2024年山东省济南市中考数学《圆》解答题训练(原版+解析版)

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2024年山东省济南市中考数学《圆》解答题训练(原版+解析版)

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2024年山东省济南市中考数学《圆》解答题训练(解析卷)
(2023·山东济南·统考中考真题)
如图,,为的直径,为上一点,过点的切线与的延长线交于点,
,点是的中点,弦,相交于点.
(1)求的度数;
(2)若,求直径的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据切线的性质,得出,再根据直角三角形两锐角互余,得出,再根据等边对等角,得出,再根据等量代换,得出,再根据,得出,即,得出,进而计算即可得出答案;
(2)连接,根据圆周角定理,得出,再根据中点的定义,得出,再根据同弧或同弦所对的圆周角相等,得出,再根据正切的定义,得出,再根据角所对的直角边等于斜边的一半,得出,进而即可得出答案.
【详解】(1)解:∵与相切于点,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴,
∴;
(2)解:如图,连接,

∵是直径,
∴,
∵点是的中点,
∴,
∴,
在中,
∵,,
∴,
在中,
∵,
∴,
∴的直径的长为.
(2022·山东济南·统考中考真题)
已知:如图,AB为⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,
CE平分∠ACB交⊙O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F.
(1)求证:CA=CD;
(2)若AB=12,求线段BF的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接,欲证明CA=CD,只要证明即可.
(2)因为为直径,所以,可得出三角形CBF为等腰直角三角形,即可求出BF,由此即可解决问题.
【详解】(1)证明:连接
∵与相切于点,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵所对的圆周角为,圆心角为,
∴,
∴,
∴.
(2)∵为直径,
∴,
在中,,,
∴,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴.
(2021·山东济南·统考中考真题)
已知:如图,是的直径,,是上两点,
过点的切线交的延长线于点,,连接,.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
【答案】(1)见解析;(2)
【分析】(1)连接,根据切线的性质,已知条件可得,进而根据平行线的性质可得,根据圆周角定理可得,等量代换即可得证;
(2)连接,根据同弧所对的圆周角相等,可得,进而根据正切值以及已知条件可得的长,勾股定理即可求得,进而即可求得圆的半径.
【详解】(1)连接,如图,
是的切线,







(2)连接
是的直径,









即的半径为.
4 .(2023·山东济南·统考一模)
如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与CA的延长线交于点E,
⊙O的切线DF与AC垂直,垂足为F.
(1)求证:AB=AC.
(2)若CF=2AF,AE=4,求⊙O的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2)的半径为6.
【分析】(1)根据圆切线的性质可得,然后根据等腰三角形的等边对等角以及等角对等边可得出结论;
(2)根据圆周角定理以及等腰三角形的判定与性质可得结果.
【详解】解:(1)证明:如图,连接.
是的切线,


∴,





(2)如图,连接,则.
由(1)知,









的半径为6.
5 .(2023·山东济南·统考一模)
如图,、是的两条直径,过点的的切线交的延长线于点,连接、.
(1)求证:;
(2)若是的中点,,求的半径.
【答案】(1)见解析;(2)的半径为.
【分析】(1)根据半径相等可知,,再根据对顶角相等和三角形内角和定理证明;
(2)连接.由为的切线,可得,因为是的中点,得,又,可知为等边三角形,,所以,即的半径为.
【详解】(1)证明:∵、是的两条直径,
∴,
∴,,
∵,
∴,
即;
(2)连接.
∵是的两条直径,
∴∠ACB=90°,
∵CE为的切线,
∴,
∵是的中点,
∴,
∵,
∴为等边三角形,
∴,
∴,
∴,
∴,
即的半径为.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,在中,,以为直径作与交于点,
过点作的切线交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
【答案】(1)见解析
(2)2.25
【分析】(1)根据切线的性质可得,从而得到,根据直径所对圆周角是直角可得,则,然后利用等腰三角形的性质可得,根据等角的余角相等,即可得证;
(2)由已知可得,然后利用(1)的结论,可得,根据相似三角形的性质得到,根据,进行计算即可.
【详解】(1)证明:与相切于点,


是的直径,






(2)解:,

,,



,,




的半径为2.25.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.
连接BC并延长,交AD的延长线于点E.

(1)求证:AE=AB;
(2)若AB=10,BC=6,求CD的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB=∠E,即可推出∠ABE=∠E,AE=AB.
(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可.
【详解】
(1)证明:连接OC
∵CD与⊙O相切于C点
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴∠OCB=∠E
∵OC=OB
∴∠ABE=∠OCB
∴∠ABE=∠E
∴AE=AB
(2)连接AC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°

∵AB=AE,AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵∠DEC=∠CEA, ∠EDC=∠ECA
∴△EDC∽△ECA

∴.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,
过点O作OD⊥AB,交AC的延长线于D,交过点C的切线于E.
(1)求证:∠DCE=∠ABC;
(2)若OA=3,AC=2,求线段CD的长.
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【分析】(1)如图,连接OC,由切线的性质可知∠OCE=90°,即∠OCB+∠ECB=90°,由直径所对的圆周角为90°可知,即∠ECB+∠DCE=90°,可得∠DCE=∠OCB,由OC=OB,可知∠ABC=∠OCB,进而结论得证;
(2)证明△AOD∽△ACB,则即,解得AD=9,根据求出的值即可.
【详解】(1)证明:如图,连接OC
∵CE与⊙O相切
∴OC⊥CE
∴∠OCE=90°,即∠OCB+∠ECB=90°
∵AB为直径
∴,即∠ECB+∠DCE=90°
∴∠DCE=∠OCB
∵OC=OB
∴∠ABC=∠OCB
∴∠DCE=∠ABC.
(2)解:∵OA=3
∴AB=2OA=6
∵∠AOD=∠ACB=90°,∠A=∠A
∴△AOD∽△ACB
∴即
解得AD=9
∴.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,是的直径,,是上两点,且,
过点的切线交的延长线于点,交的延长线于点,连接,交于点.
(1)求证:;
(2)若,的半径为2,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】(1)连接,由切线的性质得出.由等弧所对圆周角相等得出,由等腰三角形的性质得出,得出,即证明,从而可得出;
(2)由题意易证,得出.又易证,从而得出,再结合,,即可求出结果.
【详解】(1)证明:如图,连接,
∵是的切线,
∴,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
(2)解:∵,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,在中,为的直径,为上一点,是的切线,
过点作的垂线,交的延长线于点.
(1)求证:平分;
(2)若,,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据题意连接,直接利用切线的定理进行分析证明即可;
(2)连接,交于于点,根据题意得,则四边形为矩形,由已知和同弧所对的圆周角相等得出,勾股定理得出,进而得出,由四边形为矩形即可得解.
即可求解.
【详解】(1)证明:连接;


是的切线,

又,



平分;
(2)连接,交于于点;
是圆的直径,
,则四边形为矩形;

∴,
∴,
∴,


,则,半径为,
∴,则,
又四边形为矩形;

(2023·山东济南·统考一模)
如图,是的直径,是的弦,过点作的切线,交的延长线于点,
过点作于点,交的延长线于点.
(1)求证:;(2)若,,求的半径.
【答案】(1)见解析;(2)的半径为6.
【分析】(1)连接,根据切线的性质得到,推出,得到,根据等腰三角形的性质得到,求得,根据三角形的外角的性质即可得到结论;
(2)根据勾股定理得到,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【详解】(1)连接,
∵是的切线,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴;
(2)∵,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴的半径为6.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,AB是的直径,点C是上一点,过点B作的切线,与AC延长线交于点D,
连接BC,点E是上一点,,连接BE交AC于点H,.
(1)求证:;
(2)若BD=5,求AB长.
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【分析】(1)利用推出,根据半径特性推出,从而证明,再根据和求出,即可求出.
(2)利用切线长的性质求出度数,从而求出度数,根据三角形外角定理求出的度数,最后利用正切的定义去求边长即可求出长度.
【详解】(1)证明: ,
.


.
为的直径,

.



.
(2)解是的切线,



在中,
故答案为:.
(2023·山东济南·校考一模)
如图,是的直径,射线交于点D,E是劣弧上一点,且,
过点E作于点F,延长和的延长线交与点G.
(1)证明:是的切线;
(2)若,求的半径.
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】(1)连接,先证明,再证明,,进而证明,即可证明是的切线;
(2)设的半径为r,根据勾股定理得到,解方程即可得到的半径,即可.
【详解】(1)证明:如图,连接,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴是的切线;
(2)解:设的半径为r,,
∵在中,,
∴,
解得,
即的半径为3.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,
过D作⊙O的切线交AB的延长线于E,交BC于F.
(1)求证:DF⊥BC;
(2)求证:DE2=AE BE.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【分析】(1)求出OD∥BC,根据切线的性质得出OD⊥ED,即可求出答案;
(2)求出△DBE∽△ADE,根据相似得出比例式,即可得出答案.
【详解】证明:(1)连接OD,
∵OA=OD,AB=BC,
∴∠A=∠C,∠A=∠ODA,
∴∠C=∠ODA,
∴OD∥BC,
∴∠BFE=∠ODE,
∵DE为⊙O的切线,
∴∠ODE=90°,
∴∠BFE=90°,
∴DF⊥BC;
(2)连接BD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠A+∠ABD=90°,
∵∠ODE=90°,
∴∠ODB+∠BDE=90°,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠ABD,
∴∠A=∠BDE,
∵∠E=∠E,
∴△DBE∽△ADE,
∴,
∴DE2=AE BE.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,是的直径,,垂足为E,直线与圆相切于点C,交于点D,
直线交的延长线于点P,连接,.
(1)求证:平分;
(2)若直径为10,,求长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接,先证明,即有,根据,有,,问题得证;
(2)在中,,再证明,即有,可得,连接,在中,问题得解.
【详解】(1)证明:连接,
∵直线与圆相切于点C,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴平分;
(2)∵是的直径,
∴,
在中,,
在和中,
∵,,
∴,
∴,即,
∴,
连接,

∵,
∴,
在中,.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,在中,,点O在斜边上,以O为圆心,
的长为半径的圆交于点D,交于点E,为的切线.

(1)求证:;
(2)若,,求的半径的长.
【答案】(1)见解析
(2)⊙O的半径为
【分析】(1)连接,利用圆的切线的性质定理,直角三角形的两个锐角互余,同角的余角相等得到,利用同圆的半径相等,等腰三角形的性质即可得出结论;
(2)通过证明求得线段的长,连接,由圆周角定理可得,可知,易证,可得,求得,根据勾股定理得,进而可求的半径.
【详解】(1)证明:如图,连接,

∵是的切线,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴;
(2)∵,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
连接,

∵是的直径,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
根据勾股定理得,
∴.
∴的半径为.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,AB是的直径,AC是的弦,AD平分∠CAB交于点D,
过点D作的切线EF,交AB的延长线于点E,交AC的延长线于点F.
(1)求证:;
(2)若,,,求BE的长.
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】(1)连接,根据平分,可得,从而得到,可得,再由切线的性质,即可求解;
(2)由,可得,设为,可得,即可求解.
【详解】(1)证明:连接,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵为的切线,
∴,
∴.
(2)解:由(1)得:,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,,
∴,
设为,
∴,
∴,
解得:,
即的长为2.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,已知是的直径,C是上一点,的平分线交于点D,
是的切线,D为切点,交的延长线于点P,连接.

(1)求证:;
(2)若的半径为1,,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接,由角平分线的定义可得出,从而得出,进而得出.由切线的性质得出,即可证明;(2)根据勾股定理结合(1)和题意可求出.再证明出,即得出,代入数据,即可求出的长.
【详解】(1)证明:如图,连接.

∵为的平分线,
∴,
∴,
∴.
∵是的切线,D为切点,
∴,
∴;
(2)解:∵的半径为1,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,,
∴,
∴,
∴,即,
解得:.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,在中,,以为直径作与交于点E.
过点A作的切线交的延长线于点D.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】(1)利用为的直径及AD为的切线,得,进而得到∠DAC=∠ABE,再利用三角形的外角定理结合等量代换即可求证结论.
(2)设半径为a,则AB=AC=2a,则CE=2a-3,由(1)得∠DAB=∠BEC=90°,∠D=∠EBC,则,进而得,根据等式解出a即可求解.
【详解】(1)证明:∵为的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠ABE+∠BAC=90°,
又∵AD为的切线,
∴∠DAB=90°,
∴∠DAC+∠BAC=90°,
∴∠DAC=∠ABE,
又∵,
∴∠ACB=∠ABC,
∵∠ACB为△ADC的一个外角,
∴∠ACB=∠D+∠DAC,
∴∠D+∠DAC=∠ABC=∠ABE+∠EBC,
∴∠D=∠EBC.
(2)设半径为a,则AB=AC=2a,则CE=2a-3,
由(1)得,∠DAB=∠BEC=90°,∠D=∠EBC,

,即,
得,
解得,
∴的半径为.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,是的直径,C,D是上两点,过点C的切线交的延长线于点E,,
连接,.

(1)求证:;
(2)若,,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接,根据切线的性质得到,进而证明,由平行线的性质得到,再根据圆周角定理即可证明结论;
(2)连接,根据圆周角定理得到,由正切求出,再由勾股定理求得的长,证明,根据相似三角形对应边成比例,即可进行解答.
【详解】(1)证明:连接,如图所示:

∵是的切线,
∴,
∵,

∴,
由圆周角定理得:,
∴;
(2)解:连接,如上图所示:

∵是的直径,
∴,
由圆周角定理得:,
∴,即,
∵,
∴,
由勾股定理得:,
∵,
∴,
∵,
∴,

∵,
∴,
∴,即
∴解得:.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,在中,,点O在斜边上,以O为圆心,为半径作圆,
分别与相交于点D,E,连接.已知是的切线.
(1)求证:;
(2)若,求的半径.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)连接,根据切线的性质得到,再证出,,即可得解;
(2)过点O作,垂足为F,证明,得到,再证出,得到,代入求值即可;
【详解】(1)证明:连接,
∵为的切线,
∴,
∴,
在中,,
∴,
∵,
∴,
∴,
即:;
(2)过点O作,垂足为F,
由(1)知:,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
∴,
∴的半径为.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,在中,,以为直径作,交于点,
作交延长线于点,为上一点,为的切线.

(1)求证:;
(2)若,,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)为的切线,则,从而可得出,由,可推出,等量代换得出,即可得证;
(2)连接,由直径所对的圆周角为直角,可得,即可得出 ,从而可求出的长.设,则,在中,利用勾股定理可列出关于的等式,解出,即求出的长,从而可求出的长.由 ,可判定,即可得出,从而可证明,即得出,代入数据,即可求出的长.
【详解】(1)证明:∵为的切线,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴.
∴,
∴;
(2)解:如图,连接,

∵为直径,
∴.
∴在中,,即,
解得:.
设,则,
∵在中,,
∴,
解得:,即,
∴.
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,即,
解得:.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分,,垂足为E
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为2,,求线段EF的长.
【答案】(1)直线DE与⊙O相切;(2).
【分析】(1)欲证明DE是⊙O的切线,只要证明即可;
(2)过O作于G,得到,根据直角三角形的性质得到,得到,推出四边形AODF是菱形,得到,,于是得到结论.
【详解】(1)直线DE与⊙O相切,
连结OD.
∵AD平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,即,
∴,即,
∴DE是⊙O的切线;
(2)过O作于G,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴四边形AODF是菱形,
∵,,
∴,
∴.
(2023·山东济南·二模)
如图,AB是的直径,点C是上一点,与过点C的切线垂直,垂足为点D,
直线与的延长线相交于点P,弦平分,交于点F,连接.
(1)求证:平分;
(2)若,,求线段的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)如图1,连接,证明,可得,则,证明,可得,从而可得结论;
(2)如图2,连接,证明,可得可得,,证明为等腰直角三角形,从而可得答案.
【详解】(1)证明:如图1,连接,
∵为的切线,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴平分;
(2)如图2,连接,
∵是的直径,,
∴,
∵,
∴,∴
∴,
∴,∴,
∵平分,

∵,
∴,
∴为等腰直角三角形,
∴.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,在中,以为直径作交于点D,且点D为中点,
过点D作的切线交的延长线于点E.
求证:;
(2) 若,,求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】(1)如图,连接,证明是的中位线,可得,则,证明,可得,从而可得答案;
(2)由,,可得,证明,结合,可得,则,从而可得答案.
【详解】(1)证明:如图,连接,
∵,点D为中点,
∴是的中位线,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
(2)∵,,
∴,
∵是的切线,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,△ABC中,点O是边AB上一点,以点O为圆心,以OB为半径作⊙O,
⊙O恰好与AC相切于点D,连接BD,BD平分∠ABC.
(1)求∠C的度数;
(2)如果∠A=30°,AD=2,求线段CD的长度.
【答案】(1)90°;(2)
【分析】(1)连接OD,∠ADO=90°,由BD平分∠ABC,OB=OD可得OD 与BC间的位置关系,则∠ACB=90°;
(2)得Rt△OAD,由∠A=30°,AD=2,可求出OD、AO的长;根据平行线分线段成比例定理,得结论.
【详解】(1)如图,连接OD
∵OD是⊙O的半径,AC是⊙O的切线,点D是切点,
∴OD⊥AC
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
又∵BD平分∠ABC,
∴∠OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴OD∥CB,
∴∠C=∠ADO=90°;
(2)在Rt△AOD中,∠A=30°,AD=2,
∴,,
∵OD∥CB,
∴,
即,
∴CD=.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,是的直径,是的弦,点是外一点,.
求证:是的切线;
连接,若OP∥BC,且,的半径为,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)如图所示,连接,,可证,即,由此即可求证;
(2)根据题意,及(1)中条件可证,根据相似三角形的性质即可求解.
【详解】(1)证明:如图所示,连接,
∵是的直径,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵是的半径,且,
∴是的切线.
(2)解:∵的半径为,,
∴,,
∵,
∴,
由(1)得,
∴,
∴,
∴,
∴的长为.
(2023·山东济南·统考三模)
如图,已知是的直径,点P在的延长线上,切于点D,
过点B作,垂足为C,交的延长线于点E.
(1)求证:;
(2)连接,如果,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接OD,由PD切 O于点D,得到OD⊥PD,由于BE⊥PC,得到OD∥BE,得出∠ADO=∠E,根据等腰三角形的性质和等量代换可得结论;
(2过点O作OF⊥BC于点F,则∠OFC=90°,根据∠ODC=∠DCF=90°,推出四边形DOFC是矩形,根据∠ABC=∠AOD,得到,根据PD=4,得到PO=5,推出,得到OB=3,推出,根据CF=DO=3,推出.
【详解】(1)连接,
∵PD切于点,
∴.
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
(2)过点O作OF⊥BC于点F,则∠OFC=90°,
∵∠ODC=∠DCF=90°,
∴∠DOF=360°-∠OFC -∠ODC-∠DCF=90°,
∴∠DOF=∠OFC =∠ODC=∠DCF=90°,
∴四边形DOFC是矩形,
∵∠ABC=∠AOD,

∵PD=4,
∴PO=5,
∴,
∴OB=3,
∴,
∵CF=DO=3,
∴.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,
过B点的切线交OP于点C.
(1)求证:∠CBP=∠ADB;
(2)若OA=4,AB=2,求线段BP的长.
【答案】(1)见解析;(2)14
【分析】(1)连接OB,如图,根据圆周角定理得到∠ABD=90°,再根据切线的性质得到∠OBC=90°,然后利用等量代换进行证明;
(2)证明△AOP∽△ABD,然后利用相似比求BP的长.
【详解】(1)证明:连接OB,如图,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,
∴∠A+∠ADB=90°,
∵BC为切线,
∴OB⊥BC,
∴∠OBC=90°,
∴∠OBA+∠CBP=90°,
而OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∴∠CBP=∠ADB;
(2)∵OP⊥AD,
∴∠POA=90°,
∴∠P+∠A=90°,
∴∠P=∠D,
∴△AOP∽△ABD,
∴=,即=,
∴BP=14.
(2023·山东济南·统考三模)
如图,AB为的直径,C为上一点,的切线BD交OC的延长线于点D.
(1)求证:;
(2)若,.求CD的长.
【答案】(1)见解析;(2)CD=
【分析】(1)根据切线的性质得到∠OBD=∠OBC+∠DBC=90°,再根据圆周角定理得到∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°,加上∠OBC=∠OCB,于是利用等量代换得到结论;
(2)利用含30度的直角三角形三边的关系得到CB=,然后证明∠D=∠CBD=30°得到CD=CB即可.
【详解】(1)证明:∵DB是⊙O的切线,
∴BD⊥AB,
∴∠OBD=∠OBC+∠DBC=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°.
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠DBC=∠OCA;
(2)解:在Rt△ACB中,∵∠A=30°,AC=2,
设,则,
∴,
解得:,
则,
∵∠A=30°,
∴∠COB=2∠A=60°,
∴∠D=90° ∠COB=30°,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠A=30°.
∴∠DBC=∠OCA=30°,
∴∠D=∠DBC.
∴CB=CD.
∴CD=.
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2024年山东省济南市中考数学《圆》解答题训练
(2023·山东济南·统考中考真题)
如图,,为的直径,为上一点,过点的切线与的延长线交于点,
,点是的中点,弦,相交于点.
(1)求的度数;
(2)若,求直径的长.
(2022·山东济南·统考中考真题)
已知:如图,AB为⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,
CE平分∠ACB交⊙O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F.
(1)求证:CA=CD;
(2)若AB=12,求线段BF的长.
(2021·山东济南·统考中考真题)
已知:如图,是的直径,,是上两点,
过点的切线交的延长线于点,,连接,.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
4 .(2023·山东济南·统考一模)
如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与CA的延长线交于点E,
⊙O的切线DF与AC垂直,垂足为F.
(1)求证:AB=AC.
(2)若CF=2AF,AE=4,求⊙O的半径.
5 .(2023·山东济南·统考一模)
如图,、是的两条直径,过点的的切线交的延长线于点,连接、.
(1)求证:;
(2)若是的中点,,求的半径.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,在中,,以为直径作与交于点,
过点作的切线交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.
连接BC并延长,交AD的延长线于点E.

(1)求证:AE=AB;
(2)若AB=10,BC=6,求CD的长.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,
过点O作OD⊥AB,交AC的延长线于D,交过点C的切线于E.
(1)求证:∠DCE=∠ABC;
(2)若OA=3,AC=2,求线段CD的长.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,是的直径,,是上两点,且,
过点的切线交的延长线于点,交的延长线于点,连接,交于点.
(1)求证:;
(2)若,的半径为2,求的长.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,在中,为的直径,为上一点,是的切线,
过点作的垂线,交的延长线于点.
(1)求证:平分;
(2)若,,求的长.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,是的直径,是的弦,过点作的切线,交的延长线于点,
过点作于点,交的延长线于点.
求证:;
若,,求的半径.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与CA的延长线交于点E,
⊙O的切线DF与AC垂直,垂足为F.
(1)求证:AB=AC.
(2)若CF=2AF,AE=4,求⊙O的半径.
(2023·山东济南·校考一模)
如图,是的直径,射线交于点D,E是劣弧上一点,且,
过点E作于点F,延长和的延长线交与点G.
(1)证明:是的切线;
(2)若,求的半径.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,
过D作⊙O的切线交AB的延长线于E,交BC于F.
(1)求证:DF⊥BC;
(2)求证:DE2=AE BE.
(2023·山东济南·统考一模)
如图,是的直径,,垂足为E,直线与圆相切于点C,交于点D,
直线交的延长线于点P,连接,.
(1)求证:平分;
(2)若直径为10,,求长.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,在中,,点O在斜边上,以O为圆心,
的长为半径的圆交于点D,交于点E,为的切线.

(1)求证:;
(2)若,,求的半径的长.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,AB是的直径,AC是的弦,AD平分∠CAB交于点D,
过点D作的切线EF,交AB的延长线于点E,交AC的延长线于点F.
(1)求证:;
(2)若,,,求BE的长.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,已知是的直径,C是上一点,的平分线交于点D,
是的切线,D为切点,交的延长线于点P,连接.

(1)求证:;
(2)若的半径为1,,求的长.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,在中,,以为直径作与交于点E.
过点A作的切线交的延长线于点D.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,是的直径,C,D是上两点,过点C的切线交的延长线于点E,,
连接,.

(1)求证:;
(2)若,,求的长.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,在中,,点O在斜边上,以O为圆心,为半径作圆,
分别与相交于点D,E,连接.已知是的切线.
(1)求证:;
(2)若,求的半径.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,在中,,以为直径作,交于点,
作交延长线于点,为上一点,为的切线.

(1)求证:;
(2)若,,求的长.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分,,垂足为E
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为2,,求线段EF的长.
(2023·山东济南·二模)
如图,AB是的直径,点C是上一点,与过点C的切线垂直,垂足为点D,
直线与的延长线相交于点P,弦平分,交于点F,连接.
(1)求证:平分;
(2)若,,求线段的长.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,在中,以为直径作交于点D,且点D为中点,
过点D作的切线交的延长线于点E.
求证:;
若,,求的长.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,△ABC中,点O是边AB上一点,以点O为圆心,以OB为半径作⊙O,
⊙O恰好与AC相切于点D,连接BD,BD平分∠ABC.
(1)求∠C的度数;
(2)如果∠A=30°,AD=2,求线段CD的长度.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,是的直径,是的弦,点是外一点,.
求证:是的切线;
连接,若OP∥BC,且,的半径为,求的长.
(2023·山东济南·统考三模)
如图,已知是的直径,点P在的延长线上,切于点D,
过点B作,垂足为C,交的延长线于点E.
(1)求证:;
(2)连接,如果,求的长.
(2023·山东济南·统考二模)
如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,
过B点的切线交OP于点C.
(1)求证:∠CBP=∠ADB;
(2)若OA=4,AB=2,求线段BP的长.
(2023·山东济南·统考三模)
如图,AB为的直径,C为上一点,的切线BD交OC的延长线于点D.
(1)求证:;
(2)若,.求CD的长.
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