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(共40张PPT)
专题21 概率与统计的综合运用
2024
高考二轮复习
01
02
03
04
目录
CONTENTS
考情分析
知识建构
核心考点
方法技巧
真题研析
01
PART ONE
考情分析
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02
概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等．
回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题．
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考点要求 考题统计 考情分析
统计图表及数字特征 2023年乙卷第17题，12分 2023年II卷第19题，12分 2022年II卷第19题，12分 【命题预测】
预测2024年高考，以解答题形式出现，具体估计为：
（1）以解答题压轴题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．
（2）热点是与体育比赛规则有关的概率问题及高等背景下的概统问题.
期望与方差 2023年上海卷第19题，14分 2023年I卷第21题，12分 2022年甲卷第19题，12分 2021年I卷第18题，12分 独立性检验 2023年甲卷第17题，12分 2022年I卷第20题，12分
02
PART TWO
知识建构
03
PART THREE
方法技巧
真题研析
（一）涉及的概率知识层面
主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，
1、离散型随机变量的期望与方差
一般地，若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
称为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值的偏离程度，其算术平方根为随机变量的标准差．
（1）离散型随机变量的分布列的性质
①；②．
（2）均值与方差的性质
若，其中为常数，则也是随机变量，
且
（3）分布列的求法
①与排列、组合有关分布列的求法．由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．
②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率， 再求出分布列．
③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
④与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．
（4）常见的离散型随机变量的概率分布模型
①二项分布； ②超儿何分布．
2、常见的连续型概率分布模型
正态分布．
（二）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力
1、与数列结合的实际问题
2、与函数导数结合的实际问题
3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题
4、与统计结合的实际问题
5、与其他背景结合的实际问题
（2023 新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，，，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【解析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为，
由题意得；
（2）由题意设为第次投篮的是甲，
则，
，
又，则是首项为，公比为0.4的等比数列，
，即，
第次投篮的人是甲的概率为；
（3）由（2）得，
当时，，
综上所述，，．
（2023 新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率（c）时，求临界值和误诊率（c）；
（2）设函数（c）（c）（c）．当，，求（c）的解析式，并求（c）在区间，的最小值．
【解析】（1）当漏诊率（c）时，
则，解得；
（c）；
（2）当，时，
（c）（c）（c），
当，时，（c）（c）（c），
故（c），
所以（c）的最小值为0.02．
04
PART FOUR
核心考点
【例1】（2024·河南驻马店·高三河南省驻马店高级中学校联考期末）一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为.
(1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；
(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望.
【解析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，
则 故所求的概率为.
（2）由题意知可能的取值为，则
，
则的分布列见表.
考点题型一：求概率及随机变量的分布列与期望
【变式1-1】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.
(1)求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；
(2)用表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求的分布列和数学期望.
【解析】（1）由题意，甲选择篮球，并在建模，写作，音乐，朗诵，素描5门里再选2门，
则选中建模的概率为；乙同学没有要求，则选中建模的概率为.
故甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为.
（2）由（1）甲选中建模的概率为，乙选中建模的概率为，丙选中建模的概率为，
由题意可能的取值有0，1，2，3，故，
，
，
.
故的分布列见表.
考点题型一：求概率及随机变量的分布列与期望
【例2】（2024·云南昆明·统考一模）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题的应答被采纳的概率；
(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.
【解析】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件，
由题意，，，则，
.
（2）依题意，，，
当最大时，有即
解得：，，故当最大时，.
考点题型二：超几何分布与二项分布
【变式2-1】（2024·江苏苏州·校联考模拟预测）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.
(1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；有二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：）
【解析】（1）当时，男性员工有8人，女性员工有12人.服从超几何分布，，
，，，，
∴的分布列为
数学期望为.
（2），，
由于，则，即，即，
由题意易知，从而，化简得，又，于是.
由于函数在处有极小值，从而当时单调递增，
又，.因此当时，符合题意，而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是.
即N至少为145，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
考点题型二：超几何分布与二项分布
【例3】（2024·全国·模拟预测）乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜制，率先取得四局比赛胜利的选手获胜，且该场比赛结束．已知甲、乙两名运动员进行了一场比赛，且均充分发挥出了水平，其中甲运动员每局比赛获胜的概率为，每局比赛无平局，且每局比赛结果互不影响．
(1)若前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛的概率为，求乙每局比赛获胜的概率；
(2)若前三局比赛中甲只赢了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为，求的分布列和数学期望，并求当为何值时，最大．
【解析】（1）设事件A为“前三局比赛中，甲至少嬴得一局比赛”，则，
化简得，即，所以或（舍去），所以乙每局比赛获胜的概率为．
（2）由题意知，的所有可能取值分别为， 且，
，．
则的分布列为
所以，，
令，得，当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当且仅当时，最大．
考点题型三：概率与其它知识的交汇问题
【变式3-1】（2023·广东·统考一模）已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
（1）求概率的值；
（2）求随机变量的概率分布及其数学期望.
【解析】（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有种取法.其中的三角形如，
这类三角形共有个.因此.
（2）由题意，的可能取值为，2，.其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个；
其中的三角形有两个，和.因此，.
所以随机变量的概率分布列为：
所求数学期望
.
考点题型三：概率与其它知识的交汇问题
【例4】（2024·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考阶段练习）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：
注：①满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；
②对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，
用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；
(2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，
试比较方差与的大小．（结论不要求证明）
【解析】（1）由题意知，是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为，
故从所有的回访顾客中随机抽取1人，此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．
（2）的取值为0，1，2．设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
且事件与相互独立．根据题意，，．则，
，
，
所以的分布列为：
的期望是：．
（3）都服从两点分布，，，，，所以.
考点题型四：期望与方差的实际应用
【变式4-1】（2024·北京海淀·高三统考期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，
设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率
估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，
设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.
【解析】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.
设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则.
（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，
分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场.
所以的所有可能取值为0，1，2.，，.
所以的分布列为
所以.
（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛，
而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以，，
，故.
考点题型四：期望与方差的实际应用
【例5】（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩.
(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；
(2)甲 乙 丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，
【解析】（1）记“至少有一人进入面试”，由已知得，
所以，则，
即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.
（2）由题意可得：的可能取值为，则：，
，，
，
可得随机变量的分布列为
所以.
考点题型五：正态分布与标准正态分布
【变式5-1】（2024·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校联考模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．
(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；
(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．
附：当时，，．
【解析】（1）由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为，
由且，可得，
由，可得，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分.
（2）若，则，，
由题意可知，
，.
考点题型五：正态分布与标准正态分布
【例6】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年200位居民家庭的月平均用水量（单位：吨），将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值；
(2)该市决定设置议价收费标准，用水量低于的居民家庭按照“民用价”收费，
不低于的按照“商业价”收费，为保障有的居民能享受“民用价”，请设置该标准；
(3)以每组数据的中点值作为该组数据的代表，分别是.规定“最佳稳定值”是这样一个量：
与各组代表值的差的平方和最小.依此规定，请求出的值.
【解析】（1）由频率分布直方图知，家庭月均用水量在中的频率为，
同理，在中的频率分别为.
由，解得；
（2）由（1）知，前4组的总频率为，前5组的总频率为，所以，所以根据百分位数的计算方法有，解得；
（3）设与各数据的差的平方和为，
则，
由二次函数的性质知，当时，取得最小值，
故.
考点题型六：统计图表及数字特征
【变式6-1】（2024·北京·高三东直门中学校考阶段练习）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，
从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，
现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，用表示这8名学生中
恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，请直接写出的值.（不需要说明理由）
【解析】（1）由概率和为1得：，解得；
（2）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在、、三组内的学生人数分别为：
人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则应从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为：
数学期望．
（3），理由如下：由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在,内的概率为0.50，
从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，恰有名学生日平均阅读时间在,内的分布列服从二项分布，
，由组合数的性质可得时最大．
考点题型六：统计图表及数字特征
【例7】（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料：
该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验．
参考公式：，．
(1)求剩余的2组数据都是20日的概率；
(2)若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据．
①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程；
②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）．
【解析】（1）记6组依次为1，2，3，4，5，6，从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中2组数据都是20日，即都取自2，4，6组的情况有3种．
根据古典概型概率计算公式，剩余的2组数据都是20日的概率．
（2）①由所选数据，得，，
所以，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为．
②当时，，所以某日的昼夜温差为7℃，预测当日就诊人数约为14人．
考点题型七：线性回归与非线性回归分析
【变式7-1】（2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1 10分别对应年份2013 2022.
根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中，.
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入
y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型 并说明理由；
(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；
（ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）
满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大
附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【解析】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.
（2）（i）设，所以，所以，
，所以关于的经验回归方程为
（ii）由题设可得，
当取对称轴即，即时，年利润L有最大值，故该公司2028年的年利润最大.
考点题型七：线性回归与非线性回归分析
【例1】（2024·湖北武汉·高三统考期末）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位，为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关，他记录了一段时间的相关数据如下表：
(1)依据的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？
(2)为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数
分别为3，3，4的三个小组进行小组才艺展示，若甲、乙两人在这10人中，
求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率.
附：
其中.
【解析】（1）零假设数学考试中准确率与运算速度无关，，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即数学考试中准确率与运算速度无关.
（2）记“甲在3人一组”为事件，则需从除甲以外的9人中任选2人与甲形成一组，
再从剩下7人中任选3人形成一组，最后4人形成一组，所以，
记“甲在3人一组，且乙在4人一组”为事件，则需从除甲、乙以外的8人中任选2人与甲形成一组，
再从剩下6人中任选3人与乙形成一组，最后3人形成一组，所以，
由条件概率公式，则，
即甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率为
考点题型八：独立性检验
【变式8-1】（2024·重庆·高三统考期末）2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．
(1)在100名受调人群中，得到如下数据：
根据小概率值的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；
(2)调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．
参考公式：①．
独立性检验常用小概率值和相应临界值：
②随机变量X，Y的期望满足：
【解析】（1），根据小概率值的独立性检验，
认为受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度不存在年龄差异；
（2）用分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，则，所以，
则可取则，所以，，，
所以，由，
该受调者答对题目数量的期望为.
考点题型八：独立性检验
【例9】（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考开学考试）第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．
某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，
甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．
(1)求甲通过测试的概率；
(2)设为本次测试中乙的得分，求的分布列，
【解析】（1）甲通过测试包括种情况：
①第一次得分，第二次得分，概率为；
②第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率为；
③第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率为.
所以甲通过测试的概率为.
（2）的可能取值为，，
，
，，
，
所以的分布列为：
考点题型九：与体育比赛规则有关的概率问题
【变式9-1】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分.已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响.各轮结果亦互不影响.
（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；
（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；
②设“虎队”轮得分之和为，求的期望值.（参考公式）
【解析】（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，
则
.
（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，
则，，
，
，，.
故的分布列如表所示：
②，，，，
∴，.
考点题型九：与体育比赛规则有关的概率问题
【例10】（2024·福建福州·高三福建师大附中校考阶段练习）核酸检测也就是病毒和的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝 丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备份试验用血液标本，从标本中随机取出份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果：份阳性，份阴性.若每次检测费用为元（为常数），记检测的总费用为元.
(1)当时，求的分布列和数学期望.
(2)以检测成本的期望值为依据，在与中选其一，应选哪个？
【解析】（1）当时，共分组，
当份阳性在一组时，第一轮检测次，第二轮检测次，共检测次，若份阳性各在一组，第一轮检测次，第二轮检测次，共检测次，
检测的总费用的所有可能值为，，任意检测有种等可能结果，份阳性在一组有种等可能结果，
，，检测的总费用的分布列为：
数学期望.
（2）当时，共分组，当份阳性在一组，共检测次，若份阳性各在一组，共检测次，
检测的总费用的所有可能值为，，任意检测有种等可能结果，份阳性在一组有种等可能结果，
，，检测的总费用的分布列为：
数学期望，
，时的方案更好一些.
考点题型十：决策型问题
【变式10-1】（2024·全国·高三专题练习）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．
(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；
(2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列；
(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；
方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．
请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．
【解析】（1）要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为，
则，解得，故的最小值为0.8．
（2）设为正常工作的设备数，由题意可知，，，
，，
，从而的分布列为：
（3）设方案1 方案2的总损失分别为，，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，
可知计算机网络断掉的概率为：，故万元．
采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”，
计算机网络断掉的概率为：，故万元．
因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2．
考点题型十：决策型问题
【例11】（2024·全国·模拟预测）在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为，乙每次中靶的概率为，每次射击结果相互独立．
(1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率；
(2)求第n次射击的人是乙的概率．
【解析】（1）由题意，3次射击后甲得20分的情况有以下两种：
第1次、第2次都是甲射击且中靶，第3次甲射击且未中靶，其概率；
第1次乙射击且未中靶，第2次、第3次甲射击且均中靶，其概率．
所以3次射击后甲得20分的概率．
（2）设“第n次射击的人是乙”为事件，则，
所以，又由，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，则，
故第n次射击的人是乙的概率为．
考点题型十一：递推型概率命题
【变式11-1】（2024·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．
(1)求的值，并探究数列的通项公式；
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
【解析】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，
．
因为，，，所以，
所以，所以，
又因为，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故．
（2）证明：当n为奇数时，，当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，
所以，．
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
考点题型十一：递推型概率命题
【例12】俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为．
(1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；
(2)求张老师当天穿西装的概率．
【解析】（1）将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种，
掷出的点数之和是3的倍数有：，12种；
则掷出的点数之和不是3的倍数有24种，随机变量的取值为0，1，，
所以的分布列为：
．；
（2）设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装．
根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为，穿深色西装的概率为，
穿浅色西装的概率为，则当天穿西装的概率为．
所以张老师当天穿西装的概率为．
考点题型十二：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
【变式12-1】某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为，选择乙公司的频率为：
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.
【解析】（1）设事件用户选择甲公司的网约车出行，事件用户对等待时间满意，
事件用户对乘车舒适度满意，事件用户对乘车费用满意.
则，
，
所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.
（2）由题知，，
，
所以，，故该用户选择乙公司出行的概率更大.
考点题型十二：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
【例13】某医药企业使用新技术对某款血液试剂进行试生产.
(1)在试产初期，该款血液试剂的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血液试剂在生产中，经过前三道工序后的次品率为.第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验.
已知批次I的血液试剂智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有.药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为，现随机选择了100份血液样本，使用该血液试剂进行检测，每份血液样本检测结果相互独立，显示有效的份数不超过60份，请结合切比雪夫不等式，通过计算说明该企业的宣传内容是否真实可信.
【解析】（1）设批次I的血液试剂智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件，
由已知得，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率为.
（2）设份血液样本中检测有效的份数为，假设该企业关于此新试剂有效率的宣传内容是客观真实的，那么在此假设下，， ，
由切比雪夫不等式，有，
即在假设下，100份血液样本中显示有效的份数不超过60份的概率不超过0.04，此概率很小，
据此我们有理由推断该企业的宣传内容不可信.
考点题型十三：高等背景下的概统问题
【变式13-1】（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
【解析】（1）,
故分布列为：
.
（2）（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200.
（ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”
则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中,
当时，当时，当时
所以池塘乙中的鱼数为199或200.
考点题型十三：高等背景下的概统问题

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