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第四节 导数与函数的极值
知识清单
1．函数极值的定义
（1）函数的极小值
若函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧．
我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
（2）函数的极大值
若函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧．
我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．
2．求函数极值的步骤
解方程，当时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．
3．函数极值与导数的关系
当在区间上变化时，的变化情况如下表
0
单调递增 极大值 单调递减
0
单调递减 极小值 单调递增
注意
（1）如果在附近的左侧与右侧的同号，则不是极值点，可以称它为过渡点；
（2）极值点一定是导数的零点，但导数的零点不一定是极值点，也有可能是过渡点．
题型训练
题型一 函数极值的概念
1．“函数在处取得极值”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．函数的定义域为，其导函数在内的图象如图所示，则函数在区间 内极小值点的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型二 求函数的极值
3．设函数，则（　　）
A．为的极小值点 B．为的极大值点
C．为的极小值点 D．为的极大值点
4．函数在区间的极小值、极大值分别为（　　）
A． B． C． D．
求下列函数的极值
5． 6．
7． 8．
题型三 根据函数的极值求参数
9．已知为函数的极小值点，则（　　）
A． B． C．4 D．2
10．若函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知函数在处取极小值，则的极大值为（ ）
A．2 B． C． D．
12．若是函数的极值点，则的极小值是（ ）
A． B． C． D．1
13．已知函数在处有极值10，则（ ）
A． B．或 C． D．0或7
14．若函数在内有极小值，则（　　）
A． B． C． D．
15．若函数存在极值，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
16．若函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
17．设函数有两个极值点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
18．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
综合训练
1．设函数，则（　　）
A．为的极大值点 B．为的极小值点
C．为的极大值点 D．为的极小值点
2．如图，可导函数在点处的切线方程为，设，
为的导函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．，是的极大值点 B．，是的极小值点
C．，不是的极值点 D．，是的极值点
3．当时，函数取得极大值，则（　　）
A． B． C． D．1
4．已知为常数，函数有两个极值点，则（　　）
A． B．
C． D．
5．设，若为函数的极大值点，则（　　）
A． B． C． D．
6．（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（　　）
A． B． C． D．
7．若函数在处取得极值，则
8．已知和分别是函数的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是　 　
9．求函数的极值．
10．已知函数，当时，函数有极值．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
11．已知函数在处取得极小值．
（1）求实数的值；
（2）设，讨论的零点个数．
12．已知函数有两个极值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若函数的两个极值点分别为，求证．
第四节 导数与函数的极值参考答案
题型一 函数极值的概念
1-2 A，D
题型二 求函数的极值
3-4 C，D
5．有极大值5，无极小值 6．有极小值，无极大值
7．有极大值，有极小值 8．有极大值，无极小值
题型三 根据函数的极值求参数
9-13 D，C，B，A，C 14-18 A，A，D，B，B
综合训练
1-6 D，B，B，D，D，BCD
7．
8．
9．极大值为，极小值为
10．（1） （2）
11．（1） （2）时，有两个零点，时，有一个零点，，没有零点
12．（1） （2）略

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