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七年级数学下册 预习篇
9.2 一元一次不等式
一、一元一次不等式
1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。
2.一元一次不等式与一元一次方程的区别与联系：
（1）相同点：二者都是只含有一个未知数，且未知数的次数为1，左边和右边都是整式；
（2）不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号连接，等号没有方向。
二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母：防止漏乘不含分母的项，乘以（或除以）负数时，不等号要改变方向，分子是多项式时，须加括号；
②去括号：防止漏乘括号内的项和出现符号错误；
③移项：过了不等号的项要变号；
④合并同类项：防指计算错误；
⑤系数化为1：除以负数时要改变不等号的方向。
选择题
1.一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据每个选项得出不等式的解集，然后问题可求解．
【详解】解：由数轴可知不等式的解集为，
A、由可得，故不符合题意；
B、由可得，故符合题意；
C、由可得，故不符合题意；
D、由可得，故不符合题意；
故选B．
2.某林场计划购买甲、乙两种树苗共6000棵，甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应选购乙种树苗（ ）
A．2000棵 B．2400棵 C．3000棵 D．3600棵
【答案】D
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
直接利用树苗的成活率不低于，进而得出不等式，结合树苗价格进而得出答案．
【详解】解：设应选购乙种树苗x棵，则购甲种树苗棵，
根据题意可得：，
解得：，
∵甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元，
∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低，
故应选购乙种树苗3600棵．
故选：D．
3.水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，出售价为11元/千克，卖掉一半后准备打折出售，如果要使总利润不低于3450元，应至少（　　）折出售．
A．7折 B．8折 C．8.5折 D．9折
【答案】D
【分析】此题主要考查了不等式的应用，设余下水果可按原定价打折出售，分别表示出打折前后的利润，进而得出不等式求出即可．
【详解】解：设余下水果可按原定价打折出售，根据题意可得：
，
解得：，
即应至少九折出售余下水果．
故选：D．
4.把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意找出不等关系，列不等式是解题的关键．
由如果每人分3瓶，那么余8瓶，可知共有瓶牛奶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，可得．
【详解】解：∵如果每人分3瓶，那么余8瓶，
∴共有瓶牛奶，
∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，
∴
故选：A．
5.下面是小王解不等式的过程，则他开始出现错误是从（ ）步开始
第一步：去分母，得.
第二步：去括号，得.
第三步：移项，得.
第四步：合并同类项，得.
第五步：系数化为1，得.
A．第一步 B．第三步 C．第四步 D．第五步
【答案】D
【分析】本题主要考查解分式不等式，熟记不等式两边同时除以负数不等号的方向要改变这一知识是解题的关键．
【详解】解：
第五步：系数化为1，得
故选：D．
6.已知一个不等式的解集在数轴上如图所示，则这个不等式是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查运用数轴表示不等式的解集，理解图示，掌握数轴表示不等式解集的方法是解题的关键．
根据数轴的特点，从点向负半轴延伸，且处是空心圆，由此即可求解．
【详解】解：根据图示可知，不等式的解集为，
故选：．
7.不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴不等式的解集为：，
故选：D．
8.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．熟练掌握只含有一个未知数，并且未知数的次数是1、系数不等于0的不等式是一元一次不等式是解题的关键．
根据一元一次不等式的定义进行判断作答即可．
【详解】解：A．没有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B．有两个未知数，是二元一次不等式，故本选项不符合题意；
C．次数不是1，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D．是一元一次不等式，故本选项符合题意；
故选：D．
填空题
1.y与2的差不大于0，用不等式表示为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意找出数量关系，列出不等式即可．
【详解】解：根据题意可得：
y与2的差不大于0，用不等式表示为，
故答案为：．
2.用不等式表示“x的3倍与y的差小于2”： ．
【答案】/
【分析】本题考查了列不等式，掌握理解倍、差、不等式的定义是解题关键．
【详解】解：不等式表示“x的3倍与y的差小于2”：，
故答案为：．
3.阅读下列材料：
问题：已知，且，，试确定的取值范围．
解：，．
又，．．
又，．①
．即．②
①+②，得．
的取值范围是．
请按照上述方法，解决下列问题：
已知，且，，则的取值范围是 ；的取值范围是 ．
【答案】
【解析】略
4.若关于x的方程是一元一次方程，则 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，或0，
∴．
故答案为：0．
5.定西市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：
一户居民每月用电量 电费价格（单位：元/度）
不超过160度的部分 0.51
超过160度且不超过240度的部分 0.56
超过240度的部分 0.81
七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过256元，则李叔家七月份最多可用电的度数是 ．
【答案】400度
【解析】略
解答题
1.某货运公司有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货29吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货31吨．
(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨；
(2)目前有46.4吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运货花费500元，每辆小货车一次运货花费300元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？
【答案】(1)1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货5吨和3.5吨
(2)货运公司安排大货车8辆，则安排小货车2辆，最节省费用
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用：
（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据已知数量关系列方程组求解可得；
（2）设货运公司安排大货车m辆，则安排小货车辆．根据10辆货车需要运输46.4吨货物列出不等式，结合m是正整数，且求出m的值，比较费用大小即可．
【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，
根据题意可得：，
解得：，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货5吨和3.5吨；
（2）解：设货运公司安排大货车m辆，则安排小货车辆，
根据题意可得：，
解得：，
因为m是正整数，且，
所以或9或10．
所以或1或0．
方案一：所需费用（元）
方案二：所需费用（元）
方案三：所需费用（元）
因为．
所以货运公司安排大货车8辆，则安排小货车2辆，最节省费用．
2.实验学校购进一批篮球和排球共100个，送给希望学校，现最多筹资16180元，已知两种球的进价如下表：
类别 篮球 排球
进价（元）） 180 150
试问：学校最多可购进篮球多少个？
【答案】最多购篮球39个
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，首先设采购员购进篮球x个，排球个，列出不等式求解即可．
【详解】解：设采购员购进篮球x个，排球个，则,
解得．
是正整数，
最大可取39，
答：最多购篮球39个．
3.解下列方程（或不等式）
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，熟知解一元一次方程和解一元一次不等式的方法是解题的关键．
（1）先移项，然后合并同类项即可得到答案；
（2）先去括号，然后移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可得到答案．
【详解】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：；
（2）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
4.健康生活，人们越来越喜欢吃新上市的水果，为满足市民的需求，某水果店分别以每千克5元和6元的价格一次性购进了枇杷和桃子个若干千克，共用去了980元．枇杷按每千克获利的价格销售，桃子每千克售价是枇杷每千克售价的倍，经过一段时间后，这两种水果都销售完毕，经统计，销售这两种水果共获利780元．
(1)该水果店此次购进的枇杷和桃子分别是多少千克？
(2)因为市民对这两种水果仍有需求，于是该水果店又以与上次相同的价格购进了一些枇杷和桃子，两种水果购进的数量都与上次相同，由于市场原因，该水果店调整了这两种水果的销售单价，枇杷每千克售价下调了，桃子价格上调了，若要求销售完这些枇杷和桃子的利润不得低于768元，求a的最大值．
【答案】(1)水果店此次购进的枇杷100千克，桃子80千克
(2)15
【分析】（1）由题意计算出枇杷的售价与桃子的售价，设水果店此次购进的枇杷和桃子分别是千克、千克，根据题意列方程组求解可得；
（2）根据题意表示出枇杷每千克售价与桃子每千克售价,根据题意列不等式求解可得；
本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系，并列出方程组或不等式是解题的关键.
【详解】（1）解：枇杷售价：（元/千克），
桃子售价： （元/千克）
设水果店此次购进的枇杷和桃子分别是x千克、y千克．
根据题意得：，
解得
∴水果店此次购进的枇杷100千克，桃子80千克．
（2）∵枇杷每千克售价下调了
∴枇杷每千克售价：（元/千克），
∵桃子价格上调了，
∴桃子每千克售价： （元/千克），
∴
∴，
∴a的最大值为15．
5.如图是一个数值转换机，输入数值后按三个方框中的程序运算，若第一次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数只要“算一遍”；若第一次运算无法输出结果，且第二次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数需要“算两遍”，以此类推：
(1)当输入数为2时，输出的结果为___________；
(2)当输入数为时，求输出的结果；
(3)当输入数为x时，该数需要算两遍，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)4
(2)3
(3)
【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，一元一次不等式的应用．
（1）根据流程图，列出算式，进行计算即可；
（2）根据流程图，列出算式，进行计算即可；
（3）根据题意，列出一元一次不等式，进行求解即可．
正确的列出算式和不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意有．
故答案：4；
（2）依题意有，
．
故输出的结果是3；
（3）依题意有；
解得，
，
解得．
故x的取值范围是．
6.已知不等式．
(1)若不等式的解集为，求m的值；
(2)若x取任意正数都能使不等式成立，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】解：（1）解不等式，得．
∵该不等式的解集为，∴，解得．
（2）∵解原不等式，得，且x取任意正数都能使不等式成立，∴，解得
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9.2 一元一次不等式
一、一元一次不等式
1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。
2.一元一次不等式与一元一次方程的区别与联系：
（1）相同点：二者都是只含有一个未知数，且未知数的次数为1，左边和右边都是整式；
（2）不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号连接，等号没有方向。
二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母：防止漏乘不含分母的项，乘以（或除以）负数时，不等号要改变方向，分子是多项式时，须加括号；
②去括号：防止漏乘括号内的项和出现符号错误；
③移项：过了不等号的项要变号；
④合并同类项：防指计算错误；
⑤系数化为1：除以负数时要改变不等号的方向。
选择题
1.一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
2.某林场计划购买甲、乙两种树苗共6000棵，甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应选购乙种树苗（ ）
A．2000棵 B．2400棵 C．3000棵 D．3600棵
3.水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，出售价为11元/千克，卖掉一半后准备打折出售，如果要使总利润不低于3450元，应至少（　　）折出售．
A．7折 B．8折 C．8.5折 D．9折
4.把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（　　）
A． B．
C． D．
5.下面是小王解不等式的过程，则他开始出现错误是从（ ）步开始
第一步：去分母，得.
第二步：去括号，得.
第三步：移项，得.
第四步：合并同类项，得.
第五步：系数化为1，得.
A．第一步 B．第三步 C．第四步 D．第五步
6.已知一个不等式的解集在数轴上如图所示，则这个不等式是（ ）

A． B． C． D．
7.不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
8.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.y与2的差不大于0，用不等式表示为 ．
2.用不等式表示“x的3倍与y的差小于2”： ．
3.阅读下列材料：
问题：已知，且，，试确定的取值范围．
解：，．
又，．．
又，．①
．即．②
①+②，得．
的取值范围是．
请按照上述方法，解决下列问题：
已知，且，，则的取值范围是 ；的取值范围是 ．
4.若关于x的方程是一元一次方程，则 ．
5.定西市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：
一户居民每月用电量 电费价格（单位：元/度）
不超过160度的部分 0.51
超过160度且不超过240度的部分 0.56
超过240度的部分 0.81
七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过256元，则李叔家七月份最多可用电的度数是 ．
解答题
1.某货运公司有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货29吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货31吨．
(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨；
(2)目前有46.4吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运货花费500元，每辆小货车一次运货花费300元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？
2.实验学校购进一批篮球和排球共100个，送给希望学校，现最多筹资16180元，已知两种球的进价如下表：
类别 篮球 排球
进价（元）） 180 150
试问：学校最多可购进篮球多少个？
3.解下列方程（或不等式）
(1)
(2)
4.健康生活，人们越来越喜欢吃新上市的水果，为满足市民的需求，某水果店分别以每千克5元和6元的价格一次性购进了枇杷和桃子个若干千克，共用去了980元．枇杷按每千克获利的价格销售，桃子每千克售价是枇杷每千克售价的倍，经过一段时间后，这两种水果都销售完毕，经统计，销售这两种水果共获利780元．
(1)该水果店此次购进的枇杷和桃子分别是多少千克？
(2)因为市民对这两种水果仍有需求，于是该水果店又以与上次相同的价格购进了一些枇杷和桃子，两种水果购进的数量都与上次相同，由于市场原因，该水果店调整了这两种水果的销售单价，枇杷每千克售价下调了，桃子价格上调了，若要求销售完这些枇杷和桃子的利润不得低于768元，求a的最大值．
5.如图是一个数值转换机，输入数值后按三个方框中的程序运算，若第一次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数只要“算一遍”；若第一次运算无法输出结果，且第二次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数需要“算两遍”，以此类推：
(1)当输入数为2时，输出的结果为___________；
(2)当输入数为时，求输出的结果；
(3)当输入数为x时，该数需要算两遍，直接写出x的取值范围．
6.已知不等式．
(1)若不等式的解集为，求m的值；
(2)若x取任意正数都能使不等式成立，求m的取值范围．
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