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第2章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量
随机试验的结果有些本身就是数量.例如,掷骰子出现的点数、产品抽样中的次品数、电话总机在单位时间内接到的呼叫次数、测量中出现的误差等.
而有些随机试验表面上看其试验结果与数量没有直接关系.例如,掷硬币的结果“正面”、“反面”.
我们可以将其数量化,当出现正面时对应数,出现反面时对应数.这样随机试验的结果就是随机变化的变量,把随机试验的结果数量化,便于应用数学知识研究随机现象,使对随机现象的研究更深入和简单.
例2.1 抛掷一枚硬币两次,观察出现正面(记为 )和反面 (记为 )的情况.
样本空间是 .以 表示抛掷两次硬币中出现正面 的次数,那么对于样本空间中的每一个样本点 , 都有一个数与之对应. 是定义在样本空间 上的一个实值单值函数,它的定义域是样本空间 ,值域是实数集合 ,使用函数记号将 写成
例2.2 测试灯泡的寿命.
样本空间是 .每一个灯泡的实际使用寿命可能是 中的任何一个实数.以 表示灯泡的寿命(小时),它的数值由试验的结果来确定,即 是定义在样本空间 上的函数,定义域是样本空间 ,值域为 .
上述例子说明,随机试验的结果总能够用一个实数来表示,这个数随试验结果的不同而变化,因而它是样本点的函数,这个函数就是我们要引入的随机变量.
定义2.1 设随机试验的样本空间为 , 是定义在样本空间 的实值单值函数,称 为随机变量,通常用大写字母 或希腊字母 表示,而随机变量所取的值,一般用小写字母 表示.
如图所示画出了样本点 与实数 对应的示意图.
§2.2 离散型随机变量及其分布
2.2.1 离散型随机变量及其分布律
例如,掷骰子朝上一面的点数、一昼夜120接到的呼叫次数等均为离散型随机变量,而某元件寿命的所有可能取值充满一个区间,无法按一定次序一一列举出来,因而它是一个非离散型随机变量.
分布律也可以表示为表格形式
或矩阵形式
注:①上述两条性质是分布律必须具有的性质.如果一个数列 具有以上两条性质,则它可以作为某离散型随机变量的分布律.
②利用上述性质,可以验证所计算的随机变量 的分布律的正确性.
2.2.2 离散型随机变量的常用分布
显然
§2.3随机变量的分布函数
2.3.1分布函数
2.3.2离散型随机变量的分布函数
§2.4 连续型随机变量及其分布
2.4.1连续型随机变量及其概率密度
2.4.2连续型随机变量的常用分布
1.均匀分布
2.指数分布
的图象
§2.5 随机变量的函数的分布
2.5.1 离散型随机变量的函数的分布
1.分布函数法
2.5.2连续型随机变量的函数的分布
2.公式法

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