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第六节 导数与函数的零点
一．三次函数的零点问题
已知三次函数的两个极值点及其求导后的二次函数的
①若函数有3个零点，则有；
②若函数有2个零点，则有；
③若函数有1个零点，则有或者.
三次函数的图象一共有4种，注意数形结合
1．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若函数与函数有3个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是
5．若函数在内有且只有一个零点，则
6．已知函数其中，若函数在区间内恰有
两个零点，则实数的取值范围是
7．设函数．
（1）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（2）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件．
8．已知函数．
（1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围．
9．已知函数．
（1）当时，求的极小值； （2）当时，讨论方程实根的个数．
10．已知函数．
（1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点．
二．判断与证明零点的个数
（1）判断零点个数
先求导得到单调区间与极值，然后绘出函数的大致图象（注意判断图象是否穿过轴）
（2）证明零点个数
先求导判断函数的单调性与极值，再利用函数零点存在定理确定零点的个数
1．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知函数，证明存在唯一的零点．
4．已知，函数，证明在上有唯一零点．
5．已知函数，讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点．
6．设函数，其中．
（1）若，讨论的单调性； （2）若，证明恰有两个零点．
三．根据零点个数求参数的取值范围
题型一 参变分离求零点
若能转换成（为参数）的形式，则可用与图象的交点的个数来求参数的取值范围.（也可分成一次函数与其他函数，利用切线方程来求解）
1．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数存在两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数与函数有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数与函数有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数存在零点，则实数的取值范围是
6．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是
7．已知函数，若在只有一个零点，求．
8．已知函数，若有两个零点，求的取值范围．
题型二 求导讨论单调性求零点
若不能进行参变分离，或者分离比较麻烦时，可先求导后讨论函数的单调性，找出极值，再将极值与0进行比较，结合零点存在定理求参数.
1．已知函数．（正面讨论做）
（1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围．
2．设函数，其中．
（1）讨论的单调性； （2）若没有零点，求的取值范围．
3．已知函数．
（1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围．
4．已知函数．
（1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围．
四．隐零点问题
解决隐零点问题的一般步骤
（1）求出导数的隐零点及其所在区间范围；（一般需二次求导求出导函数的单调性）
（2）通过，得到一个关于的式子，然后求出极值；（一般将指对数换成幂函数）
（3）最后通过的取值范围（可根据题目要求进行调整），求出的取值范围.
1．已知函数，证明：．
2．已知函数，证明：．
3．已知函数，
（1）讨论的导函数零点的个数； （2）证明：当时，．
4．已知函数，且.
（1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且．
五．零点综合性问题
1．已知函数．
（1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点．
①； ②．
2．已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．
第六节 导数与函数的零点参考答案
一．三次函数的零点问题
1-3 CBB 4. 5. 6.
7.（1）；（2）略 8.（1）略 （2） 9.略 10.略
二．判断与证明零点的个数
1-2 CB 4-6略
三．根据零点个数求参数的取值范围
题型一．1-4 DBCD 5. 6. 7. 8.
题型二．略
四．略
五．略

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