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第十一章 功和机械能
11.2 功率
1．功率的定义、物理意义和单位：功与做功所用时间之比叫做功率。它是表示物体做功快慢的物理量。单位是瓦特，符号是W。
2．功率的定义式：；
3．功与功率：功与功率是两个不同的物理量，“功”表示做功的“多少”，而“功率”则表示做功的“快慢”，“多少”与“快慢”的意义不一样，只有在做功时间相同时，做功多的就做功快；否则，做功多，不一定做功就快，即“功率”不一定就大；也就是说，功与功率跟时间这个因素有关。
4．功率的计算
普遍公式 ，其中P表示功率，单位是瓦特；W表示做功的多少，单位是焦耳；t表示时间，单位是秒
推导公式
注意事项 （1）P、W、t必须对应于同一段时间和同一物体； （2）具有普遍性，不限制物体的运动状态； （3）题目中若出现距离，则考虑公式； （4）若出现速度，没有距离，则考虑公式P=Fv
5．比较功率的大小
功率是表示物体做功快慢的物理量，一般采用下列三种办法比较大小：
（1）在相同时间内，比较做功的多少，做功越多的物体，功率越大。
（2）在完成相同功的条件下，比较所用时间的长短，所用时间越短的物体，功率越大。
（3）做功多少和所用时间都不同的情况下，通过公式计算，然后进行比较。
【题型1】 比较做功的快慢
方法点拨 比较不同物体做功的快慢，要采用控制变量法，比较相同时间内做功的多少，或比较做同样的功所用时间的长短。如果时间不同，做的功也不同，则需要比较单位时间内所做的功来比较做功的快慢。
（2023春 槐荫区校级月考）生活中，人们通常用两种方法来比较做功的快慢：
方法①：相同的时间比较做功的多少；
方法②：相同的做功比较时间的多少。
如图所示，表示的是用挖土机挖土比人力挖土快得多，所用的是判断方法　 　；物理学用功率描述做功的快慢，公式为P，这种方法与日常方法 　是相同的（以上两空选填“①”或“②”）。
【答案】①；①。
【分析】判断物体做功快慢有两种方法：①做相同的功，比较时间的长短，用时越长，做功越慢；②在相同的时间内，比较做功的多少，做功越多，做功越快。
【解答】解：比较挖掘机与人力挖土做功的快慢，我们可以采用相同的时间内比较挖土多少，即做功的多少；比较可知，挖掘机做功多，做功快；
功率表示做功快慢的物理量，公式为P，表示单位时间内物体所做的功；这种方法与日常方法①相同的时间比较做功的多少是相同的。
故答案为：①；①。
【点评】（1）正确掌握功率的定义、公式、计算。（2）判断物体的做功快慢采取控制变量法。
【变式1-1】（2023 青羊区校级模拟）学习了功率的知识后，小明和几位同学准备做“比一比谁的功率大”的活动。以下是他们设计的三套方案，其中可行的是（　　）
①控制爬楼的时间相同，测量出各自的体重、爬上楼的高度，即可比较功率大小
②控制爬楼的高度相同，测量出各自的体重、爬楼用的时间，即可比较功率大小
③测量出各自的体重、爬楼用的时间和爬楼的高度，算出功率进行比较
A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③
【答案】D
【分析】要比较功率的大小，有三种方法：
①做功时间一定，比较做功的多少，做功多的，功率大；
②做功的多少一定，做功时间短的，功率大；
③分别测出功率，进行比较。
比较功率不一定必须测出功率。
【解答】解：爬楼是克服自身的重力做功，功率P，若做功时间t一定，测出各自的质量m和爬楼的高度h，mgh越大，功率越大；
控制爬楼高度一定，测出各自的质量m和爬楼时间t，若的比值越大，功率就越大；
测出各自的质量、爬楼时间和爬楼的高度，根据P，求出功率，比较功率的大小。所以三种方法都是可以的。故选：D。
【点评】解答此题的关键是我们首先要知道爬楼是克服自身的重力做功，然后根据比较功率的方法来解答。
【变式1-2】（2023 虹口区校级期末）大人和小孩分别将同样多的砖从一楼搬到二楼，大人用时15s，小孩用时25s，在这个过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小孩对砖做功更多 B．小孩对砖做功更快
C．大人对砖做功更多 D．大人对砖做功更快
【答案】D
【分析】（1）两人分别将同样多的砖从一楼运到三楼，根据公式W＝Gh比较大人和小孩对砖做功的多少；
（2）根据功率的公式P比较大人和小孩对砖做功的功率大小。
【解答】解：大人和小孩分别将同样多的砖从一楼搬到二楼，砖的总重力相同，砖上升的高度相同，由公式 W＝Gh可知，大人和小孩对砖所做的功相同；
运砖时，上升的高度相同，小孩用的时间比大人多，大人和小孩对砖所做的功相同，根据公式P可知，大人对砖做功的功率一定比小孩对砖做功的功率大，大人对砖做功更快，故ABC不符合题意，D符合题意。
【点评】本题考查了功和功率的大小比较，属于基础题，难度不大。
【变式1-3】（2023春 胶州市月考）甲、乙两人做功的多少之比为2：3，做功所用时间之比为3：5，则甲、乙做功的快慢之比为（　　）
A．9：10 B．6：15 C．10：9 D．15：6
【答案】C
【分析】已知甲、乙两人做功之比和时间之比，可利用公式P计算两人做功的功率之比，即做功的快慢之比。
【解答】解：甲、乙两人做功之比W甲：W乙＝2：3，所用时间之比t甲：t乙＝3：5，
则两人做功的功率之比，即快慢之比为：10：9，故选：C。
【点评】本题考查了学生对功率计算公式的理解和应用，需要注意的是，在代入数值的时候应注意要一一对应，这是一个比较容易出错的地方。
【题型2】 对功率的理解
方法点拨 熟记功率的基本概念，注意区分功率与功，功率是表示做功快慢的物理量，功率的大小是由做功的多少与做功所用时间共同决定的，做功快慢和做功多少是不同的。
（2023春 青县期末）关于功率，下列说法中不正确的是（　　）
A．每秒做功越多，功率越大
B．汽车上坡时要减速，是为了增大牵引力
C．做功快的机械，功率一定大
D．功率小的机器做功一定少
【答案】D
【分析】功率是描述物体做功快慢的物理量，它等于单位时间内完成的功，由所做功的多少和所用的时间决定。
根据公式PFv可知，汽车的功率是一定的，其牵引力和速度成反比。
【解答】解：A、功率是描述物体做功快慢的物理量，它等于单位时间内完成的功，由所做功的多少和所用的时间决定，故A说法正确；
B、根据公式PFv可知，汽车的功率是一定的，其牵引力和速度成反比，汽车上坡时要减速，是为了增大牵引力，故B说法正确；
C、做功快的机械，功率一定大，说法正确；
D、功率反映做功的快慢，物体做功多少除了要考虑功率还要考虑做功的时间，功率小但是时间长做功不一定少，D说法不正确。
【点评】本题考查了功率的概念，功率和功的关系。
【变式2-1】（2023秋 碑林区校级期末）小亮在夏天的某个周末参加实践活动，利用小推车帮助农民爷爷搬运西瓜，下列说法正确的是（　　）
A．推小推车的力越大，对小推车做的功越多
B．推小推车的距离越远，对小推车做的功越多
C．推力做的功越多，表示做功越快
D．推力做功的功率越大，做功不一定越多
【答案】D
【分析】①力学里所说的功包括两个必要因素：一是作用在物体上的力；二是物体在力的方向上通过的距离；计算公式为W＝Fs；②功率是描述物体做功快慢的物理量，它等于单位时间内所做的功，功率大则做功快；计算公式为P。
【解答】解：AB、由功的计算公式W＝Fs可知，推小推车时做功的多少与推力大小和距离远近都有关系，只知道一个因素无法判断做功的多少，故AB错误；
C、只知道做功的多少，不知道做功时间，无法判断做功快慢，故C错误；
D、功率越大表明做功越快，不知道做功时间，无法判断做功多少，故D正确。
【点评】理解功和功率的基本概念，同时要认识功和功率的公式，并注意区分功率与功的不同。
【变式2-2】（2023 济南）2023年5月23日12时30分许，我国13名科考队员成功登顶珠穆朗玛峰，巍巍珠峰再次见证历史！如图所示。在他们从山脚下到峰顶的过程中，体重（含装备）越大的队员一定（　　）
A．做功越多 B．功率越大 C．做功越快 D．功率越小
【答案】A
【分析】功表示物体在力与力的方向上通过距离的乘积；物体在单位时间内所做的功叫功率，物理学中，用功率来表示物体做功的快慢。
【解答】解：从山脚到峰顶的过程中，各科考队员上升的高度是相同的，根据公式W＝Fs＝Gh可知，体重越大（含装备）越大的队员，做功越多；
因为从山脚到山顶各科考队员所用的时间未知，根据公式P可知，功率的大小无法比较。故选：A。
【点评】本题考查了学生对功率概念，以及功的了解与掌握，属于基础题目。
【变式2-3】（2023秋 无锡期末）体育课上，老师通过改变音乐的节奏来控制同学们完成20个仰卧起坐的快慢。调节后改变了同学们做仰卧起坐时（　　）
A．功率的大小 B．做功的多少
C．所需力的大小 D．重心上升的高度
【答案】A
【分析】根据功率的定义分析（功率是表示做功快慢的物理量）。
【解答】解：做仰卧起坐时，每次所做的功相同，则完成20个仰卧起坐做的总功相同，老师通过改变音乐的节奏改变了同学们仰卧起坐的快慢，则学生做功的时间改变，所以做功的功率发生了改变，所以其实质是改变功率的大小。故选：A。
【点评】此题考查学生对功率的理解，属于基础知识考查，难度不大。
【题型3】 功率的计算
方法点拨 1．计算功率时，公式具有普遍性，适用于任何情况下功率的计算；而推导公式P=Fv一般用于做匀速直线运动的物体。 2．汽车爬坡时为什么要用低速挡。由推导公式P=Fv可知，在功率一定时，速度越小，汽车获得的牵引力越大，爬坡越容易。
（2023春 江岸区校级月考）某建筑工地上一台升降机的箱体连同货物的质量为1.2t，在10s内从地面上升到5楼，如果每层楼高3m，升降机的电动机的功率为（　　）
A．18W B．14.4W C．18kW D．14.4kW
【答案】D
【分析】根据公式G＝mg计算出重力，根据公式W＝Gh来计算电动机所做的功，再根据公式P求出功率。
【解答】解：由题可知，升降机的箱体连同货物的重力为G＝mg＝1.2×103kg×10N/kg＝1.2×104N，升降机将箱体连同货物从1楼升到5楼的高度为12m，则升降机的电动机做功为W＝Gh＝1.2×104N×12m＝1.44×105J；升降机的电动机的功率为P1.44×104W＝14.4kW，故D正确，ABC错误。
【点评】此题主要考查的是学生对重力、功、功率计算公式的理解和掌握，基础性题目。
【变式3-1】（2023秋 永修县期末）一起重机将重为1.2×104N的钢材2秒内竖直匀速提升3m后，又用了4秒沿水平方向匀速移动5m，在整个运动过程中起重机对钢材做的功为 　，功率 　W。
【答案】3.6×104J；6000。
【分析】根据功的定义可知，起重机提着重物沿水平方向匀速移动5m的过程，起重机向上的拉力没有对重物做功；根据功和功率的公式计算即可。
【解答】解：由题意可知，起重机提着重物沿水平方向匀速移动5m的过程，起重机向上的拉力没有对重物做功；起重机对钢材做的功：
W＝Fs＝1.2×104N×3m＝3.6×104J；
做功的功率：P6000W。
【点评】本题有两处容易出错：一是物体在水平方向上运动的过程中，向上的拉力没有对物体做功；二是整个过程中做功的功率应为平均功率，即时间应为物体竖直上升和水平移动的时间之和。
【变式3-2】（2023 常州）初中生小明回家上楼，用30s从一楼走到三楼，他上楼过程的功率大约为（　　）
A．1W B．10W C．100W D．1000W
【答案】C
【分析】先估测人的质量和走上三楼的高度；根据质量求出重力，再根据W＝Gh求出他上楼时做的功，由P求出功率。
【解答】解：一个学生的质量约为50kg，每一层楼的高度为3m，从一楼走到三楼，上升的高度为6m；从一楼走到三楼做的功：W＝Gh＝mgh＝50kg×10N/kg×6m＝3000J，从一楼走到三楼的时间为30s，则他上楼时的功率：P100W，故C正确。
【点评】本题考查功率公式的应用，难度不大。
【变式3-3】（2023春 江岸区校级月考）电动叉车托着质量为100kg的货物，在25s时间内沿水平方向行驶100m，如图甲所示；接着在10s内把货物匀速竖直提升1m，如图乙所示。下列说法正确的是（　　）
A．叉车水平行驶时克服货物重力做功为1.0×106J
B．叉车水平行驶时克服货物重力做功的功率为4.0×104W
C．叉车提升货物的过程中，克服货物重力做功为1.0×103J
D．叉车提升货物的过程中，克服货物重力做功的功率为1.0×103W
【答案】C
【分析】AB：功是力和力的方向上移动的距离的乘积，据此分析水平行驶过程中，叉车对货物是否做功；CD、根据W＝Gh计算叉车提升货物的过程中，克服货物重力做功，根据P计算克服货物重力做功的功率。
【解答】解：AB：功是力和力的方向上移动的距离的乘积，所以水平行驶过程中，叉车对货物没有做功，功率为0，故AB错误；
CD、叉车提升货物的过程中，克服货物重力做功：W＝Gh＝mgh＝100kg×10N/kg×1m＝1000J；克服货物重力做功的功率：P100W，故C正确，D错误。
【点评】本题考查做功公式和功率公式的灵活运用，属于基础题。
【题型4】 功率的有关图像问题
方法点拨 通过图象来考查功率，要求同学们具有一定的识图能力，能够从图像中找出求解功率需要的有用信息。
（2023秋 黄埔区期末）如图甲所示，物体在恒为10N的水平拉力作用下经过A、B、C三个粗糙程度不同的区域，且三个区域的距离均为3m，物体的速度随时间变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　）
A．拉力在B区不做功
B．拉力在C区所做的功为20J
C．拉力在A区做功的功率为30W
D．拉力在A、C区做功的功率相同
【答案】D
【分析】在平衡力的作用下物体保持静止或匀速直线运动状态，在非平衡力的作用下物体运动状态发生改变；运用以上规律，结合题目和图像，可知物块在0～2s内在区域A做加速运动，在2s～3s内在区域B上做匀速运动，在区域C做减速运动，根据W＝Fs得到区域C做的功，根据W＝Fs得到区域A做的功，根据P得到拉力在A区做功的功率。
【解答】解：A、在2s～3s内在区域B上做匀速运动，拉力和摩擦力是平衡力，拉力等于摩擦力，物体在拉力的方向上通过一定的距离，拉力做功，故A错误；
B、在区域C做减速运动，拉力在C区所做的功为：WC＝FsC＝10N×3m＝30J，故B错误；
C、拉力在A区做的功：WA＝Fs＝10N×3m＝30J，拉力在A区做功的功率：PA15W，故C错误；
D、拉力在C区所做功的功率：PC15W，拉力在A、C区做功的功率相同，故D正确。
【点评】本题考查功和功率的计算，结合运动图像和速度﹣时间图像得到有价值的信息，是解答此题的关键。
【变式4-1】（2023春 江岸区校级月考）一定质量的物体在水平拉力的作用下沿同一水平面运动，物体运动的路程（s）﹣时间（t）图象如图所示，根据图象，下列判断正确的是（　　）
A．物体16s时的速度大于4s时的速度
B．0﹣12s拉力对物体所做的功大于12s﹣24s拉力对物体所做的功
C．0﹣12s拉力对物体做功的功率小于12s﹣24s拉力对物体做功的功率
D．0﹣12s物体所受的拉力大于12s﹣24s物体所受的拉力
【答案】B
【分析】（1）比较物体运动快慢的方法：运动相同的路程比时间，时间越短，速度越快；相同时间比路程，路程越长，速度越快；
（2）从图象上分别读出0～6s和6～12s过程中通过的距离，根据W＝Fs比较拉力做功的多少；
（3）根据P＝Fv判断功率的变化；
（4）由s﹣t图象可得，物体处于平衡状态；物体处于静止或匀速直线运动状态时，受的是平衡力的作用，大小相等。
【解答】解：A．物体0﹣12s内的速度是0.5m/s，物体12﹣24s内的速度是0.167m/s，物体16s时的速度小于4s时的速度，故A错误；
B．0﹣12s物体运动了6m，12s﹣24s物体运动了2m，由图可知物体在每段时间内都是匀速直线运动，则拉力等于摩擦力，摩擦力没变则拉力不变，根据公式W＝Fs可知，0﹣12s拉力对物体所做的功大于12s﹣24s拉力对物体所做的功，故B正确；
C．在相同的时间里，0﹣12s拉力对物体所做的功较大，则功率也较大，故C错误；
D．由图可知物体前12s内和后12s内都是匀速直线运动，则拉力等于摩擦力，因为压力和接触面的粗糙程度没变，摩擦力不变，则拉力不变，故D错误。
【点评】根据图象判断物体是否做匀速直线运动以及速度大小的关系，知道平衡力的辨别和功、功率的计算公式是解决本题的关键。
【变式4-2】（2023春 鄠邑区月考）如图（a）所示，放在足够长的水平桌面上的木块，用弹簧测力计沿水平方向以不同速度分别拉木块使其做直线运动，木块两次运动的s﹣t图像如图（b）所示。由图像可知，木块两次所受摩擦力f1　 　f2，拉力做功的功率P1　 　P2，相等时间所做的功W1　 　W2。（以上均选填“＞”“＜”“＝”）
【答案】＝；＞；＞。
【分析】（1）由s﹣t图像可知木块两次在相同时间内通过的路程关系，根据速度公式可知两次速度的大小关系；
（2）滑动摩擦力的大小跟压力大小和接触面粗糙程度有关，据此比较木块两次受到摩擦力的大小关系；
拉动木块在水平面上做匀速直线运动时，水平方向上木块受到拉力和滑动摩擦力是一对平衡力，二力大小相等，据此比较木块两次受到拉力的大小关系；
（3）根据PFv分析两次拉力做功的功率大小；
（4）根据W＝Fs＝Fvt分析相等时间所做的功的大小关系。
【解答】解：由图（b）的s﹣t图像可知，在相同时间内，木块第一次通过的路程大于第二次通过的路程，根据v可知v1＞v2；
同一木块两次在水平桌面上运动，压力大小不变，接触面的粗糙程度不变，所以滑动摩擦力的大小不变，即f1＝f2；
由s﹣t图像可知，木块两次通过的路程与时间都成正比，即木块两次都做匀速直线运动，在水平方向上木块受到拉力和滑动摩擦力是一对平衡力，则拉力等于滑动摩擦力，滑动摩擦力不变，则两次拉力相等，即F1＝F2；
因F1＝F2、v1＞v2，所以根据PFv可得P1＞P2。
由W＝Fs＝Fvt可知，相等时间所做的功W1＞W2。
【点评】解答本题的关键：根据木块做匀速直线运动判断木块受到平衡力作用，根据二力平衡条件判断拉力和滑动摩擦力的大小关系，根据P＝Fv判断功率的大小关系。
【变式4-3】（2023春 鱼台县期末）如图甲所示，水平地面上的物体，受到方向不变的推力F的作用，其F﹣t和v﹣t的图像分别如图乙、丙所示。由图像可知：在0～3s内，推力对物体做功　 　J；在9～12s内，推力对物体做功的功率为　 W。
【答案】0；18。
【分析】（1）从速度图象中分析0﹣3s时物体的速度大小可得出物体此时所处的状态，然后根据做功的两个必要条件分析解答；
（2）首先从速度图象中9﹣12s得出物体匀速直线运动。然后对应的从F﹣t图象中得出推力；再利用P＝Fv求出功率。
【解答】解：（1）由丙图知：0﹣3s内物体的速度大小为零，物体处于静止状态，有力无距离，所以，推力对物体做功0J。
（2）由丙图知，9﹣12s时，物体匀速运动，v＝3m/s，由乙图知，9﹣12s时，F＝6N，
则拉力F做功的功率：P＝Fv＝6N×3m/s＝18W。
【点评】本题考查学生对图象的认识及力的合成的应用，要求能熟练读图，根据平衡状态中二力平衡找出力的大小是本题的关键所在。

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