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专题 直线与圆的方程
1．直线的斜率的计算方法：（直线的倾斜角：）
①定义法：，；
②坐标法：，，，；
③（直线方程的一般式）．
2．直线方程的五种形式：
①点斜式：； ②斜截式：；
③两点式：； ④截距式：；
⑤一般式：
3．设的坐标分别为，则中点的坐标公式：
4．距离公式：
①两点间的距离公式：，其中．
②点到直线的距离公式：点到直线的距离为：．
③两条平行直线间的距离公式：和的距离为：．
5．两条直线位置关系的判定方法：
方法1：设；，则
①； ②．
③与重合； ④与相交；
方法2：设；，则
①； ②；
③与重合； ④与相交．
6．圆的方程
①标准方程：，圆心坐标为，半径为．
②一般方程：（），圆心，半径．
4．圆的弦长与弦心距的关系：
5．两圆位置关系（有五种）的判定方法：
①； ②；
③； ④；
⑤．
6．当两圆相交时，它为公共弦所在直线方程为把两个圆的方程化为一般式后相减
题型1 求直线的倾斜角和斜率
例1．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出斜率即可得倾斜角.
【详解】直线的方程为，即，
方程斜率为，所以倾斜角为.
故选：D.
例2．已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据斜率公式即可计算.
【详解】直线l的斜率.
故选：C.
例3．若过点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】由题意得，解得，
故选：D
题型2 直线方程
例1．过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解.
【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴，
其方程为.
故选：B
例2．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得.
【详解】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为，
故过点且与直线垂直的直线方程为，即：.
故选：C.
例3．若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程.
【详解】因为直线与斜率为4的直线垂直，
所以直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，即．
故选：A
题型3 两直线的位置关系
例1．直线与互相平行，则实数的值等于（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为直线与互相平行，则，解得.
故选：A.
例2．已知直线与直线互相垂直，则m为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据两直线垂直的一般式的结论即可得出答案.
【详解】两直线垂直，则有，即，解得.
故选：C
例3．若直线与互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为，则，即，
解得或.
故选：D.
题型4 与直线有关的距离
例1．点到直线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由点到直线的距离公式计算即可得.
【详解】.
故选：D.
例2．两条直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.
【详解】由两平行线之间的距离公式可得.
故选：C
题型5 圆的方程
例1．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．， B．， C．，3 D．，3
【答案】A
【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为.
故选：A
例2．圆的圆心和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将圆的一般方程化为标准方程求圆心与半径即可.
【详解】由，所以圆心和半径分别为.
故选：D
题型6 直线与圆的位置关系
例1．已知直线与圆相切，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得圆心到的距离等于半径1，即可解得的值．
【详解】直线即，
由已知直线与圆相切可得，
圆的圆心到的距离等于半径1，
即，解得，
故选：B．
例2．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【分析】判断出圆心在直线上即可求解.
【详解】圆即，故圆心为，
显然圆心在直线上，
故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为.
故选:B．
例3．直线平分圆C：，则（ ）
A． B．1 C．-1 D．-3
【答案】D
【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.
【详解】变形为，故圆心为，
由题意得圆心在上，故，解得.
故选：D
例4．圆在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先计算出，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案.
【详解】因为，所以在圆上，
的圆心为，
故，
设圆在点处的切线方程斜率为，
故，解得，
所以圆在点处的切线方程为，
变形得到，即.
故选：A
例5．若过点，且与圆相切的直线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】验证点在圆外，然后讨论切线斜率存在与不存在两种情况即可解决.
【详解】圆的圆心是 ，半径是 ，
把点的坐标代入圆的方程可知点P在圆外，
当直线斜率不存在时，
直线为 ，不满足题意；
当直线斜率存在时，
设直线为 ，即 ，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即
，
解得 或 ，
切线为或 ，
故选：D.
例6．过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据相切，由勾股定理即可求解.
【详解】设圆心为半径为，
所以,
故，
故选：C
题型7 圆与圆的位置关系
例1．圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
【答案】D
【分析】求出圆心距，小于两半径之差，得到位置关系.
【详解】的圆心为，半径为，
变形为，圆心为，半径为，
故圆心距，
故圆与圆的位置关系为内含.
故选：D
例2．圆和圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】C
【分析】利用圆心距与半径和差关系判定两圆位置关系即可.
【详解】易知圆和圆的圆心与半径分别为：和，所以圆心距为，显然，即两圆相外切.
故选：C
例3．圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将两圆方程作差即可得相交弦方程.
【详解】由，即，半径为，
由，即，半径为，
所以，即两圆相交，
将两圆方程作差得，整理得，
所以公共弦所在直线方程为.
故选：B
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求斜率，再求倾斜角.
【详解】由条件可知，直线的斜率，设直线的倾斜角为，
则，，所以.
故选：B
2．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】直线的斜率，所以该直线的倾斜角为.
故选：B
3．已知点，则直线的斜率为（ ）
A．－3 B． C． D．3
【答案】C
【分析】由斜率公式计算即可得.
【详解】由，则直线的斜率为.
故选：C.
4．若经过两点的直线斜率为1，则实数（ ）
A． B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】利用斜率公式即可求解.
【详解】过两点的直线斜率为，所以，解得，.
故选：A.
5．己知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由倾斜角求出斜率，再用点斜式写出直线方程，最后求出截距即可.
【详解】由题意可知直线的斜率，
所以直线方程为，即，
所以它在y轴上的截距为，
故选：A.
6．已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据点斜式方程求解即可.
【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上，
又直线的斜率为,根据点斜式方程得即.
故选：B.
7．若直线与平行，则实数（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，斜率相等，截距不等即可求出答案.
【详解】由题意知，的斜率分别是，，由与平行，得，
此时两直线在y轴上的截距分别为3和，符合题意.
故选：C.
8．已知直线和互相平行，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】D
【分析】根据题意得到平行时的方程，解出即可.
【详解】由题意得，解得，
此时后者直线方程为，满足题意.
故选：D.
9．两平行直线，的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助两平行线的距离公式即可得.
【详解】即为，
则.
故选：B.
10．点到直线的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】应用点线距离公式求距离即可.
【详解】由点线距离公式有.
故选：A
11．圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】A
【分析】根据圆心距大于半径之和，得到位置关系.
【详解】圆：的圆心为，半径为1，
圆：的圆心为，半径为3，
圆心距，故两圆外离.
故选：A
12．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径.
【详解】根据圆的标准方程，
即可得圆心坐标为，半径为.
故选：D
13．圆与的位置关系为（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【答案】B
【分析】根据圆心距与半径和或半径差的大小关系即可判断.
【详解】圆的圆心为，半径为，
，
，
圆的圆心为，半径为，
，
圆与圆内切.
故选：B.
14．圆的圆心和半径分别（ ）
A．， B．，5
C．， D．，5
【答案】A
【分析】由题意将圆的一般方程化为标准方程，再求出圆心坐标和半径长.
【详解】将方程化为标准方程：，
则圆心坐标为，半径长等于.
故选：A
15．直线被圆截得的弦长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可.
【详解】圆，所以圆心，半径，
所以弦心距为，
所以弦长为，
故选：C
16．若直线与圆交于点A，B，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用直线被圆截得的弦长公式求解.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
所以，
故选：B.
17．若直线与圆 相切，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直线与圆相切，则有圆心到直线距离等于半径，列方程求实数的值.
【详解】圆 圆心坐标为，半径为1，
直线与圆 相切，则有圆心到直线距离等于半径，
即，解得.
故选：C
18．圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】两圆方程相减即可得解.
【详解】两圆相减可得，
经检验，该方程满足题意，
故公共弦所在直线的方程为.
故选：A.
19．已知圆，则过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】利用切线与半径垂直求出切线的斜率，再根据点斜式可求出切线方程.
【详解】因为圆的圆心为，所以，
所以切线的斜率，
所以所求切线的方程为，即，
故选：A
20．过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，再利用圆心到切线的距离为半径可求切线方程.
【详解】若切线的斜率不存在，则过的直线为，
此时圆心到此直线的距离为2即为圆的半径，故直线为圆的切线.
若切线的斜率存在，设切线方程为：即，
故，解得，
故此时切线方程为：.
故选：B.
21．过点作圆的一条切线，切点为B，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得的值.
【详解】因为圆，
所以圆的圆心为，半径为，
因为与圆相切，切点为B，
所以，则，
因为，
所以.
故选：B.专题 直线与圆的方程
1．直线的斜率的计算方法：（直线的倾斜角：）
①定义法：，；
②坐标法：，，，；
③（直线方程的一般式）．
2．直线方程的五种形式：
①点斜式：； ②斜截式：；
③两点式：； ④截距式：；
⑤一般式：
3．设的坐标分别为，则中点的坐标公式：
4．距离公式：
①两点间的距离公式：，其中．
②点到直线的距离公式：点到直线的距离为：．
③两条平行直线间的距离公式：和的距离为：．
5．两条直线位置关系的判定方法：
方法1：设；，则
①； ②．
③与重合； ④与相交；
方法2：设；，则
①； ②；
③与重合； ④与相交．
6．圆的方程
①标准方程：，圆心坐标为，半径为．
②一般方程：（），圆心，半径．
4．圆的弦长与弦心距的关系：
5．两圆位置关系（有五种）的判定方法：
①； ②；
③； ④；
⑤．
6．当两圆相交时，它为公共弦所在直线方程为把两个圆的方程化为一般式后相减
题型1 求直线的倾斜角和斜率
例1．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（ ）
A． B．2 C． D．
例3．若过点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
题型2 直线方程
例1．过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
例2．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例3．若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型3 两直线的位置关系
例1．直线与互相平行，则实数的值等于（ ）
A． B． C．或 D．
例2．已知直线与直线互相垂直，则m为（ ）
A． B．1 C． D．2
例3．若直线与互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
题型4 与直线有关的距离
例1．点到直线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
例2．两条直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
题型5 圆的方程
例1．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．， B．， C．，3 D．，3
例2．圆的圆心和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
题型6 直线与圆的位置关系
例1．已知直线与圆相切，则（ ）
A． B．
C． D．
例2．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C．5 D．10
例3．直线平分圆C：，则（ ）
A． B．1 C．-1 D．-3
例4．圆在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例5．若过点，且与圆相切的直线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
例6．过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（ ）
A． B．3 C． D．
题型7 圆与圆的位置关系
例1．圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
例2．圆和圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
例3．圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，则直线的斜率为（ ）
A．－3 B． C． D．3
4．若经过两点的直线斜率为1，则实数（ ）
A． B．3 C．2 D．1
5．己知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．若直线与平行，则实数（ ）
A． B．4 C． D．
8．已知直线和互相平行，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
9．两平行直线，的距离等于（ ）
A． B． C． D．
10．点到直线的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．
11．圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
12．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
13．圆与的位置关系为（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
14．圆的圆心和半径分别（ ）
A．， B．，5
C．， D．，5
15．直线被圆截得的弦长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
16．若直线与圆交于点A，B，则（ ）
A． B． C． D．
17．若直线与圆 相切，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
18．圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
19．已知圆，则过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．或 C． D．
20．过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
21．过点作圆的一条切线，切点为B，则（ ）
A．3 B． C． D．

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