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第五节 导数与函数的最值
知识清单
1．函数最值的定义
（1）函数在定义域内某点处的函数值记为．
若不小于函数定义域内各点处的函数值，即恒有，则称为函数在定义域内的最大值点，为函数在定义域内的最大值；
若不大于函数定义域内各点处的函数值，即恒有，则称为函数在定义域内的最小值点，为函数在定义域内的最小值．
（2）一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．求函数最值的步骤
一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在区间内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3．常见的不等式模型
（1）恒成立，恒成立
（2）有解，有解
（3）恒成立恒成立
（4）有解有解
双变量问题（为函数的定义域）
（5），都有恒成立
（6），使得成立（先考虑任意）
（7），使得成立（先考虑任意）
（8），使得成立
（9），使得成立两个函数值域有交集
（10），使得成立的值域是的值域的子集
题型训练
题型一 求下列函数的最值
1． 2．
3． 4．
题型二 根据函数的最值求参数
5．已知函数，若对于区间上最大值为，最小值为，则（　　）
A．20 B．18 C．3 D．0
6．已知函数在区间的最大值为3，则的值（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
7．已知在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（　　）
A． B． C． D．以上都不对
8．函数，当时，恒成立，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．已知直线与函数的图象分别交于点，则当线段达到最小值时的值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．设函数在上的最大值为2，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
题型三 不等式恒成立求参数—参变分离法
11．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　 ）
A． B． C． D．
12．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
13．已知函数，，如果对于任意的，
都有 恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
14．已知，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
15．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为
16．已知，当时，恒成立，则实数的取值范围为
17．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为
18．已知，当时，恒成立，则实数的取值范围为
19．已知函数．若恒成立，求的取值范围．
20．已知函数．当时，，求的取值范围．
题型四 不等式恒成立求参数—单调性法
21．已知函数，若，求的取值范围．
22．已知函数，当时，，求的取值范围．
23．已知函数，当时，，求的取值范围．
24．设函数，当时，，求的取值范围．
题型五 不含参不等式的证明
25．已知函数，证明：．
26．已知函数，证明：当时， ．
27．已知函数，证明：当时，．
28．已知函数，证明：．
29．已知函数，证明：．
30．已知函数，证明：．
题型六 含参不等式的证明
对于含参的不等式，有以下两种常见思路
（1）根据参数范围讨论函数的单调性，然后找出函数的极值最值，从而证明不等式．
（2）若能分离参数，先分离出参数，再根据参数的取值范围去证明不等式．
31．已知函数，证明：当时，．
32．已知函数，证明：当时，．
33．已知函数，证明：当时，．
34．已知函数，证明：当时，．
题型七 双变量不等式的证明
（1）可以对不等式的形式进行等价变换，然后构造新函数进行证明
（2）利用两个变量的等量关系或者换元法转换为一个变量的不等式，然后再进行证明
35．已知，证明：．
36．已知函数，证明：当时，．
37．已知函数，证明：当时，．
38．已知函数，若存在两个极值点，证明：．
第五节 导数与函数的最值参考答案
题型一 求下列函数的最值
1．最大值6，最小值 2．最大值，最小值1
3．最大值，最小值 4．最大值，最小值1
题型二 根据函数的最值求参数
5- 10 A，B，A，C，D，A
题型三 不等式恒成立求参数—参变分离法
11-14 D，A，C，C
15． 16． 17． 18．
19． 20．
题型四 不等式恒成立求参数—单调性法
21． 22． 23． 24．
题型五-题型七 略

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