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课题:§9.2.3 向量的数量积
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握向量数量积的性质和运算律．
2、理解并掌握向量数量积和投影向量．
3、会求向量的模．
4、会解决向量夹角与垂直问题.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
本节重点难点
重点：向量的模；
难点：向量夹角与垂直问题．
教学过程赏析
基础知识积累
1.向量的数量积
(1)定义:
条件 两个____________向量与,它们的夹角是θ
结论 把数量_____________叫作向量和的数量积(或内积)
记法 记作,即_____________
规定 零向量与任一向量的数量积为_____________
(2)本质:数量积是两个向量之间的一种运算,其运算结果是一个数量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.
(3)应用:①求向量的夹角;②研究向量的垂直问题;③求向量的模.
2.投影与投影向量
(1)变换:
变换 图示
设是两个非零向量, 过的起点A和终点B,分别作所 在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到
(2)结论:称上述变换为向向向量投影,_____叫作向量在向量上的投影向量.
(3)计算:设与方向相同的单位向量为与的夹角为θ,则向量在向量上的
投影向量为__________.
3.向量数量积的性质
(1)条件:设是非零向量,它们的夹角是θ, 是与方向相同的单位向量.
(2)性质:①.
②.
③当与同向时, ;
当与反向时, .
特别地, 或.
④.
4.向量数量积的运算律
(1) .
(2) .
(3) .
【思考】
(1)对于向量,等式一定成立吗
(2)若,则一定成立吗
【课前小题演练】
题1．已知,且与的夹角θ＝120°,则＝ ( )
A.－6 B.6
C.－6 D.6
题2.向量与的夹角为,, 在上投影向量的长度为 ( )
A.2 B. C.1 D.
题3.已知,,则＝ ( )
A. B.97 C. D.61
题4.已知等边△ABC的边长为2,若＝3,＝,则·＝ ( )
A. B.－
C.2 D.－2
题5.在边长为a的正六边形ABCDEF中,若·＝4,则a＝ ( )
A.1 B. C.2 D.2
题6.若单位向量的夹角为,向量 (λ∈R),且,则λ＝ ( )
A. B.－
C. D.－
题7.在等腰梯形ABCD中,＝2,则向量在向量上的投影向量为 ( )
A. B.
C. D.
题8（多选题）.下列说法正确的是　　
A．向量在向量上的投影向量是向量
B．若，则与的夹角的范围是，
C．
D．，则
题9（多选题）.已知是三个非零向量，则下列命题中，真命题是　　
A．；
B．反向；
C．；
D．．
题10（多选题）.以下说法不正确的是　　
A．零向量与单位向量的模相等
B．模相等的向量是相等向量
C．已知，均为单位向量，若，则与的夹角为
D．向量与向量是共线向量，则，，，四点在一条直线上
题11.如图,,,的模均为5,且∠AOB＝∠BOC＝60°,则···＝_____.
题12.在△ABC中,AB＝2,AC＝,G为△ABC的重心,则·＝_________.
题13.已知||＝5,||＝2,＜,≥60°,＝2 ＋,＝ －2,则以OC,OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为_________.
题14.已知,.
(1)求;
(2)求向量在向量＋方向上的投影向量的长度.
【当堂巩固训练】
题15．若存在单位向量，满足,则k的值为 ( )
A.1 B.－2或1
C.0 D.1或0
题16.在△ABC中,AB＝2,AC＝3,且·＝3,则(λ∈R)取最小值时λ的值为 ( )
A.－ B. C. D.－
题17.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2＝＋＝,则向量在向量上的投影向量为 ( )
A. B.
C.－ D.－
题18.如图的弦图中,四边形ABCD是边长为5的正方形,四边形EFGH是边长为1的正方形,四个三角形均为直角三角形,则 ·的值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
题19（多选题）.已知两个非零单位向量夹角为，下列结论一定成立的是　　
A．或
B．，使
C．
D．在上的投影的数量为
题20（多选题）.已知两个单位向量，的夹角为，则下列结论正确的是　　
A．在方向上的投影为
B．
C．
D．
题21（多选题）.已知正三角形的边长为2，设，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
题22.在△ABC中,O为BC的中点,若AB＝1,AC＝3,∠BAC＝60°,则＝_________.
题23.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则·＝_________.
题24.如图,平行四边形ABCD中,AB＝2,AD＝4,∠BAD＝,E为CD的中点,AE与DB交于F.
(1)求证:在方向上的投影为.
(2)求·.
【综合突破拔高】
题25．已知向量，是单位向量,且,则向量与的夹角是 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
题26.已知,且与不共线,则向量与的夹角为 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
题27. 与都是非零向量,则“”是“”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题28.设向量与满足,在方向上的投影向量为,若存在实数λ,使得与垂直,则λ＝ ( )
A.2 B.－2 C. D.－
题29(多选题).已知单位向量,的夹角为60°,则在下列向量中,不与垂直的是 ( )
A. B.
C. D.
题30(多选题) .设向量,满足,且,则以下结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.向量,夹角为60°
题31（多选题）.设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有
A． B．与不垂直
C． D．
题32（多选题）. 是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是　　
A．为单位向量 B．为单位向量 C． D．
题33(多选题)．下列命题中，正确的是(　　)
A．
B．λμ＜0，≠时，λ与μ的方向一定相反
C．若(≠0)，则＝
D．若(≠0)，则
题34.已知单位向量,满足,则与夹角的取值范围是_________.
题35.已知平面向量,满足,则的最小值为_________.
题36.设两个向量,,满足.
(1)若,求,的夹角;
(2)若,夹角为60°,向量与的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
编号：005 课题:§9.2.3 向量的数量积
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握向量数量积的性质和运算律．
2、理解并掌握向量数量积和投影向量．
3、会求向量的模．
4、会解决向量夹角与垂直问题.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
本节重点难点
重点：向量的模；
难点：向量夹角与垂直问题．
教学过程赏析
基础知识积累
1．向量的数乘运算
文字 表述 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘,记作λa.
规定 长度 |λa|＝|λ||a|
方向 当λ＞0时,λa的方向与a的方向相同;
当λ＜0时,λa的方向与a的方向相反;
当λ＝0时,λa＝0.
方向 λ＞1 把向量a沿着向量a的相同方向放大
0＜λ＜1 把向量a沿着向量a的相同方向缩小
－1＜λ＜0 把向量a沿着向量a的相反方向缩小
λ＜－1 把向量a沿着向量a的相反方向放大
2.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的线性运算
(1)定义：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算．
(2)运算结果：向量线性运算的结果仍是向量．
(3)运算律：对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ＝λμ1a±λμ2b．
4．向量共线定理
(1)条件：a为非零向量；
(2)如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；
(3)如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
【课前小题演练】
题1．已知,且与的夹角θ＝120°,则＝ ( )
A.－6 B.6
C.－6 D.6
【解析】选A.因为,且与的夹角θ＝120°,所以＝3×4×(－)＝－6.
题2.向量与的夹角为,, 在上投影向量的长度为 ( )
A.2 B. C.1 D.
【解析】选D. 在上投影向量的长度为.
题3.已知,,则＝ ( )
A. B.97 C. D.61
【解析】选C. ＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61,所以.
题4.已知等边△ABC的边长为2,若＝3,＝,则·＝ ( )
A. B.－
C.2 D.－2
【解析】选D.等边△ABC的边长为2,＝3,＝,所以＝(＋ ),
＝＋＝＋＝－,
所以·＝(＋)·(－ )＝(－－· )
＝×(×4－4－×2×2×)＝－2.
题5.在边长为a的正六边形ABCDEF中,若·＝4,则a＝ ( )
A.1 B. C.2 D.2
【解析】选C.如图在正六边形ABCDEF中,连接对角线AD,BE,CF,则正六边形ABCDEF由6个全等的等边三角形构成.所以AD＝2a,∠BAD＝60°,所以·＝a·2a·cos 60°＝4,解得a＝2.
题6.若单位向量的夹角为,向量 (λ∈R),且,则λ＝ ( )
A. B.－
C. D.－
【解析】选B.由题意可得: ＝1×1×cos ＝,
＝1＋2λ×＋λ2＝,
化简得λ2＋λ＋＝0,解得λ＝－.
题7.在等腰梯形ABCD中,＝2,则向量在向量上的投影向量为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.
由＝2,可知,AB∥DC且AB＝2DC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,则AE＝AB,
所以向量在向量上的投影向量为.
题8（多选题）.下列说法正确的是　　
A．向量在向量上的投影向量是向量
B．若，则与的夹角的范围是，
C．
D．，则
【解答】解：根据投影向量的定义可知正确；
，则，又，，，故正确；
是与共的向量，是与共线的向量，故错误；
，则或，，故错误；
故选：．
【点评】本题考查向的投影向量的定义，以及向量的数量积，属基础题．
题9（多选题）.已知是三个非零向量，则下列命题中，真命题是　　
A．；
B．反向；
C．；
D．．
【解答】解：是三个非零向量，
若
或
，故A正确；
反向
，故B正确；
，故C正确；
若，不一定相等，故不成立，
当时，只能说明，在向量上的投影相等，但不一定成立
故D错误；
故选：．
【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及其运算律，熟练掌握平面向量数量积的性质及其运算律，是解答本题的关键．
题10（多选题）.以下说法不正确的是　　
A．零向量与单位向量的模相等
B．模相等的向量是相等向量
C．已知，均为单位向量，若，则与的夹角为
D．向量与向量是共线向量，则，，，四点在一条直线上
【解答】解：．零向量的模为0，单位向量的模为1，该选项错误；
．向量有方向和模两个量，模相等，方向不同的两向量不相等；
该选项错误；
．均为单位向量，且；
；
又；
的夹角为；
该选项正确；
与共线时，，，，可以不在一条直线上；
该选项错误．
故选：．
【点评】考查单位向量、零向量的定义，共线向量的定义，向量的定义，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的求法．
题11.如图,,,的模均为5,且∠AOB＝∠BOC＝60°,则···＝_____.
【解析】因为,,的模均为5,且∠AOB＝∠BOC＝60°,所以·＝cos ∠AOB＝5×5×＝,·＝cos ∠AOC＝5×5×(－)＝－,所以···＝(· )·· ＝· ＝×(－)＝－.
答案:－
题12.在△ABC中,AB＝2,AC＝,G为△ABC的重心,则·＝_________.
【解析】如图,点D是BC的中点,
因为G为△ABC的重心,所以＝＝×(＋)＝(＋),
＝－,
所以·＝(＋)·(－)
＝(－)＝(26－8)＝6.
答案:6
题13.已知||＝5,||＝2,＜,≥60°,＝2 ＋,＝ －2,则以OC,OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为_________.
【解析】因为＝＋,所以||2＝＝＝＝9||2＋||2－6·＝9×25＋4－6×5×2×cos 60°＝199.
所以||＝,即OE＝.
答案:
题14.已知,.
(1)求;
(2)求向量在向量＋方向上的投影向量的长度.
【解析】(1)因为,
所以.
因为,所以＝－6,
所以.
(2)因为＝42－6＝10,
所以向量在向量＋上的投影向量的长度为.
【当堂巩固训练】
题15．若存在单位向量，满足,则k的值为 ( )
A.1 B.－2或1
C.0 D.1或0
【解析】选D. ，是单位向量,则，得,
＝k2＋k(k2－2)＋1＝1,
于是有k(k2＋k－2)＝0,即k(k－1)(k＋2)＝0,显然k≥0,则k＝0或1,
所以k的值为1或0.
题16.在△ABC中,AB＝2,AC＝3,且·＝3,则(λ∈R)取最小值时λ的值为 ( )
A.－ B. C. D.－
【解析】选B.因为＝＋λ2－2λ·＝4λ2－6λ＋9＝4＋,所以当λ＝时,(λ∈R)取最小值.
题17.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2＝＋＝,则向量在向量上的投影向量为 ( )
A. B.
C.－ D.－
【解析】选A.因为＋＝2,O是△ABC外接圆圆心,所以O是BC的中点,∠BAC＝90°.又＝＝,∠CBA＝60°,因此向量在向量上的投影向量为.
题18.如图的弦图中,四边形ABCD是边长为5的正方形,四边形EFGH是边长为1的正方形,四个三角形均为直角三角形,则 ·的值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
【解析】选D.根据题意四个三角形均为全等的直角三角形,设AE＝FB＝x,则AF＝x＋1,在直角三角形ABF中,AF2＋BF2＝AB2 (x＋1)2＋x2＝52 x＝3,即AE＝FB＝3,
·＝cos ＜,≥＝·|AF|＝3×4＝12.
题19（多选题）.已知两个非零单位向量夹角为，下列结论一定成立的是　　
A．或
B．，使
C．
D．在上的投影的数量为
【解答】解：对于选项，向量为单位向量，但夹角不确定，即选项错误；
对于选项，设，则，则，显然无解，即选项错误；
对于选项，，即，，即选项正确；
对于选项，在上的投影数量为，即选项正确，
故选：．
【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影的运算，属基础题．
题20（多选题）.已知两个单位向量，的夹角为，则下列结论正确的是　　
A．在方向上的投影为
B．
C．
D．
【解答】解：因为两个单位向量，的夹角为，所以在方向上的投影为；故正确；
；故正确；
；故正确；
；故错误；
故选：．
【点评】本题考查了单位向量的性质；主要利用了平面向量的数量积公式．
题21（多选题）.已知正三角形的边长为2，设，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：正三角形的边长为2，设，，
取中点，设，
，，
，
故错误；
与的夹角为，故错误；
．
故正确；
，故正确，
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量垂直、向量的模、向量的数量积的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
题22.在△ABC中,O为BC的中点,若AB＝1,AC＝3,∠BAC＝60°,则＝_________.
【解析】因为O为BC的中点,
所以可得＝(＋),
所以＝＝＝(＋2·＋),
·＝·cos ∠BAC＝,
代入可求出＝,
所以＝.
答案:
题23.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则·＝_________.
【解析】如图所示,不妨设，且的夹角为60°,
所以＝,＝,
所以·＝＝8＋8＋20×1×1×＝26.
答案:26
题24.如图,平行四边形ABCD中,AB＝2,AD＝4,∠BAD＝,E为CD的中点,AE与DB交于F.
(1)求证:在方向上的投影为.
(2)求·.
【解析】(1)平行四边形ABCD中,AB＝2,AD＝4,∠BAD＝,
过D作DB'⊥AB,垂足为B'(图略),则AB'＝AD·cos＝2,所以B'与B重合,
所以DB＝＝2,AB⊥BD,
因为E为CD的中点,AE与DB交于F,所以在方向上的投影为.
(2)＝,＝＋,
所以＝＋.
·＝(＋)· ＝＋· ＝×22＋×4×2×＝4.
【综合突破拔高】
题25．已知向量，是单位向量,且,则向量与的夹角是 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【解析】选B.设向量,的夹角为θ,0°≤θ≤180°,因为,为单位向量,所以,
因为,所以＝2a·b－b2＝2cos θ－1＝0,
所以cos θ＝.因为0°≤θ≤180°,所以θ＝60°.
题26.已知,且与不共线,则向量与的夹角为 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
【解析】选B.因为,
所以＝0,
所以,所以所求夹角为90°.
题27. 与都是非零向量,则“”是“”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.因为与都是非零向量,所以,
故“”是“的充要条件.
题28.设向量与满足,在方向上的投影向量为,若存在实数λ,使得与垂直,则λ＝ ( )
A.2 B.－2 C. D.－
【解析】选B.因为在方向上的投影向量为,
所以,所以＝－2,
因为与垂直,所以＝0,
即＝4＋2λ＝0,解得λ＝－2.
题29(多选题).已知单位向量,的夹角为60°,则在下列向量中,不与垂直的是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选ABC.由已知可得: °＝1×1×＝.
对于选项A,因为＝＋2×1＝≠0,所以A符合题意;
对于选项B,因为＝2×＋1＝2≠0,所以B符合题意;
对于选项C,因为＝－2×1＝－≠0,所以C符合题意;
对于选项D,因为＝2×－1＝0,所以D不符合题意.
题30(多选题) .设向量,满足,且,则以下结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.向量,夹角为60°
【解析】选AC. ,又因为,所以,所以,所以A正确,D不正确; ,故,所以B不正确,同理C正确.
题31（多选题）.设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有
A． B．与不垂直
C． D．
【解答】解：选项，由平面向量数量积的结合律，可知正确；
选项，，
与垂直，即错误；
选项，与不共线，
若，则显然成立；
若，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得．故正确；
选项，，即正确．
故选：．
【点评】本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的线性、数量积及混合运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
题32（多选题）. 是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是　　
A．为单位向量 B．为单位向量 C． D．
【解答】解：是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，
则，又，，即为单位向量，故正确；
，
，，故错误；
向量，的夹角即为与的夹角，也就是的补角，其大小为，故错误；
，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了向量的数量积运用，注意三角形的内角与向量的夹角的关系，是中档题．
题33(多选题)．下列命题中，正确的是(　　)
A．
B．λμ＜0，≠时，λ与μ的方向一定相反
C．若(≠0)，则＝
D．若(≠0)，则
【解析】选BD.A错误，；B正确，λμ＜0知λ，μ符号相反；根据向量数乘的概念及其几何意义可知，C错误，D正确．
题34.已知单位向量,满足,则与夹角的取值范围是_________.
【解析】设单位向量,的夹角为θ,则θ∈[0,π],
将两边同时平方得,
化简得2＋2cos θ＞1,即cos θ＞－,又θ∈[0,π],所以θ∈[0,).
答案: [0,)
题35.已知平面向量,满足,则的最小值为_________.
【解析】因为平面向量,满足,又＜a,b＞∈[0,π],
所以∈[－1,1],
则,由∈[－1,1],则b∈[0,4],故∈[0,2],
则的最小值为0.
答案:0
题36.设两个向量,,满足.
(1)若,求,的夹角;
(2)若,夹角为60°,向量与的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
【解析】(1)因为,所以,
即,又,所以,
所以＝＝－,又∈[0,π],
所以向量,的夹角是.
(2)因为向量与的夹角为钝角,所以,
且向量与不反向共线,
即,
又,夹角为60°,所以＝2×1×＝1,
所以2t2＋15t＋7＜0,解得－7＜t＜－,
又向量与不反向共线,
所以2(λ＜0),解得t≠－,
所以t的取值范围是{t|－7＜t＜－且t≠－}.

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