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七年级数学下册 预习篇
9.1.2 不等式的性质
1.不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
2.不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3.不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
选择题
1.如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：A.由，同时乘以，然后加上可得，故选项正确；
B.由，得到，不是同时加上相同的数，故选项不正确；
C. 由，当时，，故选项错误；
D. 由，当时，，故选项错误；
故选A．
2.下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，灵活运用不等式的基本性质是解答本题的关键．
根据不等式的基本性质逐项排查即可解答．
【详解】解：A．∵，∴，选项正确，不符合题意；
B．∵，∴，选项正确，不符合题意；
C．当时，由得到，选项错误，符合题意；
D．∵，∴，选项正确，不符合题意
故选：C．
3.如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，则下列不等式不成立是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴，不等式的性质，由数轴可得，再根据不等式的性质逐项判断即可，熟练掌握不等式的基本性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变，是解此题的关键．
【详解】解：由数轴可得，
A．，故原选项不成立，符合题意；
B．，故原选项成立，不符合题意；
C.，故原选项成立，不符合题意；
D．，故原选项成立，不符合题意；
故选：A．
4.若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由得，可得，原结论错误，不符合题意；
B、由得，可得，原结论错误，不符合题意；
C、由得，可得，原结论正确，符合题意；
D、由得，可得，原结论错误，不符合题意；
故选C．
5.若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可得到答案．
【详解】解：∵不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，
∴， ，
故A正确，C错误；
∵不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
∴，故B错误；
∵不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变，
∴，故D错误；
故选：A
6.四个实数，，0，中最小的是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数比较大小，不等式得性质，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴四个数中最小的是，
故选B．
7.若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：A．，
，但是与的关系不确定，，，都有可能，故本选项不符合题意；
，故本选项符合题意；
，故本选项不符合题意；
，故本选项不符合题意；
故选：B．
8.若，则下列选项中，一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式的性质，直接利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵，
A、，故原不等式成立，符合题意，
B、，故原不等式不成立，不符合题意；
C、，故原不等式不成立，不符合题意；
D、，故原不等式不成立，符合题意；
故选：A．
填空题
1.在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①；②；③；④．其中正确的有 （填上序号）
【答案】①②
【分析】本题主要考查了数轴及不等式的性质，先确定的关系，再运用不等式的性质判定大小，解题的关键是运用不等式的性质判定大小．
【详解】由数轴上数的位置可得，
①∵，
∴，故①正确，符合题意；
②∵，
∴，故②正确，符合题意；
③∵，
∴，故③错误，不符合题意；
④∵，
∴
∴，故④错误，不符合题意．
故选答案为：①②
2.若不等式，两边同除以，得，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式的性质．根据两边同除以，得，不等号的方向发生改变，得到，求解即可．掌握不等式的两边同时除以一个负数，不等式的方向发生改变，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
3.如果，，那么a b（填“”“ ”“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
4.写出一个解为“”的不等式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的解构造不等式即可，熟练掌握不等式的性质是解此题的关键，注意答案不唯一．
【详解】解：根据解为，构造不等式为：，
故答案为：（答案不唯一）．
5.给出下列不等式：①；②；③；④．其中一定成立的是 ．
【答案】②③④
【解析】“”的意义是“>”或“”，有选择功能，二者之一成立即可，事实上也只能两者取一，“>”“=”不能同时成立，所以对“”的理解应是取8大于6．对“”的理解应是当时，；当时，．
解答题
1.请解决以下两个问题：
(1)利用不等式的性质1比较与的大小；
(2)利用不等式的性质2比较与的大小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）当时，，即；
当时，，即．
（2）因为，所以当时，；
当时，．
2.【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式的大小，只要作出差．若，则：若．则：若，则．
【解决问题】
（1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______（填或）；
（2）已知，当时，比较与的大小，并说明理由；
【学以致用】
（3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元／升，第二次油价为元/升（）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当时，方式二加油更划算；当时，方式一加油更划算
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质并灵活运用是解此题的关键．
（1）计算，由此即可得出答案；
（2）计算，并根据作出判断即可；
（3）计算两种方式加油的平均油价为：，再计算出，，分两种情况：当时，当时，分别进行计算即可．
【详解】解：（1）
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
，
；
（3）由题意可得：
两种方式加油的平均油价为：，
，，
当时，，，此时，，
，此时方式二加油更划算；
当时，，，此时，，
，此时方式一加油更划算；
综上所述，当时，方式二加油更划算；当时，方式一加油更划算．
3.由于无理数是无限不循环小数，所以对于其小数部分我们不可能全部写出来，但是我们可以用这个无理数减去其整数部分来表示．比如的整数部分是1，所以其小数部分就可以表示为．根据上述材料，解答下列问题
(1)a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是 ；
(2)已知，其中x是整数，求的值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题考查了无理数的整数部分，不等式的性质，代数式求值．熟练掌握无理数的估算，正确表示无理数的整数部分、小数部分是解题的关键．
（1）由题意知，，则，，然后代值求解即可；
（2）由，可得，进而可求，，然后代值求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：3；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，x是整数，
∴，，
∴，
∴的值为．
4.阅读下面材料，回答问题：已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．数轴上、两点的距离，如数轴上表示和的两点之间的距离是5，利用上述结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示2和6的两点之间的距离是____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____；
(2)若表示数和的两点之间的距离是5，那么________；
(3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为________；
(4)若x表示一个有理数，且，则有理数的取值范围________；
(5)若未知数x，y满足，求代数式的最小值和最大值．
解：对于代数式，数轴上，当在和之间时，表示的点到与的距离和最小，最小值为7，同理，对于，数轴上，当在和之间时，到和的距离和最小，最小值为4，
又∵，
∴ x的取值范围是________；y的取值范围是________．
∴的最大值为________；的最小值为________．
【答案】(1)4，5
(2)或
(3)9
(4)或
(5)，，，
【分析】（1）可得，，即可求解；
（2）可得，即可求解；
（3）可得，从而可求，，化简绝对值即可求解；
（4）当时，可得；当时，；当时，，即可求解；
（5）可得的取值范围是；y的取值范围是，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
，
故答案：，；
（2）解：由题意得
，
或，
解得：或；
故答案：或；
（3）解：数的点位于与之间，
，
，，
；
故答案：；
（4）解：由题意得
当时，
，
∵，
，
，
即：，
当时，
，
当时，
，
∵，
，
，
即：，
有理数x的取值范围是或；
故答案：或；
（5）解：对于代数式，数轴上，当在和之间时，表示的点到与的距离和最小，最小值为7，同理，对于，数轴上，当在和之间时，到和的距离和最小，最小值为4，
又，
的取值范围是；y的取值范围是．
的最大值为；
的最小值为．
故答案：，，，．
5.已知整数a，b，c满足，且其中任意两数之和是第三个数的整数倍，求所有可能的值.
【答案】可能是或0
【分析】由已知条件可得，由为负整数可得，从而得出，进一步得出，得出，最后可得结论．
【详解】由已知得：
为整数，且，
故．
为负整数，
故，
所以，
所以．
所以，
则只可能是或0．
6.（1）如果，那么______；如果，那么______；如果，那么______．（填“”、“”或“”）
（2）试用（1）提供的方法比较与的大小．
【答案】（1），，（2）
【分析】（1）分别将移项，即可求解；
（2）作差：，判断结果，即可求解．
【详解】解：（1），，
，，
，，
故答案：，，；
（2）由题意得
，
，
，
，
．
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七年级数学下册 预习篇
9.1.2 不等式的性质
1.不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
2.不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3.不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
选择题
1.如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3.如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，则下列不等式不成立是（　　）
A． B． C． D．
4.若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
6.四个实数，，0，中最小的是（　　）
A． B． C．0 D．
7.若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
8.若，则下列选项中，一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
填空题
1.在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①；②；③；④．其中正确的有 （填上序号）
2.若不等式，两边同除以，得，则m的取值范围为 ．
3.如果，，那么a b（填“”“ ”“ ”）．
4.写出一个解为“”的不等式： ．
5.给出下列不等式：①；②；③；④．其中一定成立的是 ．
解答题
1.请解决以下两个问题：
(1)利用不等式的性质1比较与的大小；
(2)利用不等式的性质2比较与的大小．
2.【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式的大小，只要作出差．若，则：若．则：若，则．
【解决问题】
（1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______（填或）；
（2）已知，当时，比较与的大小，并说明理由；
【学以致用】
（3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元／升，第二次油价为元/升（）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明．
3.由于无理数是无限不循环小数，所以对于其小数部分我们不可能全部写出来，但是我们可以用这个无理数减去其整数部分来表示．比如的整数部分是1，所以其小数部分就可以表示为．根据上述材料，解答下列问题
(1)a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是 ；
(2)已知，其中x是整数，求的值．
4.阅读下面材料，回答问题：已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．数轴上、两点的距离，如数轴上表示和的两点之间的距离是5，利用上述结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示2和6的两点之间的距离是____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____；
(2)若表示数和的两点之间的距离是5，那么________；
(3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为________；
(4)若x表示一个有理数，且，则有理数的取值范围________；
(5)若未知数x，y满足，求代数式的最小值和最大值．
解：对于代数式，数轴上，当在和之间时，表示的点到与的距离和最小，最小值为7，同理，对于，数轴上，当在和之间时，到和的距离和最小，最小值为4，
又∵，
∴ x的取值范围是________；y的取值范围是________．
∴的最大值为________；的最小值为________．
5.已知整数a，b，c满足，且其中任意两数之和是第三个数的整数倍，求所有可能的值.
6.（1）如果，那么______；如果，那么______；如果，那么______．（填“”、“”或“”）
（2）试用（1）提供的方法比较与的大小．
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