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2024年山东省济南市中考数学《圆》解答题训练（解析卷）
（2023·山东济南·统考中考真题）
如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，
，点是的中点，弦，相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求直径的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即，得出，进而计算即可得出答案；
（2）连接，根据圆周角定理，得出，再根据中点的定义，得出，再根据同弧或同弦所对的圆周角相等，得出，再根据正切的定义，得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而即可得出答案．
【详解】（1）解：∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，

∵是直径，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴的直径的长为．
（2022·山东济南·统考中考真题）
已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，
CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
(1)求证：CA＝CD；
(2)若AB＝12，求线段BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，欲证明CA＝CD，只要证明即可．
（2）因为为直径，所以，可得出三角形CBF为等腰直角三角形，即可求出BF，由此即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵所对的圆周角为，圆心角为，
∴，
∴，
∴．
（2）∵为直径，
∴，
在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2021·山东济南·统考中考真题）
已知：如图，是的直径，，是上两点，
过点的切线交的延长线于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；
（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径．
【详解】（1）连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连接
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即的半径为．
4 .（2023·山东济南·统考一模）
如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，
⊙O的切线DF与AC垂直，垂足为F．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若CF＝2AF，AE＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）的半径为6．
【分析】（1）根据圆切线的性质可得，然后根据等腰三角形的等边对等角以及等角对等边可得出结论；
（2）根据圆周角定理以及等腰三角形的判定与性质可得结果．
【详解】解：（1）证明：如图，连接．
是的切线，
．
，
∴，
．
，
，
，
．
（2）如图，连接，则．
由（1）知，
，
．
，
．
，
．
，
，
，
的半径为6．
5 .（2023·山东济南·统考一模）
如图，、是的两条直径，过点的的切线交的延长线于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若是的中点，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）的半径为．
【分析】（1）根据半径相等可知，，再根据对顶角相等和三角形内角和定理证明；
（2）连接．由为的切线，可得，因为是的中点，得，又，可知为等边三角形，，所以，即的半径为．
【详解】（1）证明：∵、是的两条直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即；
（2）连接．
∵是的两条直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE为的切线，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的半径为．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，在中，，以为直径作与交于点，
过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2.25
【分析】（1）根据切线的性质可得，从而得到，根据直径所对圆周角是直角可得，则，然后利用等腰三角形的性质可得，根据等角的余角相等，即可得证；
（2）由已知可得，然后利用（1）的结论，可得，根据相似三角形的性质得到，根据，进行计算即可．
【详解】（1）证明：与相切于点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的半径为2.25．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.
连接BC并延长，交AD的延长线于点E．

（1）求证：AE=AB；
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．
(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可．
【详解】
（1）证明：连接OC
∵CD与⊙O相切于C点
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴∠OCB＝∠E
∵OC=OB
∴∠ABE＝∠OCB
∴∠ABE＝∠E
∴AE=AB
（2）连接AC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴
∵AB=AE，AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA
∴△EDC∽△ECA
∴
∴．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，
过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于D，交过点C的切线于E．
(1)求证：∠DCE＝∠ABC；
(2)若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）如图，连接OC，由切线的性质可知∠OCE＝90°，即∠OCB+∠ECB＝90°，由直径所对的圆周角为90°可知，即∠ECB+∠DCE＝90°，可得∠DCE＝∠OCB，由OC＝OB，可知∠ABC＝∠OCB，进而结论得证；
（2）证明△AOD∽△ACB，则即，解得AD＝9，根据求出的值即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OC
∵CE与⊙O相切
∴OC⊥CE
∴∠OCE＝90°，即∠OCB+∠ECB＝90°
∵AB为直径
∴，即∠ECB+∠DCE＝90°
∴∠DCE＝∠OCB
∵OC＝OB
∴∠ABC＝∠OCB
∴∠DCE＝∠ABC．
（2）解：∵OA＝3
∴AB＝2OA＝6
∵∠AOD＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A
∴△AOD∽△ACB
∴即
解得AD＝9
∴．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，是的直径，，是上两点，且，
过点的切线交的延长线于点，交的延长线于点，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接，由切线的性质得出．由等弧所对圆周角相等得出，由等腰三角形的性质得出，得出，即证明，从而可得出；
（2）由题意易证，得出．又易证，从而得出，再结合，，即可求出结果．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，在中，为的直径，为上一点，是的切线，
过点作的垂线，交的延长线于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意连接，直接利用切线的定理进行分析证明即可；
（2）连接，交于于点，根据题意得，则四边形为矩形，由已知和同弧所对的圆周角相等得出，勾股定理得出，进而得出，由四边形为矩形即可得解．
即可求解．
【详解】（1）证明：连接；
，
，
是的切线，
，
又，
，
，
，
平分；
（2）连接，交于于点；
是圆的直径，
，则四边形为矩形；
∵
∴,
∴，
∴，
，
，
，则，半径为，
∴，则，
又四边形为矩形；
．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，是的直径，是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，
过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：；（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）的半径为6．
【分析】(1)连接，根据切线的性质得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】(1)连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为6．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，AB是的直径，点C是上一点，过点B作的切线，与AC延长线交于点D，
连接BC，点E是上一点，，连接BE交AC于点H，.
(1)求证：；
(2)若BD=5，求AB长.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用推出，根据半径特性推出，从而证明，再根据和求出，即可求出.
（2）利用切线长的性质求出度数，从而求出度数，根据三角形外角定理求出的度数，最后利用正切的定义去求边长即可求出长度.
【详解】（1）证明： ，
.
，
，
.
为的直径，
，
.
，
，
，
.
（2）解是的切线，
，
，
，
在中，
故答案为：.
（2023·山东济南·校考一模）
如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，
过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线；
（2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径，即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，，
∵在中，，
∴，
解得，
即的半径为3．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，
过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．
（1）求证：DF⊥BC；
（2）求证：DE2=AE BE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）求出OD∥BC，根据切线的性质得出OD⊥ED，即可求出答案；
（2）求出△DBE∽△ADE，根据相似得出比例式，即可得出答案．
【详解】证明：（1）连接OD，
∵OA=OD，AB=BC，
∴∠A=∠C，∠A=∠ODA，
∴∠C=∠ODA，
∴OD∥BC，
∴∠BFE=∠ODE，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠BFE=90°，
∴DF⊥BC；
（2）连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A＋∠ABD=90°，
∵∠ODE=90°，
∴∠ODB＋∠BDE=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD，
∴∠A=∠BDE，
∵∠E=∠E，
∴△DBE∽△ADE，
∴，
∴DE2=AE BE．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，是的直径，，垂足为E，直线与圆相切于点C，交于点D，
直线交的延长线于点P，连接，．
(1)求证：平分；
(2)若直径为10，，求长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先证明，即有，根据，有，，问题得证；
（2）在中，，再证明，即有，可得，连接，在中，问题得解．
【详解】（1）证明：连接，
∵直线与圆相切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵是的直径，
∴，
在中，，
在和中，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
连接，
，
∵，
∴，
在中，．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，在中，，点O在斜边上，以O为圆心，
的长为半径的圆交于点D，交于点E，为的切线．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)⊙O的半径为
【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等得到，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）通过证明求得线段的长，连接，由圆周角定理可得，可知，易证，可得，求得，根据勾股定理得，进而可求的半径．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接，

∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得，
∴．
∴的半径为．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，
过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接，根据平分，可得，从而得到，可得，再由切线的性质，即可求解；
（2）由，可得，设为，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设为，
∴，
∴，
解得：，
即的长为2．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，已知是的直径，C是上一点，的平分线交于点D，
是的切线，D为切点，交的延长线于点P，连接．

(1)求证：；
(2)若的半径为1，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由角平分线的定义可得出，从而得出，进而得出．由切线的性质得出，即可证明；（2）根据勾股定理结合（1）和题意可求出．再证明出，即得出，代入数据，即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接．

∵为的平分线，
∴，
∴，
∴．
∵是的切线，D为切点，
∴，
∴；
（2）解：∵的半径为1，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，在中，，以为直径作与交于点E．
过点A作的切线交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）利用为的直径及AD为的切线，得，进而得到∠DAC=∠ABE，再利用三角形的外角定理结合等量代换即可求证结论．
（2）设半径为a，则AB=AC=2a，则CE=2a-3，由（1）得∠DAB=∠BEC=90°，∠D=∠EBC，则，进而得，根据等式解出a即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAC=90°，
又∵AD为的切线，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠DAC=∠ABE，
又∵，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠ACB为△ADC的一个外角，
∴∠ACB=∠D+∠DAC，
∴∠D+∠DAC=∠ABC=∠ABE+∠EBC，
∴∠D=∠EBC．
（2）设半径为a，则AB=AC=2a，则CE=2a-3，
由（1）得，∠DAB=∠BEC=90°，∠D=∠EBC，
，
，即，
得，
解得，
∴的半径为．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，是的直径，C，D是上两点，过点C的切线交的延长线于点E，，
连接，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而证明，由平行线的性质得到，再根据圆周角定理即可证明结论；
（2）连接，根据圆周角定理得到，由正切求出，再由勾股定理求得的长，证明，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：

∵是的切线，
∴，
∵，
，
∴，
由圆周角定理得：，
∴；
（2）解：连接，如上图所示：

∵是的直径，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，即，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，即
∴解得：．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，在中，，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作圆，
分别与相交于点D，E，连接．已知是的切线．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，再证出，，即可得解；
（2）过点O作，垂足为F，证明，得到，再证出，得到，代入求值即可；
【详解】（1）证明：连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：；
（2）过点O作，垂足为F，
由（1）知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的半径为．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，在中，，以为直径作，交于点，
作交延长线于点，为上一点，为的切线．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）为的切线，则，从而可得出，由，可推出，等量代换得出，即可得证；
（2）连接，由直径所对的圆周角为直角，可得，即可得出 ，从而可求出的长．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于的等式，解出，即求出的长，从而可求出的长．由 ，可判定，即可得出，从而可证明，即得出，代入数据，即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，

∵为直径，
∴．
∴在中，，即，
解得：．
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）.
【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明即可；
（2）过O作于G，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形AODF是菱形，得到，，于是得到结论．
【详解】（1）直线DE与⊙O相切，
连结OD．
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作于G，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形AODF是菱形，
∵，，
∴，
∴．
（2023·山东济南·二模）
如图，AB是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，
直线与的延长线相交于点P，弦平分，交于点F，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图1，连接，证明，可得，则，证明，可得，从而可得结论；
（2）如图2，连接，证明，可得可得，，证明为等腰直角三角形，从而可得答案．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）如图2，连接，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，∴
∴，
∴，∴，
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，在中，以为直径作交于点D，且点D为中点，
过点D作的切线交的延长线于点E．
求证：；
(2) 若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）如图，连接，证明是的中位线，可得，则，证明，可得，从而可得答案；
（2）由，，可得，证明，结合，可得，则，从而可得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，点D为中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，△ABC中，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，
⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD，BD平分∠ABC．
（1）求∠C的度数；
（2）如果∠A＝30°，AD＝2，求线段CD的长度．
【答案】（1）90°；（2）
【分析】(1)连接OD，∠ADO=90°，由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，则∠ACB=90°；
(2)得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD、AO的长；根据平行线分线段成比例定理，得结论．
【详解】(1)如图，连接OD
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴OD∥CB，
∴∠C=∠ADO=90°；
(2)在Rt△AOD中，∠A=30°，AD=2，
∴，，
∵OD∥CB，
∴，
即，
∴CD=．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，是的直径，是的弦，点是外一点，．
求证：是的切线；
连接，若OP∥BC，且，的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，，可证，即，由此即可求证；
（2）根据题意，及（1）中条件可证，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：∵的半径为，，
∴，，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
（2023·山东济南·统考三模）
如图，已知是的直径，点P在的延长线上，切于点D，
过点B作，垂足为C，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)连接，如果，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，由PD切 O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结论；
（2过点O作OF⊥BC于点F，则∠OFC=90°，根据∠ODC=∠DCF=90°，推出四边形DOFC是矩形，根据∠ABC=∠AOD，得到，根据PD=4，得到PO=5，推出，得到OB=3，推出,根据CF=DO=3，推出．
【详解】（1）连接，
∵PD切于点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）过点O作OF⊥BC于点F，则∠OFC=90°，
∵∠ODC=∠DCF=90°，
∴∠DOF=360°-∠OFC -∠ODC-∠DCF=90°，
∴∠DOF=∠OFC =∠ODC=∠DCF=90°，
∴四边形DOFC是矩形，
∵∠ABC=∠AOD，
∴
∵PD=4，
∴PO=5，
∴，
∴OB=3，
∴,
∵CF=DO=3，
∴．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，
过B点的切线交OP于点C．
（1）求证：∠CBP＝∠ADB；
（2）若OA＝4，AB＝2，求线段BP的长．
【答案】（1）见解析；（2）14
【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据切线的性质得到∠OBC＝90°，然后利用等量代换进行证明；
（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．
【详解】（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠A+∠ADB＝90°，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
而OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠CBP＝∠ADB；
（2）∵OP⊥AD，
∴∠POA＝90°，
∴∠P+∠A＝90°，
∴∠P＝∠D，
∴△AOP∽△ABD，
∴＝，即＝，
∴BP＝14．
（2023·山东济南·统考三模）
如图，AB为的直径，C为上一点，的切线BD交OC的延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若，．求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）CD＝
【分析】（1）根据切线的性质得到∠OBD＝∠OBC＋∠DBC＝90°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°，加上∠OBC＝∠OCB，于是利用等量代换得到结论；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系得到CB＝，然后证明∠D＝∠CBD＝30°得到CD＝CB即可．
【详解】（1）证明：∵DB是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠OBD＝∠OBC＋∠DBC＝90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°．
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB．
∴∠DBC＝∠OCA；
（2）解：在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，AC＝2，
设，则，
∴，
解得：，
则，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∴∠D＝90° ∠COB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°．
∴∠DBC＝∠OCA＝30°，
∴∠D＝∠DBC．
∴CB＝CD．
∴CD＝．
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2024年山东省济南市中考数学《圆》解答题训练
（2023·山东济南·统考中考真题）
如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，
，点是的中点，弦，相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求直径的长．
（2022·山东济南·统考中考真题）
已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，
CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
(1)求证：CA＝CD；
(2)若AB＝12，求线段BF的长．
（2021·山东济南·统考中考真题）
已知：如图，是的直径，，是上两点，
过点的切线交的延长线于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
4 .（2023·山东济南·统考一模）
如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，
⊙O的切线DF与AC垂直，垂足为F．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若CF＝2AF，AE＝4，求⊙O的半径．
5 .（2023·山东济南·统考一模）
如图，、是的两条直径，过点的的切线交的延长线于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若是的中点，，求的半径．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，在中，，以为直径作与交于点，
过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.
连接BC并延长，交AD的延长线于点E．

（1）求证：AE=AB；
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，
过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于D，交过点C的切线于E．
(1)求证：∠DCE＝∠ABC；
(2)若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，是的直径，，是上两点，且，
过点的切线交的延长线于点，交的延长线于点，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求的长．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，在中，为的直径，为上一点，是的切线，
过点作的垂线，交的延长线于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，是的直径，是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，
过点作于点，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的半径．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，
⊙O的切线DF与AC垂直，垂足为F．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若CF＝2AF，AE＝4，求⊙O的半径．
（2023·山东济南·校考一模）
如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，
过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，求的半径．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，
过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．
（1）求证：DF⊥BC；
（2）求证：DE2=AE BE．
（2023·山东济南·统考一模）
如图，是的直径，，垂足为E，直线与圆相切于点C，交于点D，
直线交的延长线于点P，连接，．
(1)求证：平分；
(2)若直径为10，，求长．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，在中，，点O在斜边上，以O为圆心，
的长为半径的圆交于点D，交于点E，为的切线．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径的长．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，
过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求BE的长．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，已知是的直径，C是上一点，的平分线交于点D，
是的切线，D为切点，交的延长线于点P，连接．

(1)求证：；
(2)若的半径为1，，求的长．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，在中，，以为直径作与交于点E．
过点A作的切线交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，是的直径，C，D是上两点，过点C的切线交的延长线于点E，，
连接，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，在中，，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作圆，
分别与相交于点D，E，连接．已知是的切线．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，在中，，以为直径作，交于点，
作交延长线于点，为上一点，为的切线．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长．
（2023·山东济南·二模）
如图，AB是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，
直线与的延长线相交于点P，弦平分，交于点F，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求线段的长．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，在中，以为直径作交于点D，且点D为中点，
过点D作的切线交的延长线于点E．
求证：；
若，，求的长．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，△ABC中，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，
⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD，BD平分∠ABC．
（1）求∠C的度数；
（2）如果∠A＝30°，AD＝2，求线段CD的长度．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，是的直径，是的弦，点是外一点，．
求证：是的切线；
连接，若OP∥BC，且，的半径为，求的长．
（2023·山东济南·统考三模）
如图，已知是的直径，点P在的延长线上，切于点D，
过点B作，垂足为C，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)连接，如果，求的长．
（2023·山东济南·统考二模）
如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，
过B点的切线交OP于点C．
（1）求证：∠CBP＝∠ADB；
（2）若OA＝4，AB＝2，求线段BP的长．
（2023·山东济南·统考三模）
如图，AB为的直径，C为上一点，的切线BD交OC的延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若，．求CD的长．
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