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利用导数研究函数的单调性综合
例1 已知函数，求函数的单调区间．
【详解】（1）定义域为，
由，得，
①时，，则在上为增函数；
②时，由，得，由，得，
则在上为增函数，在上为减函数．
综上，当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数．
练习1：已知函数，.讨论的单调性；
【详解】（1），，
当时，，在上单调递减.
当时，令，解得，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减.
练习2：（全国3卷）已知函数.讨论的单调性；
【详解】（1） 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
例2 已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】（1）由题意知：，
所以，
①当时，若，则，若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令得：或，且，
若，则，若，则，若，则，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，恒成立，所以在上单调递增；
④当时，令得：或，且，
若，则，若，则，若，则，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
练习3：已知函数 讨论的单调性；
【详解】（1），
当时，，，单调递增；，，单调递减．
当时，当或，，单调递增；
当，，单调递减，
当时，，所以在R上单调递增．
当时，当或，，单调递增；
，，单调递减．
例3 （全国I卷）已知函数，讨论函数的单调性．
解：的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
作业巩固
1. 已知函数，，讨论的单调性.
【解析】因为，
所以，令，得或，令得，
所以在及上是增函数，在上是减函数.
2．已知函数．讨论函数的单调性；
【详解】（1）由已知，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，若，得，函数单调递增，
若，得，函数单调递减；
综上所述：当，函数在上单调递增，
当时，函数在单调递增，在单调递减；
3. 已知函数．求函数的单调区间；
【详解】（1）的定义域为，
当时，在恒成立，
当时，令，得，单调递增；令，得，单调递减，
综上所述：当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
4. （教材104页）已知函数.讨论函数的单调性；
【详解】（1）因为，所以,
易知，恒成立，
当时，恒成立，所以在上单调递减，
当时，由，得到，
当时，；当时，，
所以时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上，当时，在上单调递减，
当时，函数减区间为，增区间为.
5．（2021全国乙卷）已知函数．讨论的单调性；
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
6．（2021新高考II卷22题）已知函数．讨论的单调性；
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；利用导数研究函数的单调性综合
例1 已知函数，求函数的单调区间．
练习1：已知函数，.讨论的单调性；
练习2：（全国3卷）已知函数.讨论的单调性；
例2 已知函数，讨论函数的单调性；
练习3：已知函数 讨论的单调性；
例3 （全国I卷）已知函数，讨论函数的单调性．
作业巩固
1. 已知函数，，讨论的单调性.
2．已知函数．讨论函数的单调性；
3. 已知函数．求函数的单调区间；
4. （教材104页）已知函数.讨论函数的单调性；
5．（2021全国乙卷）已知函数．讨论的单调性；
6．（2021新高考II卷22题）已知函数．讨论的单调性；

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