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第三节 导数与函数的单调性
知识清单
1．函数的单调性与导数的正负
一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
函数在某个区间内可导，
如果，那么函数在这个区间内单调递增；
如果，那么函数在这个区间内单调递减；
如果，那么函数在这个区间内是常数函数．
2．判断函数单调性的步骤
法一：
（1）第一步，确定函数的定义域；
（2）第二步，求出导数的零点；
（3）用的零点将的定义域分为若干个区间，列表给出在各区间的正负，由此得出函数在定义域内的单调性．
法二：
（1）第一步，确定函数的定义域；
（2）第二步，解不等式，则可求出函数的增区间；
（3）第三步，解不等式，则可求出函数的减区间．
注意：具有相同的单调性的区间不能用“”连接起来
3．几个常见结论
（1）若函数在区间内单调递增，则在区间内恒成立；
（2）若函数在区间内单调递减，则在区间内恒成立；
（3）若函数在区间内存在增区间，则在区间内有解；
（4）若函数在区间内存在减区间，则在区间内有解；
（5）若函数在区间内不单调，则在区间内有变号零点．
题型一 求函数的单调区间
1．函数的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
2．函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
求下列函数的单调区间
5． 6．
7． 8．
9． 10．
题型二 .函数的图象与导数（导数图象看正负，原函数图象看趋势）
11．若函数的图象的顶点在第四象限，则其导函数的图象是（ ）
A B C D
12．若函数的导函数在区间上是增函数，则它在区间上的图象可能是（ ）
A B C D
13．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图1所示，
则该函数的图象是（　　）
(
图
1
) A B C D
14．已知函数的导函数的图象如图2所示，那么函数的图象最有可能的是（　　）
(
图
2
) A B C D
15．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　）
A． B．
C． D．
16．函数的导函数的图象如图3所示，则函数的图象可能是（　　）
(
图
3
)
A B C D
17．设函数在定义域内可导，的图象如图4所示，则导函数可能为（　 ）
(
图
4
) A B C D
18．函数的图象如图5所示，则的图象可能是（　 ）
(
图
5
)
A B C D
19．已知函数的图象如图6所示，其中是函数的导函数，则函数的
大致图象可以是（　 ）
(
图
6
) A B C D
20．已知函数的图象如图所示，若是的导函数，则不等式
的解集为　 　
题型三 根据单调性求参数
21．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
22．已知函数在上有三个不同的单调区间，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
23．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
24．若函数在内单调递减，则实数的取值范围（　　）
A． B． C． D．
25．若函数在为增函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
26．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
27．若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
28．若函数在单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
29．已知函数，若函数在其定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是　 　
30．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是　 　
题型四 讨论函数的单调性（讨论导数的正负）
31．已知函数（），讨论函数的单调性．
32．已知函数（），讨论函数的单调性．
33．已知函数（），讨论函数的单调性．
34．已知函数（），讨论函数的单调性．
35．已知函数（）.
（1）讨论函数的单调性； （2）讨论函数在区间上的单调性．
36．已知函数（），讨论函数的单调性．
37．已知函数（），讨论函数的单调性．
38．已知函数（），讨论函数的单调性．
39．已知函数（），讨论函数的单调性．
40．已知函数（），讨论函数的单调性．
题型五 构造新函数
当题目中出现了与的不等式时，常利用导数的运算法则进行构造新函数
（1） （2）
（3） （4）
41．是定义在上的可导函数，且有，对，则必有（　　）
A． B． C． D．
42．设函数的导函数为，且，，则有（ ）
A． B．
C． D．
43．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（　　）
A． B．
C． D．
44．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得
成立的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
45．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式
的解集为（　　）
A． B． C． D．
46．函数的定义域为，且有，，则不等式的解集为
47．函数的定义域为，且，，则不等式的解集为
48．设函数是奇函数的导函数，，当时，，
则不等式的解集为
综合训练
1．设函数，若，则实数的范围是（　　）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为，，对任意的，都有，则的
解集为（　　）
A． B． C． D．
3．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知，且，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知，对于任意的，都有恒成立，则实数a的取值范围是　 　
8．已知函数，讨论在区间的单调性．
9．已知函数，讨论的单调性．
10．已知函数，讨论函数的单调性．
第三节 导数与函数的单调性参考答案
题型一 求函数的单调区间
1-4 B，D，B，C
5． 6．
7．
8．
9． 10．
题型二 函数的图象与导数
11-15 A，A，D，A，C 16-19 D，D，A，A 20．
题型三 根据单调性求参数
21-25 B，C，A，B，A 26-28 D，C，C
29． 30．
题型四 略
题型五 构造新函数
41-45 A，B，A，D，B 46． 47． 48．
综合训练
1-6 B，B，C，A，C，D
7．
8．在上单调递增，在上单调递减．
9-10 略

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