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知识点一：认识空间几何体
1．棱柱
(1)棱柱的概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点
(2)棱柱的分类
①按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
②按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
③底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.
(3)棱柱的性质
侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是矩形．
2．棱锥
(1)棱锥的概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点
(2)棱锥的分类
①按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
②底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
(3)正棱锥的性质
侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个直角三角形；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．
3．圆柱
定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4．圆锥
定义 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
5．球
球面及球的定义　 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合
图示及相关概念 球心：形成球面的半圆的圆心 半径：连接球面上一点和球心的线段 直径：连接球面上两点且通过球心的线段 大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆
知识点二：空间几何体的三视图与直观图
1．三视图
(1)空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图．
(2)三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．
2．直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝90° 且∠yOz＝90° ．
(2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．x′O′y′所确定的平面表示水平面．
(3)已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
(5)画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
知识点三：空间几何体的表面积和体积
1．柱体、锥体的表面积
(1)直棱柱、正棱锥的侧面积：S直棱柱侧＝Ch， S正棱锥侧＝ Ch′(其中C为底面周长，h为高，h′为斜高)．
(2)圆柱、圆锥的侧面积：S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl (其中r为底面半径，l为母线长)．
(3)柱的表面积等于侧面积与两个底面积的和，锥体的表面积等于侧面积与一个底面积的和．
2．柱体、锥体的体积
(1)棱柱、棱锥的体积：V棱柱＝Sh， V棱锥＝Sh (其中S为底面积，h为高)．
(2)圆柱、圆锥的体积：V圆柱＝πr2h， V圆锥＝πr2h (其中r为底面圆的半径，h为高)．
3．球的表面积与体积
(1)半径为R的球的表面积S球＝4πR2；(2)半径为R的球的体积V球＝πR3.
4．球的截面的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式： .
考点一 柱体的表面积和体积
1．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，所以，，所以，所以圆柱的体积为，选：C.
2．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的 倍.
【答案】2
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，则体积为，体积扩大为原来的4倍，则扩大后的体积为，因为高不变，故体积，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为，扩大后的圆柱侧面积为，故侧面积扩大为原来的2倍.
故答案为：2.
3．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体，所以几何体表面积为，故选：D.
4．若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，所以该三棱柱底面棱长为，高为，所以该正三棱柱的体积为： ，故选：C.
5．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，，，全面积为，而侧面积为，所以全面积与侧面积之比这．故选：A．
6．若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以，所以
所以外接球的表面积，故答案为：．
考点二 锥体的表面积和体积
7． 已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】正四棱锥的底面积为，正四棱锥的高为，因此，该正四棱锥的体积为，故选：A．
8．若圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作圆锥的轴截面如图，则高AD=4,底面半径CD=3,圆锥的母线AC=5，所以圆锥的侧面积为，故选：C.
9．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
如图，由题意知为等腰直角三角形，则，底面圆周长为，故圆锥的侧面积为，故选：D.
10．如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积，三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形，高D1D=1，∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=，故选：A.
11．圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.
【答案】　π
【解析】因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝＝π，设圆锥的底面圆的半径为r，因为扇形的弧长为×2＝π，所以2πr＝π，所以r＝，所以底面圆的面积为π，所以圆锥的表面积为π.
12．求底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积．
【答案】
【解析】因为底面的边长为2，故底面中心到底面边的距离为，故斜高为，故全面积为.
考点三 球体的表面积和体积
13． 正方体的内切球和外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为，因为正方体的内切球的直径即正方体的棱长，所以内切球的半径，体积，因为正方体的外接球的直径即正方体的体对角线，所以外接球的半径，体积，则内切球和外接球的体积之比为，故选：A.
14．若球的表面积膨胀为原来的倍，则膨胀后的球的体积为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【解析】设球的半径为，则球的表面积为，球的体积为，膨胀后球的表面积为，球的半径为，膨胀后球的体积为，膨胀后球的体积变成了原来的倍，故选：C.
15．如果两个球的表面积之比为4∶9，那么这两个球的体积之比为（　　）
A．2∶3 B．4∶9 C．8∶27 D．16∶81
【答案】C
【解析】设两球的半径分别为，则，∴，所以两球的体积比为，故选：C.
16．长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A． B．56π C．14π D．16π
【答案】C
【解析】设长方体的三条棱长分别为a，b，c，由题意得，得，∴长方体的体对角线长为，∴其外接球的半径为，∴．故选：C.
17．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为 ．
【答案】
【解析】长方体外接球的直径为，所以外接球半径为，所以球的体积为，故答案为：.
18．用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】根据截面面积为可知：截面圆的半径，根据球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面可知：球心到截面的距离为故选：C.
考点四 空间几何体的三视图、直观图
19．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（ ）
①平行的线段在直观图中仍然平行； ②相等的线段在直观图中仍然相等；
③相等的角在直观图中仍然相等； ④正方形在直观图中仍然是正方形
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确； 对于②，相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于轴的线段，长度不变，平行于轴的线段，变为原来的，所以②错误； 对于③，相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是和，所以③错误； 对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；综上，正确的命题序号是①，共1个．故选：A．
20．长方形的直观图可能为下图中的哪一个（ ）
A．①② B．①②③
C．②⑤ D．③④⑤
【答案】C
【解析】由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行四边形，且锐角为45°，故②⑤正确.故选：C.
21．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(　 　)
【答案】A
【解析】利用排除法求解．B的侧视图不对，C图的俯视图不对，D的正视图不对，排除B，C，D，A正确，故选：A.
22．如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先作出一个正三角形，然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，画对应的轴，使夹角为，画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，，故选：A.
23．已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
【答案】D
【解析】因为正△ABC的边长为a，所以其面积S＝a2，又因为直观图面积S′与原图面积之比为，即＝，所以S′＝×a2＝a2．故答案为：D.
24．如图所示，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．16cm B．cm C．8cm D．cm
【答案】A
【解析】由斜二测画法，原图形是平行四边形，，又，，，
所以，周长为，故选：A．知识点一：认识空间几何体
1．棱柱
(1)棱柱的概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点
(2)棱柱的分类
①按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
②按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
③底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.
(3)棱柱的性质
侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是矩形．
2．棱锥
(1)棱锥的概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点
(2)棱锥的分类
①按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
②底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
(3)正棱锥的性质
侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个直角三角形；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．
3．圆柱
定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4．圆锥
定义 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
5．球
球面及球的定义　 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合
图示及相关概念 球心：形成球面的半圆的圆心 半径：连接球面上一点和球心的线段 直径：连接球面上两点且通过球心的线段 大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆
知识点二：空间几何体的三视图与直观图
1．三视图
(1)空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图．
(2)三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．
2．直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝90° 且∠yOz＝90° ．
(2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．x′O′y′所确定的平面表示水平面．
(3)已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
(5)画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
知识点三：空间几何体的表面积和体积
1．柱体、锥体的表面积
(1)直棱柱、正棱锥的侧面积：S直棱柱侧＝Ch， S正棱锥侧＝ Ch′(其中C为底面周长，h为高，h′为斜高)．
(2)圆柱、圆锥的侧面积：S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl (其中r为底面半径，l为母线长)．
(3)柱的表面积等于侧面积与两个底面积的和，锥体的表面积等于侧面积与一个底面积的和．
2．柱体、锥体的体积
(1)棱柱、棱锥的体积：V棱柱＝Sh， V棱锥＝Sh (其中S为底面积，h为高)．
(2)圆柱、圆锥的体积：V圆柱＝πr2h， V圆锥＝πr2h (其中r为底面圆的半径，h为高)．
3．球的表面积与体积
(1)半径为R的球的表面积S球＝4πR2；(2)半径为R的球的体积V球＝πR3.
4．球的截面的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式： .
考点一 柱体的表面积和体积
1．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的 倍.
3．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A． B． C． D．
6．若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为 .
考点二 锥体的表面积和体积
7． 已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．若圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（ ）．
A． B．2 C． D．
10．如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是（ ）
A． B． C． D．1
11．圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.
12．求底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积．
考点三 球体的表面积和体积
13． 正方体的内切球和外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
14．若球的表面积膨胀为原来的倍，则膨胀后的球的体积为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
15．如果两个球的表面积之比为4∶9，那么这两个球的体积之比为（　　）
A．2∶3 B．4∶9 C．8∶27 D．16∶81
16．长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A． B．56π C．14π D．16π
17．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为 ．
18．用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
考点四 空间几何体的三视图、直观图
19．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（ ）
①平行的线段在直观图中仍然平行； ②相等的线段在直观图中仍然相等；
③相等的角在直观图中仍然相等； ④正方形在直观图中仍然是正方形
A．1 B．2 C．3 D．4
20．长方形的直观图可能为下图中的哪一个（ ）
A．①② B．①②③
C．②⑤ D．③④⑤
21．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(　 　)
22．如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A． B．
C． D．
23．已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
24．如图所示，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．16cm B．cm C．8cm D．cm

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