资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台2024年山东省济南市中考数学《圆》解答题训练(解析卷)(2023·山东济南·统考中考真题)如图,,为的直径,为上一点,过点的切线与的延长线交于点,,点是的中点,弦,相交于点.(1)求的度数;(2)若,求直径的长.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据切线的性质,得出,再根据直角三角形两锐角互余,得出,再根据等边对等角,得出,再根据等量代换,得出,再根据,得出,即,得出,进而计算即可得出答案;(2)连接,根据圆周角定理,得出,再根据中点的定义,得出,再根据同弧或同弦所对的圆周角相等,得出,再根据正切的定义,得出,再根据角所对的直角边等于斜边的一半,得出,进而即可得出答案.【详解】(1)解:∵与相切于点,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴,即,∴,∴;(2)解:如图,连接, ∵是直径,∴,∵点是的中点,∴,∴,在中,∵,,∴,在中,∵,∴,∴的直径的长为.(2022·山东济南·统考中考真题)已知:如图,AB为⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,CE平分∠ACB交⊙O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F.(1)求证:CA=CD;(2)若AB=12,求线段BF的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接,欲证明CA=CD,只要证明即可.(2)因为为直径,所以,可得出三角形CBF为等腰直角三角形,即可求出BF,由此即可解决问题.【详解】(1)证明:连接∵与相切于点,∴,∴,∵,∴,∵所对的圆周角为,圆心角为,∴,∴,∴.(2)∵为直径,∴,在中,,,∴,∵平分,∴,∵,∴,∴.(2021·山东济南·统考中考真题)已知:如图,是的直径,,是上两点,过点的切线交的延长线于点,,连接,.(1)求证:;(2)若,,求的半径.【答案】(1)见解析;(2)【分析】(1)连接,根据切线的性质,已知条件可得,进而根据平行线的性质可得,根据圆周角定理可得,等量代换即可得证;(2)连接,根据同弧所对的圆周角相等,可得,进而根据正切值以及已知条件可得的长,勾股定理即可求得,进而即可求得圆的半径.【详解】(1)连接,如图,是的切线,,,,,,,.(2)连接是的直径,,,,,,,,,.即的半径为.4 .(2023·山东济南·统考一模)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与CA的延长线交于点E,⊙O的切线DF与AC垂直,垂足为F.(1)求证:AB=AC.(2)若CF=2AF,AE=4,求⊙O的半径.【答案】(1)证明见解析;(2)的半径为6.【分析】(1)根据圆切线的性质可得,然后根据等腰三角形的等边对等角以及等角对等边可得出结论;(2)根据圆周角定理以及等腰三角形的判定与性质可得结果.【详解】解:(1)证明:如图,连接.是的切线,.,∴,.,,,.(2)如图,连接,则.由(1)知,,.,.,.,,,的半径为6.5 .(2023·山东济南·统考一模)如图,、是的两条直径,过点的的切线交的延长线于点,连接、.(1)求证:;(2)若是的中点,,求的半径.【答案】(1)见解析;(2)的半径为.【分析】(1)根据半径相等可知,,再根据对顶角相等和三角形内角和定理证明;(2)连接.由为的切线,可得,因为是的中点,得,又,可知为等边三角形,,所以,即的半径为.【详解】(1)证明:∵、是的两条直径,∴,∴,,∵,∴,即;(2)连接.∵是的两条直径,∴∠ACB=90°,∵CE为的切线,∴,∵是的中点,∴,∵,∴为等边三角形,∴,∴,∴,∴,即的半径为.(2023·山东济南·统考一模)如图,在中,,以为直径作与交于点,过点作的切线交的延长线于点.(1)求证:;(2)若,,求的半径.【答案】(1)见解析(2)2.25【分析】(1)根据切线的性质可得,从而得到,根据直径所对圆周角是直角可得,则,然后利用等腰三角形的性质可得,根据等角的余角相等,即可得证;(2)由已知可得,然后利用(1)的结论,可得,根据相似三角形的性质得到,根据,进行计算即可.【详解】(1)证明:与相切于点,,,是的直径,,,,,,;(2)解:,,,,,,,,,,,,,的半径为2.25.(2023·山东济南·统考一模)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E. (1)求证:AE=AB;(2)若AB=10,BC=6,求CD的长.【答案】(1)见解析;(2).【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB=∠E,即可推出∠ABE=∠E,AE=AB.(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可.【详解】 (1)证明:连接OC∵CD与⊙O相切于C点∴OC⊥CD又∵CD⊥AE∴OC//AE∴∠OCB=∠E∵OC=OB∴∠ABE=∠OCB∴∠ABE=∠E∴AE=AB(2)连接AC∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∵AB=AE,AC⊥BE∴EC=BC=6∵∠DEC=∠CEA, ∠EDC=∠ECA∴△EDC∽△ECA∴∴.(2023·山东济南·统考一模)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点O作OD⊥AB,交AC的延长线于D,交过点C的切线于E.(1)求证:∠DCE=∠ABC;(2)若OA=3,AC=2,求线段CD的长.【答案】(1)证明见解析;(2)【分析】(1)如图,连接OC,由切线的性质可知∠OCE=90°,即∠OCB+∠ECB=90°,由直径所对的圆周角为90°可知,即∠ECB+∠DCE=90°,可得∠DCE=∠OCB,由OC=OB,可知∠ABC=∠OCB,进而结论得证;(2)证明△AOD∽△ACB,则即,解得AD=9,根据求出的值即可.【详解】(1)证明:如图,连接OC∵CE与⊙O相切∴OC⊥CE∴∠OCE=90°,即∠OCB+∠ECB=90°∵AB为直径∴,即∠ECB+∠DCE=90°∴∠DCE=∠OCB∵OC=OB∴∠ABC=∠OCB∴∠DCE=∠ABC.(2)解:∵OA=3∴AB=2OA=6∵∠AOD=∠ACB=90°,∠A=∠A∴△AOD∽△ACB∴即解得AD=9∴.(2023·山东济南·统考一模)如图,是的直径,,是上两点,且,过点的切线交的延长线于点,交的延长线于点,连接,交于点.(1)求证:;(2)若,的半径为2,求的长.【答案】(1)见解析(2)2【分析】(1)连接,由切线的性质得出.由等弧所对圆周角相等得出,由等腰三角形的性质得出,得出,即证明,从而可得出;(2)由题意易证,得出.又易证,从而得出,再结合,,即可求出结果.【详解】(1)证明:如图,连接,∵是的切线,∴,∴.∵,∴.∵,∴,∴,∴,∴,∴;(2)解:∵,∴,∴.∵,∴,∴,∴,∴.(2023·山东济南·统考一模)如图,在中,为的直径,为上一点,是的切线,过点作的垂线,交的延长线于点.(1)求证:平分;(2)若,,求的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)根据题意连接,直接利用切线的定理进行分析证明即可;(2)连接,交于于点,根据题意得,则四边形为矩形,由已知和同弧所对的圆周角相等得出,勾股定理得出,进而得出,由四边形为矩形即可得解.即可求解.【详解】(1)证明:连接;,,是的切线,,又,,,,平分;(2)连接,交于于点;是圆的直径,,则四边形为矩形;∵∴,∴,∴,,,,则,半径为,∴,则,又四边形为矩形;.(2023·山东济南·统考一模)如图,是的直径,是的弦,过点作的切线,交的延长线于点,过点作于点,交的延长线于点.(1)求证:;(2)若,,求的半径.【答案】(1)见解析;(2)的半径为6.【分析】(1)连接,根据切线的性质得到,推出,得到,根据等腰三角形的性质得到,求得,根据三角形的外角的性质即可得到结论;(2)根据勾股定理得到,根据相似三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)连接,∵是的切线,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴;(2)∵,∴,∵,,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴的半径为6.(2023·山东济南·统考一模)如图,AB是的直径,点C是上一点,过点B作的切线,与AC延长线交于点D,连接BC,点E是上一点,,连接BE交AC于点H,.(1)求证:;(2)若BD=5,求AB长.【答案】(1)证明见解析;(2)【分析】(1)利用推出,根据半径特性推出,从而证明,再根据和求出,即可求出.(2)利用切线长的性质求出度数,从而求出度数,根据三角形外角定理求出的度数,最后利用正切的定义去求边长即可求出长度.【详解】(1)证明: ,.,,.为的直径,,.,,,.(2)解是的切线,, ,,在中, 故答案为:.(2023·山东济南·校考一模)如图,是的直径,射线交于点D,E是劣弧上一点,且,过点E作于点F,延长和的延长线交与点G.(1)证明:是的切线;(2)若,求的半径.【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1)连接,先证明,再证明,,进而证明,即可证明是的切线;(2)设的半径为r,根据勾股定理得到,解方程即可得到的半径,即可.【详解】(1)证明:如图,连接,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴是的切线;(2)解:设的半径为r,,∵在中,,∴,解得,即的半径为3.(2023·山东济南·统考二模)如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作⊙O的切线交AB的延长线于E,交BC于F.(1)求证:DF⊥BC;(2)求证:DE2=AE BE.【答案】(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)求出OD∥BC,根据切线的性质得出OD⊥ED,即可求出答案;(2)求出△DBE∽△ADE,根据相似得出比例式,即可得出答案.【详解】证明:(1)连接OD,∵OA=OD,AB=BC,∴∠A=∠C,∠A=∠ODA,∴∠C=∠ODA,∴OD∥BC,∴∠BFE=∠ODE,∵DE为⊙O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠BFE=90°,∴DF⊥BC;(2)连接BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠A+∠ABD=90°,∵∠ODE=90°,∴∠ODB+∠BDE=90°,∵OD=OB,∴∠ODB=∠ABD,∴∠A=∠BDE,∵∠E=∠E,∴△DBE∽△ADE,∴,∴DE2=AE BE.(2023·山东济南·统考一模)如图,是的直径,,垂足为E,直线与圆相切于点C,交于点D,直线交的延长线于点P,连接,.(1)求证:平分;(2)若直径为10,,求长.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接,先证明,即有,根据,有,,问题得证;(2)在中,,再证明,即有,可得,连接,在中,问题得解.【详解】(1)证明:连接,∵直线与圆相切于点C,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴平分;(2)∵是的直径,∴,在中,,在和中,∵,,∴,∴,即,∴,连接,,∵,∴,在中,.(2023·山东济南·统考二模)如图,在中,,点O在斜边上,以O为圆心,的长为半径的圆交于点D,交于点E,为的切线. (1)求证:;(2)若,,求的半径的长.【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为【分析】(1)连接,利用圆的切线的性质定理,直角三角形的两个锐角互余,同角的余角相等得到,利用同圆的半径相等,等腰三角形的性质即可得出结论;(2)通过证明求得线段的长,连接,由圆周角定理可得,可知,易证,可得,求得,根据勾股定理得,进而可求的半径.【详解】(1)证明:如图,连接, ∵是的切线,∴,∴,∵,∴,∴.∵,∴,∴;(2)∵,,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,连接, ∵是的直径,∴,又∵,∴,∴,∴,∴,∴,根据勾股定理得,∴.∴的半径为.(2023·山东济南·统考二模)如图,AB是的直径,AC是的弦,AD平分∠CAB交于点D,过点D作的切线EF,交AB的延长线于点E,交AC的延长线于点F.(1)求证:;(2)若,,,求BE的长.【答案】(1)见解析(2)2【分析】(1)连接,根据平分,可得,从而得到,可得,再由切线的性质,即可求解;(2)由,可得,设为,可得,即可求解.【详解】(1)证明:连接,∵平分,∴,∵,∴,∴,∴,∵为的切线,∴,∴.(2)解:由(1)得:,∴,∵,,∴,∵,∴,,∴,设为,∴,∴,解得:,即的长为2.(2023·山东济南·统考二模)如图,已知是的直径,C是上一点,的平分线交于点D,是的切线,D为切点,交的延长线于点P,连接. (1)求证:;(2)若的半径为1,,求的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接,由角平分线的定义可得出,从而得出,进而得出.由切线的性质得出,即可证明;(2)根据勾股定理结合(1)和题意可求出.再证明出,即得出,代入数据,即可求出的长.【详解】(1)证明:如图,连接. ∵为的平分线,∴,∴,∴.∵是的切线,D为切点,∴,∴;(2)解:∵的半径为1,∴.∵,∴.∵,∴.∵,∴,∴.∵,,∴,∴,∴,即,解得:.(2023·山东济南·统考二模)如图,在中,,以为直径作与交于点E.过点A作的切线交的延长线于点D.(1)求证:;(2)若,,求的半径.【答案】(1)证明见详解(2)【分析】(1)利用为的直径及AD为的切线,得,进而得到∠DAC=∠ABE,再利用三角形的外角定理结合等量代换即可求证结论.(2)设半径为a,则AB=AC=2a,则CE=2a-3,由(1)得∠DAB=∠BEC=90°,∠D=∠EBC,则,进而得,根据等式解出a即可求解.【详解】(1)证明:∵为的直径,∴∠AEB=90°,∴∠ABE+∠BAC=90°,又∵AD为的切线,∴∠DAB=90°,∴∠DAC+∠BAC=90°,∴∠DAC=∠ABE,又∵,∴∠ACB=∠ABC,∵∠ACB为△ADC的一个外角,∴∠ACB=∠D+∠DAC,∴∠D+∠DAC=∠ABC=∠ABE+∠EBC,∴∠D=∠EBC.(2)设半径为a,则AB=AC=2a,则CE=2a-3,由(1)得,∠DAB=∠BEC=90°,∠D=∠EBC,,,即,得,解得,∴的半径为.(2023·山东济南·统考二模)如图,是的直径,C,D是上两点,过点C的切线交的延长线于点E,,连接,. (1)求证:;(2)若,,求的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接,根据切线的性质得到,进而证明,由平行线的性质得到,再根据圆周角定理即可证明结论;(2)连接,根据圆周角定理得到,由正切求出,再由勾股定理求得的长,证明,根据相似三角形对应边成比例,即可进行解答.【详解】(1)证明:连接,如图所示: ∵是的切线,∴,∵,,∴,由圆周角定理得:,∴;(2)解:连接,如上图所示: ∵是的直径,∴,由圆周角定理得:,∴,即,∵,∴,由勾股定理得:,∵,∴,∵,∴,∴∵,∴,∴,即∴解得:.(2023·山东济南·统考二模)如图,在中,,点O在斜边上,以O为圆心,为半径作圆,分别与相交于点D,E,连接.已知是的切线.(1)求证:;(2)若,求的半径.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接,根据切线的性质得到,再证出,,即可得解;(2)过点O作,垂足为F,证明,得到,再证出,得到,代入求值即可;【详解】(1)证明:连接,∵为的切线,∴,∴,在中,,∴,∵,∴,∴,即:;(2)过点O作,垂足为F,由(1)知:,∵,∴,∴,∴,∴,,∵,∴,∵,,∴,∵,∴,∴,即,∴,∴的半径为.(2023·山东济南·统考二模)如图,在中,,以为直径作,交于点,作交延长线于点,为上一点,为的切线. (1)求证:;(2)若,,求的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)为的切线,则,从而可得出,由,可推出,等量代换得出,即可得证;(2)连接,由直径所对的圆周角为直角,可得,即可得出 ,从而可求出的长.设,则,在中,利用勾股定理可列出关于的等式,解出,即求出的长,从而可求出的长.由 ,可判定,即可得出,从而可证明,即得出,代入数据,即可求出的长.【详解】(1)证明:∵为的切线,∴,∴,∵,∴,∵,∴.∴,∴;(2)解:如图,连接, ∵为直径,∴.∴在中,,即,解得:.设,则,∵在中,,∴,解得:,即,∴.∵,∴,∴,又∵,∴,∴,即,解得:.(2023·山东济南·统考二模)如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分,,垂足为E(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,,求线段EF的长.【答案】(1)直线DE与⊙O相切;(2).【分析】(1)欲证明DE是⊙O的切线,只要证明即可;(2)过O作于G,得到,根据直角三角形的性质得到,得到,推出四边形AODF是菱形,得到,,于是得到结论.【详解】(1)直线DE与⊙O相切,连结OD.∵AD平分,∴,∵,∴,∴,∴,∵,即,∴,即,∴DE是⊙O的切线;(2)过O作于G,∵,∴,,∴,∴,∴,∴四边形AODF是菱形,∵,,∴,∴.(2023·山东济南·二模)如图,AB是的直径,点C是上一点,与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线与的延长线相交于点P,弦平分,交于点F,连接.(1)求证:平分;(2)若,,求线段的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)如图1,连接,证明,可得,则,证明,可得,从而可得结论;(2)如图2,连接,证明,可得可得,,证明为等腰直角三角形,从而可得答案.【详解】(1)证明:如图1,连接,∵为的切线,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴平分;(2)如图2,连接,∵是的直径,,∴,∵,∴,∴∴,∴,∴,∵平分,∴∵,∴,∴为等腰直角三角形,∴.(2023·山东济南·统考二模)如图,在中,以为直径作交于点D,且点D为中点,过点D作的切线交的延长线于点E.求证:;(2) 若,,求的长.【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】(1)如图,连接,证明是的中位线,可得,则,证明,可得,从而可得答案;(2)由,,可得,证明,结合,可得,则,从而可得答案.【详解】(1)证明:如图,连接,∵,点D为中点,∴是的中位线,∴,,∴,∵,∴,∴,∴.(2)∵,,∴,∵是的切线,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴.(2023·山东济南·统考二模)如图,△ABC中,点O是边AB上一点,以点O为圆心,以OB为半径作⊙O,⊙O恰好与AC相切于点D,连接BD,BD平分∠ABC.(1)求∠C的度数;(2)如果∠A=30°,AD=2,求线段CD的长度.【答案】(1)90°;(2)【分析】(1)连接OD,∠ADO=90°,由BD平分∠ABC,OB=OD可得OD 与BC间的位置关系,则∠ACB=90°;(2)得Rt△OAD,由∠A=30°,AD=2,可求出OD、AO的长;根据平行线分线段成比例定理,得结论.【详解】(1)如图,连接OD∵OD是⊙O的半径,AC是⊙O的切线,点D是切点,∴OD⊥AC∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,又∵BD平分∠ABC,∴∠OBD=∠CBD∴∠ODB=∠CBD∴OD∥CB,∴∠C=∠ADO=90°;(2)在Rt△AOD中,∠A=30°,AD=2,∴,,∵OD∥CB,∴,即,∴CD=.(2023·山东济南·统考二模)如图,是的直径,是的弦,点是外一点,.求证:是的切线;连接,若OP∥BC,且,的半径为,求的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)如图所示,连接,,可证,即,由此即可求证;(2)根据题意,及(1)中条件可证,根据相似三角形的性质即可求解.【详解】(1)证明:如图所示,连接,∵是的直径,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∵是的半径,且,∴是的切线.(2)解:∵的半径为,,∴,,∵,∴,由(1)得,∴,∴,∴,∴的长为.(2023·山东济南·统考三模)如图,已知是的直径,点P在的延长线上,切于点D,过点B作,垂足为C,交的延长线于点E.(1)求证:;(2)连接,如果,求的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接OD,由PD切 O于点D,得到OD⊥PD,由于BE⊥PC,得到OD∥BE,得出∠ADO=∠E,根据等腰三角形的性质和等量代换可得结论;(2过点O作OF⊥BC于点F,则∠OFC=90°,根据∠ODC=∠DCF=90°,推出四边形DOFC是矩形,根据∠ABC=∠AOD,得到,根据PD=4,得到PO=5,推出,得到OB=3,推出,根据CF=DO=3,推出.【详解】(1)连接,∵PD切于点,∴.∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴.(2)过点O作OF⊥BC于点F,则∠OFC=90°,∵∠ODC=∠DCF=90°,∴∠DOF=360°-∠OFC -∠ODC-∠DCF=90°,∴∠DOF=∠OFC =∠ODC=∠DCF=90°,∴四边形DOFC是矩形,∵∠ABC=∠AOD,∴∵PD=4,∴PO=5, ∴,∴OB=3,∴,∵CF=DO=3,∴.(2023·山东济南·统考二模)如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交OP于点C.(1)求证:∠CBP=∠ADB;(2)若OA=4,AB=2,求线段BP的长.【答案】(1)见解析;(2)14【分析】(1)连接OB,如图,根据圆周角定理得到∠ABD=90°,再根据切线的性质得到∠OBC=90°,然后利用等量代换进行证明;(2)证明△AOP∽△ABD,然后利用相似比求BP的长.【详解】(1)证明:连接OB,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,∴∠A+∠ADB=90°,∵BC为切线,∴OB⊥BC,∴∠OBC=90°,∴∠OBA+∠CBP=90°,而OA=OB,∴∠A=∠OBA,∴∠CBP=∠ADB;(2)∵OP⊥AD,∴∠POA=90°,∴∠P+∠A=90°,∴∠P=∠D,∴△AOP∽△ABD,∴=,即=,∴BP=14.(2023·山东济南·统考三模)如图,AB为的直径,C为上一点,的切线BD交OC的延长线于点D.(1)求证:;(2)若,.求CD的长.【答案】(1)见解析;(2)CD=【分析】(1)根据切线的性质得到∠OBD=∠OBC+∠DBC=90°,再根据圆周角定理得到∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°,加上∠OBC=∠OCB,于是利用等量代换得到结论;(2)利用含30度的直角三角形三边的关系得到CB=,然后证明∠D=∠CBD=30°得到CD=CB即可.【详解】(1)证明:∵DB是⊙O的切线,∴BD⊥AB,∴∠OBD=∠OBC+∠DBC=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°.∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB.∴∠DBC=∠OCA;(2)解:在Rt△ACB中,∵∠A=30°,AC=2,设,则,∴,解得:,则,∵∠A=30°,∴∠COB=2∠A=60°,∴∠D=90° ∠COB=30°,∵OA=OC,∴∠OCA=∠A=30°.∴∠DBC=∠OCA=30°,∴∠D=∠DBC.∴CB=CD.∴CD=.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台2024年山东省济南市中考数学《圆》解答题训练(2023·山东济南·统考中考真题)如图,,为的直径,为上一点,过点的切线与的延长线交于点,,点是的中点,弦,相交于点.(1)求的度数;(2)若,求直径的长.(2022·山东济南·统考中考真题)已知:如图,AB为⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,CE平分∠ACB交⊙O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F.(1)求证:CA=CD;(2)若AB=12,求线段BF的长.(2021·山东济南·统考中考真题)已知:如图,是的直径,,是上两点,过点的切线交的延长线于点,,连接,.(1)求证:;(2)若,,求的半径.4 .(2023·山东济南·统考一模)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与CA的延长线交于点E,⊙O的切线DF与AC垂直,垂足为F.(1)求证:AB=AC.(2)若CF=2AF,AE=4,求⊙O的半径.5 .(2023·山东济南·统考一模)如图,、是的两条直径,过点的的切线交的延长线于点,连接、.(1)求证:;(2)若是的中点,,求的半径.(2023·山东济南·统考一模)如图,在中,,以为直径作与交于点,过点作的切线交的延长线于点.(1)求证:;(2)若,,求的半径.(2023·山东济南·统考一模)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E. (1)求证:AE=AB;(2)若AB=10,BC=6,求CD的长.(2023·山东济南·统考一模)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点O作OD⊥AB,交AC的延长线于D,交过点C的切线于E.(1)求证:∠DCE=∠ABC;(2)若OA=3,AC=2,求线段CD的长.(2023·山东济南·统考一模)如图,是的直径,,是上两点,且,过点的切线交的延长线于点,交的延长线于点,连接,交于点.(1)求证:;(2)若,的半径为2,求的长.(2023·山东济南·统考一模)如图,在中,为的直径,为上一点,是的切线,过点作的垂线,交的延长线于点.(1)求证:平分;(2)若,,求的长.(2023·山东济南·统考一模)如图,是的直径,是的弦,过点作的切线,交的延长线于点,过点作于点,交的延长线于点.求证:;若,,求的半径.(2023·山东济南·统考一模)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与CA的延长线交于点E,⊙O的切线DF与AC垂直,垂足为F.(1)求证:AB=AC.(2)若CF=2AF,AE=4,求⊙O的半径.(2023·山东济南·校考一模)如图,是的直径,射线交于点D,E是劣弧上一点,且,过点E作于点F,延长和的延长线交与点G.(1)证明:是的切线;(2)若,求的半径.(2023·山东济南·统考二模)如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作⊙O的切线交AB的延长线于E,交BC于F.(1)求证:DF⊥BC;(2)求证:DE2=AE BE.(2023·山东济南·统考一模)如图,是的直径,,垂足为E,直线与圆相切于点C,交于点D,直线交的延长线于点P,连接,.(1)求证:平分;(2)若直径为10,,求长.(2023·山东济南·统考二模)如图,在中,,点O在斜边上,以O为圆心,的长为半径的圆交于点D,交于点E,为的切线. (1)求证:;(2)若,,求的半径的长.(2023·山东济南·统考二模)如图,AB是的直径,AC是的弦,AD平分∠CAB交于点D,过点D作的切线EF,交AB的延长线于点E,交AC的延长线于点F.(1)求证:;(2)若,,,求BE的长.(2023·山东济南·统考二模)如图,已知是的直径,C是上一点,的平分线交于点D,是的切线,D为切点,交的延长线于点P,连接. (1)求证:;(2)若的半径为1,,求的长.(2023·山东济南·统考二模)如图,在中,,以为直径作与交于点E.过点A作的切线交的延长线于点D.(1)求证:;(2)若,,求的半径.(2023·山东济南·统考二模)如图,是的直径,C,D是上两点,过点C的切线交的延长线于点E,,连接,. (1)求证:;(2)若,,求的长.(2023·山东济南·统考二模)如图,在中,,点O在斜边上,以O为圆心,为半径作圆,分别与相交于点D,E,连接.已知是的切线.(1)求证:;(2)若,求的半径.(2023·山东济南·统考二模)如图,在中,,以为直径作,交于点,作交延长线于点,为上一点,为的切线. (1)求证:;(2)若,,求的长.(2023·山东济南·统考二模)如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分,,垂足为E(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,,求线段EF的长.(2023·山东济南·二模)如图,AB是的直径,点C是上一点,与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线与的延长线相交于点P,弦平分,交于点F,连接.(1)求证:平分;(2)若,,求线段的长.(2023·山东济南·统考二模)如图,在中,以为直径作交于点D,且点D为中点,过点D作的切线交的延长线于点E.求证:;若,,求的长.(2023·山东济南·统考二模)如图,△ABC中,点O是边AB上一点,以点O为圆心,以OB为半径作⊙O,⊙O恰好与AC相切于点D,连接BD,BD平分∠ABC.(1)求∠C的度数;(2)如果∠A=30°,AD=2,求线段CD的长度.(2023·山东济南·统考二模)如图,是的直径,是的弦,点是外一点,.求证:是的切线;连接,若OP∥BC,且,的半径为,求的长.(2023·山东济南·统考三模)如图,已知是的直径,点P在的延长线上,切于点D,过点B作,垂足为C,交的延长线于点E.(1)求证:;(2)连接,如果,求的长.(2023·山东济南·统考二模)如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交OP于点C.(1)求证:∠CBP=∠ADB;(2)若OA=4,AB=2,求线段BP的长.(2023·山东济南·统考三模)如图,AB为的直径,C为上一点,的切线BD交OC的延长线于点D.(1)求证:;(2)若,.求CD的长.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2024年山东省济南市中考数学《圆》解答题训练.doc 2024年山东省济南市中考数学《圆》解答题训练(解析卷).doc