用下，10s内小车加速前行了5m，合力为F＝F1+F2＝200N+100N＝300N，则此10s内两人作用在小车上的力做的总功为：W＝Fs＝300N×5m＝1500J。
【点评】本题主要考查了力的三要素以及功的计算，难度不大。
【变式2-3】（2023 随州）在上周的自主复习中物理课代表建议大家“回归课本”，如图是课本上的原图，针对图中情境增加条件拓展科学思维：小强用100N的力斜向上拉着总重为500N的小车使小车在水平路面上匀速前进了10m用了10s。下列说法中正确的是（　　）
A．这一过程中地面对小车的摩擦力一定是100N
B．这一过程中100N的拉力对小车做的功一定是1000J
C．这一过程中小车的速度为1m/s
D．这一过程中小车对地面的压力一定等于500N
【答案】C
【分析】（1）小车做匀速运动，水平方向的拉力与摩擦力，大小相等，方向相反；（2）做功包括两个必要因素：一是作用在物体上的力，二是物体在力的方向上通过的距离；（3）根据速度公式求出小车的速度；（4）根据小车的受力情况分析回答。
【解答】解：A、由于拉力不是水平方向，拉力与摩擦力不是一对平衡力，大小不相等，故A错误；B、若小车在100N水平方向拉力作用下移动10m，根据功的公式可知，W＝Fs＝100N×10m＝1000J，而小车受到100N斜向上的拉力，此时水平方向上的拉力不等于100N，因此这一过程中100N的拉力对小车做的功不是1000J，故B错误；C、小车在水平路面上匀速前进了10m用了10s，则这一过程中小车的速度为：
v1m/s，故C正确；D、小车在竖直方向受到向下的重力、斜向上的拉力和支持力的作用，根据力的合成可知，F支＝G﹣F拉上，支持力与压力是相互作用力，大小相等，因此这一过程中小车对地面的压力应该小于500N，故D错误。
【点评】此题考查摩擦力的大小、功的概念、速度的计算和压力，是一道综合性较强的题目，但总体难度不大，掌握基础知识即可正确解题。
【题型3】 功的估算
方法点拨 功的估算，涉及力和距离的估算，其中距离的估算可以参考长度的估算，而力的估算，常考的是重力的估算问题，而重力的估算问题涉及质量的估算问题。生活中物体的重力做功的估测方法
（2023春 重庆月考）根据你的生活经验判断，下列数据最接近生活实际的是（　　）
A．一般中学生的质量大约为50kg
B．将一枚鸡蛋托起的力大约为5N
C．九龙坡彩云湖湖面的大气压约为2×105Pa
D．中学生从二楼走到三楼做功约为200J
【答案】A
【分析】不同物理量的估算，有的需要根据生活经验，有的需要简单的计算，有的要进行单位的换算，最后判断最符合实际的是哪一个。
【解答】解：A、一般中学生的质量约50kg左右，故A符合实际；
B、一枚鸡蛋重约0.5N，所以将一枚鸡蛋托起的力约为0.5N，故B错误；
C、九龙坡彩云湖湖面的大气压约为1×105Pa，故C错误；
D、中学生体重约500N，从二楼走到三楼上升约3m，做功约为W＝Gh＝500N×3m＝1500J，故D错误。
【点评】本题是一道综合性估测题，结合对生活的了解和对物理单位的认识，找出符合实际的选项即可。
【变式3-1】（2022 呼和浩特）下列数据与实际最接近的是（　　）
A．呼和浩特市2022年中考物理试卷，其宽度约为50cm
B．正常人一分钟脉搏跳动约为70次
C．一枚一元硬币的质量约为50g
D．将两个鸡蛋匀速举高1m做的功约为10J
【答案】B
【分析】（1）中考物理试卷的宽度在30cm左右；
（2）正常情况下，人的脉搏跳动一次的时间接近1s，1min跳动的次数在70次左右；
C、一枚一元硬币的质量约为5g；
D、两个鸡蛋的重力约为1N，根据W＝Gh求得将两个鸡蛋匀速举高1m做的功。
【解答】解：A、中考物理试卷的宽度在30cm左右，故A不符合题意；
B、正常情况下，人的脉搏跳动一次的时间接近1s，1min跳动的次数在70次左右，故B符合实际；
C、一枚一元硬币的质量约为5g，故C不符合题意；
D、两个鸡蛋的重力约为1N，将两个鸡蛋举高1m做的功W＝Gh＝1N×1m＝1J，故D不符合题意。
【点评】本题考查长度、时间、质量和力的估测以及W＝Gh的应用，正确对生活中常见物理量进行估计是关键。
【变式3-2】（2023春 江夏区校级月考）关于一名普通中学生，以下判断正确的是（　　）
A．受到的重力约为60kg
B．中学生的体积为5dm3
C．双脚站立对地面的压强约为1.5×103Pa
D．将八下物理课本从地上捡起放到课桌上做的功约为1.8J
【答案】D
【分析】首先对题目中涉及的物理量有个初步的了解，对于选项中的单位，可根据需要进行相应的换算或转换，排除与生活实际相差较远的选项，找出符合生活实际的答案。
【解答】解：A、中学生的质量大约为50kg，中学生的体重约500N，故A错误；
B、中学生的质量大约为50kg，普通中学生的体积约为50×10﹣3m3＝50dm3，故B错误；
C、中学生每只鞋的底面积大约为200cm2，即0.02m2，故双脚面积S＝0.04m2；中学生的质量大约为50kg，压力F＝G＝mg＝50kg×10N/kg＝500N，压强p1.25×104Pa，故C错误；
D、将八下物理课本从地上捡起放到课桌上做的功约为：W＝Gh＝mgh＝0.2kg×10N/kg×0.8m＝1.6J，与1.8J接近，故D正确。
【点评】估测法是利用物理概念、规律、物理常数和常识对物理量的数值、数量级进行快速计算以及对取值范围合理估测的方法。
【变式3-3】（2023秋 滨海县期中）杭州亚运会女子10米跳台冠军全红蝉完成一次跳水动作过程中，自身重力做功最接近（　　）
A．400J B．800J C．4000J D．8000J
【答案】C
【分析】先估测全红蝉的质量，根据G＝mg计算其重力，知道下落的高度，再根据W＝Gh计算自身重力做的功。
【解答】解：全红蝉的质量约为40kg，其重力G＝mg＝40kg×10N/kg＝400N，
从10米高的跳台下落，则自身重力做功：W＝Gh＝400N×10m＝4000J。故选：C。
【点评】本题考查了质量的估测、重力和功的计算，属于基础题。
【题型4】 功的有关图像问题
方法点拨 功的大小为W=Fs，涉及功W、力F和路程s三个物理量，其中s=vt，中考命题中经常考查的图像有F-h、F-t、v-t、s-t等，处理图像问题时，首先看清楚横坐标和纵坐标表示的物理量，能从图像中读出有效信息。
（2023春 让胡路区校级月考）如图所示，用弹簧测力计测量水平桌面上钩码所受的重力。弹簧测力计从图示位置开始向上缓慢提升，其示数F与上升高度h之间的关系如图（乙）所示。试解答下列问题。
（1）钩码所受的重力为 　N。
（2）当h＝4cm时，弹簧测力计的示数是 　N，桌面对钩码的支持力是 　N。
（3）从开始提升到h＝16cm，弹簧测力计对钩码所做的功为　0.45　J。
【答案】（1）4.5；（2）3.0；1.5；（3）0.45。
【分析】（1）当缓缓提钩码离开桌面后测力计的示数不再变化，此时示数即为钩码所受重力大小；
（2）由图像获取信息，并会对钩码受力分析；
（3）利用W＝Fs＝Gh解题。
【解答】解：（1）钩码离开桌面后测力计的示数不再变化，此时示数即为钩码所受重力大小，故钩码所受的重力为4.5N；
（2）弹簧的伸长量与拉力成正比、由图像知：当h＝6cm时，弹簧测力计的示数为4.5N，则0.75N/cm，表示每伸长1cm所需拉力为0.75N。
当h＝4cm 时，弹簧测力计的示数是0.75N/cm×4cm＝3N。此时测力计受重力、拉力、支持力的作用，支持力等于重力减去拉力即4.5N﹣3.0N＝1.5N；
（3）由图像知，钩码移动的距离s＝16cm﹣6cm＝10cm＝0.1m，弹簧测力计对钩码所做的功是W＝Fs＝4.5N×0.1m＝0.45J。
【点评】本题考查了弹簧测力计的工作原理、力的合成，功的计算，综合性较强，第二题是一易错点，要会分析图像所给提供的信息。
【变式4-1】（2023 南关区校级一模）一遥控小电动车在平直的路面上做直线运动，其速度v随时间t变化的图像如图所示。已知在4s～8s内小车受到的牵引力恒为10N，则在4s～8s内小车运动的路程为 　m，牵引力对小车做的功为 　J；在0～4s内小车受到的摩擦力 　10N（选填“大于”、“等于”或“小于”）。
【答案】16；160；等于。
【分析】（1）根据图像判断小车在不同时段的运动状态，知道做匀速直线运动时，小车受到的合力为零；根据速度公式变形可计算在4s～8s内小车运动的路程，根据W＝Fs可求出牵引力做的功；
（2）摩擦力的大小只与压力大小和接触面的粗糙程度有关，与运动速度等无关，据此判断。
【解答】解：（1）由v﹣t图像可知，在4s～8s内小车做匀速直线运动，且小车的速度为4m/s，则此过程中小车运动的路程为：s＝vt＝4m/s×（8s﹣4s）＝16m；
牵引力做的功为：W＝Fs＝10N×16m＝160J；
（2）在4s～8s内小车在平直路面上做匀速直线运动，根据二力平衡条件可知，它受到的摩擦力与牵引力大小相等，则摩擦力f＝F＝10N；
由图像可知在0～4s内小车做加速运动，但压力大小和接触面的粗糙程度均不变，所以小车受到的摩擦力大小也不变，仍然等于10N。
【点评】本题考查了通过v﹣t图像来判断物体的运动状态、速度公式的应用、功的计算、二力平衡条件的应用和影响摩擦力大小的因素，有一定的综合性。
【变式4-2】（2023秋 越秀区期末）如图1所示，吊机将重为5000N的物体从水平地面M处竖直匀速提升40s到达N处，途经点O，然后水平匀速运送到P处，最后竖直放至楼顶Q处。物体从P到Q路程随时间变化的图象如图2所示，用时40s。以下说法正确的是（　　）
A．PQ段，物体所受的重力每秒做功625J
B．ON段与PQ段，物体运动的速度相等
C．MO段与NP段，吊机对物体的拉力做的功相等
D．因不知MN段的距离，无法计算吊机对物体的拉力在该段所做的功
【答案】A
【分析】（1）根据W＝Gh计算重力做功，根据时间计算每秒做功多少；
（2）MN段是匀速运动，ON段的速度与MN相等，根据MN与PQ的时间和路程比较速度是否相等；
（3）根据做功的两个必要因素分析解答；
（4）根据图中计算MN的长度，分析能否计算吊机做功。
【解答】解：A．PQ段，物体所受的重力做功W＝Gh＝5000N×5m＝25000J，时间为40s，每秒做功J＝625J，故A正确；B．MN段是匀速运动，ON段的速度与MN相等，而MN段与PQ段，时间相等，都是40s，而两者的距离不等，因而速度不等，故B错误；C．MO段提升时，吊机对物体做功，与NP段，吊机用力方向竖直向上，水平方向移动，力的方向没有移动距离，不做功，因而对物体的拉力做的功不相等，故C错误；D．图中MN＝MO+ON，MO段等于15m，ON与PQ相等，是5m，故可以计算MN段的距离，可以计算吊机对物体的拉力在该段所做的功，故D错误。
【点评】本题考查功、速度等计算，属于中档题。
【变式4-3】（2023 株洲）（多选）某建筑工地上，一台起重机将两种材料同时从地面竖直匀速起吊送至两个不同的高度，整个过程中起重机提升材料所做的功W与提升高度h的关系如图所示。由图可知（g＝10N/kg）（　　）
A．两种材料总质量为1.5t
B．两种材料总质量为3t
C．吊到40m高处的材料质量为1t
D．吊到40m高处的材料质量为1.5t
【答案】BC
【分析】由图读出起重机将两种材料同时从地面竖直匀速起吊送至两个不同的高度的过程中克服物体的重力做的功，根据W＝Gh求出两种材料的总重力以及吊到40m高处的材料的重力，再根据G＝mg求出两种材料总质量和吊到40m高处的材料质量。
【解答】解：AB、由图可知，起重机将两种材料同时从地面竖直匀速起吊送至10m高处时，提升材料所做的功为：W1＝300kJ＝3×105J，由W＝Gh得，两种材料的总重力为：G总3×104N，由G＝mg得，两种材料的总质量为：m总3×103kg＝3t，故A错误，B正确；
CD、由图可知，起重机将吊到40m高处的材料从10m高处吊送至40m高处时，提升材料所做的功为：W2＝600kJ﹣300kJ＝300kJ＝3×105J，由W＝Gh得，吊到40m高处的材料的总重力为：G1×104N，由G＝mg得，吊到40m高处的材料质量为：m1×103kg＝1t，故C正确，D错误。
【点评】本题考查了功的计算公式、重力的计算公式的应用，有一定的难度，掌握计算公式、认真分析图即可正确解题。

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