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第四章 三角形与四边形
第4节 等腰三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 等腰三角形的性质与判定 ☆☆ 该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于中考必考的中等偏上难度的考点.
考点2 等边三角形的性质与判定 ☆☆
考点3 线段垂直平分线的性质与判定定理 ☆☆
等腰三角形：
（1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）判定
①有两条边 的三角形是等腰三角形；
②有两个角 的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”；
（3）性质
①等腰三角形的 相等， 相等；
②三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相 ；
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是 .
（4）性质推广
①等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；
②等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
③等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高
2.等边三角形
（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形.
（2）对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
（3）判定
①三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都是 的三角形是等边三角形；
③有一个角都是 的等腰三角形是等边三角形；
3.线段的中垂线的性质定理：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
逆定理：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的中垂线上.
■考点一　等腰三角形的性质与判定
◇典例1：（2022 南岗区一模）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，求证：AD＝BC；
（2）如图2，过点D作DE∥BC交AC于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形（△ABC除外）．
◆变式训练
1．（2022 滨江区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，DA⊥AB．设∠CAD＝38°，则∠ADB＝（　　）
A．60° B．62° C．64° D．66°
2．（2023 菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2022 温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
■考点二 等边三角形的性质与判定
◇典例2：（2023 绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（　　）
A． B．6 C．8 D．
◆变式训练
1．（2022 海曙区一模）如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线交于三角形外一点P，若△ABP为等边三角形，则∠ACB的度数为 　　．
2．（2023 张店区校级二模）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
■考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理
◇典例3：（2023 宁波模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，则△BCE的周长为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
◆变式训练
1．（2022 宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
2．（2021 杭州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝　　．
1．（2022 永嘉县校级一模）木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（　　）
A．角平分线定理 B．等腰三角形的三线合一
C．线段垂直平分线定理 D．两直线垂直的性质
2．（2023 丽水模拟）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，连结AF，则∠BAF的度数是（　　）
A．127.5° B．135° C．120° D．105°
3．（2023 桐乡市一模）若等腰△ABC的一个外角等于130°，则该三角形的顶角等于（　　）
A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
4．（2022 常山县模拟）如图．∠ABC是一个锐角，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交射线BC于点D，E，若∠ABC＝35°，∠BAD＝30°，则∠DAE的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（2023 东阳市三模）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　）
A．92° B．102° C．112° D．114°
6．（2023 西湖区一模）如图，P为△ABC内一点，过点P的直线MN与边AB，AC分别交于点M，N，若点M，点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上，记∠PBC＝α，∠A+2∠PCB＝β，则α，β满足的关系式为（　　）
A．β﹣α＝90° B．β﹣2α＝90° C． D．
7．（2022 宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
8．（2022 淮北一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8、AC＝6，若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2020 黄岩区模拟）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022 舟山模拟）如图，△ABC，△DBE和△FGC均为正三角形，以点D，E，F，G在△ABC的各边上．DE和FG相交于点H，若S四边形ADHF＝S△HGE，BC＝a，BD＝b，CF＝c，则a，b，c满足的关系为（　　）
A．a+c＝2b B．b2+c2＝a2 C．+＝ D．a＝2
11．（2021 永嘉县校级模拟）等腰三角形两边长分别为7和5，则这个等腰三角形的周长为　　．
12．（2021 永嘉县校级模拟）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝BD，∠BAC＝108°，则∠ADC的度数是　　．
13．（2023 丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 　　．
14．（2021 金东区模拟）已知△ABC为等边三角形，D为边AC上一点，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE等于　　．
15．（2021 宁波模拟）如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连接AF，当AE＝AF时，∠BCE＝　　度．
16．（2021 绍兴）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是 　　．
17．（2023 永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
18．（2021 温州）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
19．（2021 绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
1．（2023 青龙县模拟）下列说法中错误的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．三角形的中线、角平分线、高线都是线段
C．任意三角形的内角和都是180° D．三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形
2．（2023 莱芜区三模）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，点Q是OA上一点，且PQ∥OB，若PQ＝2，则线段OQ的长是（　　）
A．1.8 B．2.5 C．3 D．2
3．（2023 雄县一模）“在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC为等腰三角形，求∠B的度数．”对于其答案，甲答：50°；乙答：80°；丙答：20°．则正确的是（　　）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
4．（2023 越城区三模）有一道题目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分别以B、C为圆心，以BC长为半径的两条弧相交于D点，求∠ABD的度数”．嘉嘉的求解结果是∠ABD＝10°．淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠ABD还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）
A．淇淇说得对，且∠ABD的另一个值是130° B．淇淇说的不对，∠ABD就得10°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ABD应得20° D．两人都不对，∠ABD应有3个不同值
5．（2021 宁波模拟）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G．若以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，则△ABC的面积可能是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
6．（2023 蚌埠模拟）在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2023 椒江区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AC，BC，AB上，连接DE，EF，且满足CD＝DE，BE＝EF．设∠DEF＝y°，∠A＝x°，则关于x，y的关系式正确的是（　　）
A． B．y＝180﹣2x C． D．
8．（2023 滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
9．（2023 慈溪市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点E在线段AD上，CE＝CD，EF⊥AC于点F，若∠A＝50°，AB＝12，则线段CF的长为（　　）
A．3 B． C． D．4
10．（2022 南谯区校级模拟）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2023 鄞州区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是　　．
12．（2021 义乌市模拟）如图，已知D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC，则∠BED＝　30°　．
13．（2021 温岭市一模）如图，已知∠ABC＝26°，D是BC上一点，分别以B，D为圆心，相等的长为半径画弧，两弧相交于点F，G，连接FG交AB于点E，连接ED，则∠DEA＝　　．
14．（2023 安吉县一模）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　　．
15．（2023 广东模拟）如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，且∠ABD＝∠ACD，若补充一个条件，可以使BE＝CE，则可以补充的条件为 　 　．（填写“E为BC中点”不得分）
16．（2022 柯桥区二模）等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，分别以A、C为圆心，以AB为半径画弧，两弧交于点D，则∠BCD点的度数为 　 　．
17．（2022 柯桥区一模）如图，已知AB∥CD，AD是∠CAB的平分线且交CD于点D．
（1）若∠ACD＝130°，求∠DAB的度数；
（2）若CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝ED．
18．（2023 莲都区一模）如图，△ABC中，CD是角平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠AED＝64°，求∠DCB的度数．
19．（2020 绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
20．（2020 宁德一模）如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．
21．（2021 嵊州市模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．
（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度数．
（2）若DE＝4，试添加一个条件，并求出BC的长度．
22．（2022 于洪区二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△BEC的面积．
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第四章 三角形与四边形
第4节 等腰三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 等腰三角形的性质与判定 ☆☆ 该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于中考必考的中等偏上难度的考点.
考点2 等边三角形的性质与判定 ☆☆
考点3 线段垂直平分线的性质与判定定理 ☆☆
等腰三角形：
（1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）判定
①有两条边相等的三角形是等腰三角形；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”；
（3）性质
①等腰三角形的两腰相等，两个底角相等；
②三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的中垂线.
（4）性质推广
①等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；
②等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
③等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高
2.等边三角形
（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形.
（2）对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
（3）判定
①三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都是60°的三角形是等边三角形；
③有一个角都是60°的等腰三角形是等边三角形；
3.线段的中垂线的性质定理：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
逆定理：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的中垂线上.
■考点一　等腰三角形的性质与判定
◇典例1：（2022 南岗区一模）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，求证：AD＝BC；
（2）如图2，过点D作DE∥BC交AC于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形（△ABC除外）．
【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质；等腰三角形的性质．
【答案】（1）见解析；（2）△ADE，△ADC，△DEC，△BCD．
【点拨】（1）根据角平分线的定义可得∠ACD的度数，再由等腰三角形的判定可得结论；
（2）先分别计算各个角的度数，再根据等腰三角形的判定可得答案．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝＝＝72°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠BCD＝∠ACD＝36°，
∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴AD＝DC，BC＝CD，
∴AD＝BC；
（2）解：由（1）知，∠A＝∠ACD＝∠BCD＝36°，∠B＝∠BDC＝72°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝36°＝∠ECD，∠AED＝∠ACB＝72°，
∴AD＝AE，AD＝DC，DE＝EC，CD＝CB，
∴图中等腰三角形有：△ADE，△ADC，△DEC，△BCD．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
◆变式训练
1．（2022 滨江区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，DA⊥AB．设∠CAD＝38°，则∠ADB＝（　　）
A．60° B．62° C．64° D．66°
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】C
【点拨】根据等腰三角形性质及三角形外角性质求解即可．
【解析】解：∵DA⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∵∠CAD＝38°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝128°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝26°，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝64°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，准确识图是解题的关键．
2．（2023 菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】等腰三角形的判定；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组．
【答案】D
【点拨】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 a2+b2＝c2 的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【解析】解：由题意得，
解得，
∵a2+b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理的逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0，和勾股定理逆定理．
3．（2022 温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【答案】（1）见解析；
（2）CD＝ED，理由见解析．
【点拨】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．
【解析】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
■考点二 等边三角形的性质与判定
◇典例2：（2023 绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（　　）
A． B．6 C．8 D．
【考点】等边三角形的性质．
【答案】C
【点拨】先由等边三角形的性质，得BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，再根据CE＝CD，得∠E＝∠CDE，进而得∠CBD＝∠E＝30°，则BD＝DE＝4，然后在Rt△ABD中，由勾股定理求出AB即可．
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是AC边上的中线，
∴BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝2AD，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，
∴60°＝2∠E，
∴∠E＝30°，
∠CBD＝∠E＝30°，
∴BD＝DE＝4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2，
即（2AD）2﹣AD2＝（4）2，
解得：AD＝4，
∴AB＝2AD＝8．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
◆变式训练
1．（2022 海曙区一模）如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线交于三角形外一点P，若△ABP为等边三角形，则∠ACB的度数为 　150°　．
【考点】等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【答案】150°．
【点拨】先根据线段的垂直平分线的性质可得AP＝PC＝PB，由等腰三角形的性质可得∠PAC＝∠PCA，∠PCB＝∠PBC，最后根据等边三角形和四边形的内角和定理可得结论．
【解析】解：连接PC，
∵边AC，BC的垂直平分线交于三角形外一点P，
∴AP＝PC＝PB，
∴∠PAC＝∠PCA，∠PCB＝∠PBC，
∵△ABP为等边三角形，
∴∠APB＝60°，
∴∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝＝150°．
故答案为：150°．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质．解答此题的关键是掌握这些性质．
2．（2023 张店区校级二模）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
【考点】等边三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【答案】见解析
【点拨】（1）由平行线的性质求出∠EDC，再由三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）证△DEC是等边三角形，得CE＝CD，再证∠CEF＝∠F＝30°，得EC＝CF，即可得出结论．
【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
■考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理
◇典例3：（2023 宁波模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，则△BCE的周长为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】A
【点拨】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据勾股定理求出AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝DB，
在Rt△ABC中，AD＝DB，CD＝6.5，
∴AB＝2CD＝13，
∴AC＝＝＝12，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+CE+EA＝BC+AC＝17，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
◆变式训练
1．（2022 宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】C
【点拨】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．
【解析】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB+AC＝19，
∴△ABD的周长是19，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．（2021 杭州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝　1：3　．
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的面积．
【答案】见试题解答内容
【点拨】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，S△ADE＝S△BDE，根据全等三角形的性质健康得到结论．
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴S△ADE＝S△BDE，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠BDE＝90°，BE＝BE，
∴△BDE≌△BCE（AAS），
∴S△BDE＝S△BCE，
∴S△AED：S△ABC＝1：3，
故答案为：1：3．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
1．（2022 永嘉县校级一模）木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（　　）
A．角平分线定理 B．等腰三角形的三线合一
C．线段垂直平分线定理 D．两直线垂直的性质
【考点】等腰三角形的性质；直线、射线、线段．
【答案】B
【点拨】根据等腰三角形的性质确定答案即可．
【解析】解：木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，
当重锤经过等腰三角形的底边的中点时，就能检查出这根横梁水平，否则就不水平，
所以解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一，
故选：B．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，了解等腰三角形的三线合一的性质是解答本题的关键，难度不大．
2．（2023 丽水模拟）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，连结AF，则∠BAF的度数是（　　）
A．127.5° B．135° C．120° D．105°
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【答案】A
【点拨】根据平行线的性质求出∠ACF＝∠DFE＝45°，根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可．
【解析】解：∵∠D＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠B＝30°，
∴∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，
∵AC∥EF，
∴∠ACF＝∠DFE＝45°，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA＝×（180°﹣∠ACF）＝67.5°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝127.5°，
故选：A．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记“等边对等角”是解题的关键．
3．（2023 桐乡市一模）若等腰△ABC的一个外角等于130°，则该三角形的顶角等于（　　）
A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
【考点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质．
【答案】D
【点拨】根据等腰三角形的一个外角等于130°，进行讨论可能是底角的外角是130°，也有可能顶角的外角是130°，从而求出答案．
【解析】解：①当130°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣130°＝50°，
∴顶角度数是180°﹣50°﹣50°＝80°；
②当130°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣130°＝50°，
∴顶角为50°或80°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，能根据题意进行分类讨论求解是解题的关键．
4．（2022 常山县模拟）如图．∠ABC是一个锐角，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交射线BC于点D，E，若∠ABC＝35°，∠BAD＝30°，则∠DAE的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】B
【点拨】根据三角形外角的性质可得到∠ADE的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠DAE的度数．
【解析】解：∵∠ABC＝35°，∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝∠ABC+∠BAD＝65°，
由作图可得，AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝65°，
∴△ADE中，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．
5．（2023 东阳市三模）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　）
A．92° B．102° C．112° D．114°
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【答案】B
【点拨】首先利用三角形外角性质得到∠DEC＝102°，然后利用平行线性质得出结果．
【解析】解：如图：AB，AC分别交直线a于点D，E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
又∵∠ADE＝∠1＝42°，
∴∠DEC＝∠ADE+∠A＝102°，
又∵a∥b，
∴∠2＝∠DEC＝102°．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，在图形中识别外角和内错角是解决问题的关键．
6．（2023 西湖区一模）如图，P为△ABC内一点，过点P的直线MN与边AB，AC分别交于点M，N，若点M，点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上，记∠PBC＝α，∠A+2∠PCB＝β，则α，β满足的关系式为（　　）
A．β﹣α＝90° B．β﹣2α＝90° C． D．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】C
【点拨】根据三角形内角和定理可得∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC，∠AMP+∠ANP＝180°﹣∠A，根据平角定义可得∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC，结合点M，点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上可得∠PBM＝∠MPB，∠NPC＝∠NCP，结合三角形内外角关系可得∠AMP＝2∠MPB，∠ANP＝2∠NPC，即可得到答案．
【解析】解：∵点M，点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上，
∴PM＝BM，PN＝CN，
∴∠PBM＝∠MPB，∠NPC＝∠NCP，
∵∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC，∠AMP+∠ANP＝180°﹣∠A，∠AMP＝2∠MPB，∠ANP＝2∠NPC，∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC，∠PBC＝α，∠A+2∠PCB＝β，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．（2022 宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【答案】D
【点拨】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【解析】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长．
8．（2022 淮北一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8、AC＝6，若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】等腰三角形的判定．
【答案】D
【点拨】依据点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，即①AB＝AP，②BA＝BP，③AP＝BP，据此通过画图即可得出点P的位置．
【解析】解：如图所示，分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，与直线l的交点P1，P2，P3即为所求；作AB的垂直平分线，与直线l的交点P4即为所求．
∴符合条件的点P有4个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
9．（2020 黄岩区模拟）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】线段垂直平分线的性质；平行线的性质；三角形的面积．
【答案】D
【点拨】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解．
【解析】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，
∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB＝（AC PN）：（AB PM）＝AC：AB；故②正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．
故选：D．
【点睛】此题综合性较强，主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．
10．（2022 舟山模拟）如图，△ABC，△DBE和△FGC均为正三角形，以点D，E，F，G在△ABC的各边上．DE和FG相交于点H，若S四边形ADHF＝S△HGE，BC＝a，BD＝b，CF＝c，则a，b，c满足的关系为（　　）
A．a+c＝2b B．b2+c2＝a2 C．+＝ D．a＝2
【考点】等边三角形的性质．
【答案】B
【点拨】先由△ABC，△DBE和△FGC均为正三角形，证得△EGH为等边三角形，再证明四边形ADHF为平行四边形，然后过点D作DM⊥AF于点M，过点G作GN⊥HE于点N，根据S四边形ADHF＝S△HGE，结合平行四边形和等边三角形的面积公式，得出关于a，b，c的等式，化简即可得出答案．
【解析】解：∵△ABC，△DBE和△FGC均为正三角形，
∴∠BED＝60°，∠CGF＝60°，
∴∠GHE＝60°，
∴△EGH为等边三角形，
∵∠BED＝60°，∠C＝60°，
∴DE∥AC，
∵∠CFG＝∠A＝60°，
∴FG∥AB．
∴四边形ADHF为平行四边形，
∵BC＝a，BD＝b，CF＝c，
∴AF＝DH＝a﹣c，HE＝GH＝b﹣（a﹣c）＝b+c﹣a，AD＝a﹣b．
过点D作DM⊥AF于点M，过点G作GN⊥HE于点N，如图所示：
∵S四边形ADHF＝S△HGE，
∴（a﹣c）（a﹣b）sin60°＝（b+c﹣a）（b+c﹣a）sin60°
∴2（a﹣c）（a﹣b）＝（b+c﹣a）（b+c﹣a），
∴2a2﹣2ab﹣2ac+2bc＝b2+c2+2bc+a2﹣2ab﹣2ac，
∴a2＝b2+c2．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及锐角三角函数在计算中的应用，根据题中已知等式得出关于a，b，c的等式是解题的关键．
11．（2021 永嘉县校级模拟）等腰三角形两边长分别为7和5，则这个等腰三角形的周长为　19或17　．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【答案】19或17
【点拨】分7是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解析】解：①7是腰长时，三角形的三边分别为7、7、5，
能组成三角形，
周长＝7+7+5＝19，
②7是底边时，三角形的三边分别为7、5、5，
能组成三角形，
周长＝7+5+5＝17，
综上所述，三角形的周长为19或17．
故答案为：19或17．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．
12．（2021 永嘉县校级模拟）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝BD，∠BAC＝108°，则∠ADC的度数是　48°　．
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】48°
【点拨】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝108°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．
【解析】解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝，
∵∠BAC＝108°，
∴∠DAC＝108°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+108°﹣＝180°，
解得：α＝48°．
故答案为：48°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．
13．（2023 丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 　4　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】4．
【点拨】根据等腰三角形的判定定理求出AD，再根据线段垂直平分线的性质求出DC．
【解析】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝AD＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（2021 金东区模拟）已知△ABC为等边三角形，D为边AC上一点，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE等于　　．
【考点】等边三角形的性质．
【答案】．
【点拨】过点C作CF⊥DE于点F，根据等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，根据CE＝CD可得∠E＝∠CDE＝30°，再根据含30度角的直角三角形即可求出EF的长，根据等腰三角形三线合一即可得结果．
【解析】解：如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CE＝CD＝1，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴EF＝CE＝，
∴DE＝2EF＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查等边三角形的性质，解决此题的关键是掌握等边三角形的性质．
15．（2021 宁波模拟）如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连接AF，当AE＝AF时，∠BCE＝　20　度．
【考点】等边三角形的性质；三角形内角和定理．
【答案】20
【点拨】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和即可得到结论．
【解析】解：∵△ABC为正三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC＝60°，BD⊥AC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AB＝BC，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF＝∠BCF，
设∠BAF＝∠BCF＝α，
∴∠AEF＝60°+α，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°+α，
∴60°+α+60°+α+α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠BCE＝20°，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
16．（2021 绍兴）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是 　15°或75°　．
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】15°或75°
【点拨】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可．
【解析】解：如图所示，
当点P在点B的左侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP1，
∴∠CAP1＝∠CP1A＝＝＝55°，
∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；
当点P在点C的右侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP2，
∴∠CAP2＝∠CP2A＝＝＝35°，
∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；
由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，
故答案为：15°或75°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答．
17．（2023 永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质；等腰三角形的性质．
【答案】（1）108°；
（2）见解析．
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC的度数，由角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果；
（2）由平行线的性质求得∠EAC＝72°，由三角形内角和定理求得∠ADE＝72，根据等腰三角形的判定即可证得结论．
【解析】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键．
18．（2021 温州）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的判定与性质．
【答案】（1）见解析；
（2）35°．
【点拨】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）由（1）中DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．
【解析】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．
19．（2021 绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】（1）50°，20°；
（2）∠BEC+∠BDC＝110°，理由见解析．
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC的内角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到结论．
【解析】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵CE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；
（2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，
理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，
在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，
∵CE＝BC，
∴∠CBE＝∠BEC＝α，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，
在△BDC中，BD＝BC，
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，
∴β＝70°﹣∠ABE，
∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，
∴∠BEC+∠BDC＝110°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
1．（2023 青龙县模拟）下列说法中错误的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．三角形的中线、角平分线、高线都是线段
C．任意三角形的内角和都是180° D．三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形
【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理．
【答案】A
【点拨】分别根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理，三角形的分类以及三角形的中线、角平分线、高线的定义逐一判断即可．
【解析】解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，故说法错误，符合题意；
B、三角形的中线、角平分线、高线都是线段，说法正确，不合题意
，故本选项不合题意；
C、任意三角形的内角和都是180°，说法正确，不合题意；
D、三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，说法正确，不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，三角形的分类以及三角形的中线、角平分线、高线，熟记相关知识是解答本题的关键．
2．（2023 莱芜区三模）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，点Q是OA上一点，且PQ∥OB，若PQ＝2，则线段OQ的长是（　　）
A．1.8 B．2.5 C．3 D．2
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【答案】D
【点拨】根据角平分线的定义和平行线的性质证得∠AOC＝∠QPO，由等腰三角形的判定即可求出OQ．
【解析】解：∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵PQ∥OB，
∴∠QPO＝∠BOC，
∴∠AOC＝∠QPO，
∴OQ＝PQ＝2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质证得∠AOC＝∠QPO，熟练掌握等腰三角形的判定是解决问题的关键．
3．（2023 雄县一模）“在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC为等腰三角形，求∠B的度数．”对于其答案，甲答：50°；乙答：80°；丙答：20°．则正确的是（　　）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【考点】等腰三角形的判定；三角形的外角性质．
【答案】D
【点拨】已知给出了∠A的相邻外角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解析】解：∵在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，
∴∠A＝80°，
∴当AB＝AC时，；
∴当BC＝BA时，∠C＝∠A＝80°，
∴∠B＝180°﹣（∠A+∠C）＝20°；
∴当CB＝CA时，∠B＝∠A＝80°；
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°，
∴三人答案合在一起才完整．
故选：D．
【点睛】考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
4．（2023 越城区三模）有一道题目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分别以B、C为圆心，以BC长为半径的两条弧相交于D点，求∠ABD的度数”．嘉嘉的求解结果是∠ABD＝10°．淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠ABD还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）
A．淇淇说得对，且∠ABD的另一个值是130° B．淇淇说的不对，∠ABD就得10°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ABD应得20° D．两人都不对，∠ABD应有3个不同值
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】A
【点拨】由题意可知嘉嘉考虑不周全，如图，当点D在△ABC外时，∠ABD的另一个值是130°．
【解析】解：如图，当点D在△ABC外时，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°．
∵BC＝BD＝CD，
∴∠CBD＝60°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝70°+60°＝130°．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键．
5．（2021 宁波模拟）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G．若以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，则△ABC的面积可能是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的面积．
【答案】D
【点拨】连接AE、AG，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的三边关系得到AE+AG＞EG，根据三角形的面积公式判断即可．
【解析】解：连接AE、AG，
∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，
∴△AEG的面积为8，
∵AE+AG＞EG，
∴BE+CG＞EG，
∴S△AEB+S△ACG＞S△AEG，
∴S△ABC＞2S△AEG＝16，
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（2023 蚌埠模拟）在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】等腰三角形的判定．
【答案】C
【点拨】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从BA＝BC，AB＝AC，CA＝CB去分析求解即可求得答案．
【解析】解：如图，
∵AB＝＝2，
∴①若BA＝BC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若AB＝AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA＝CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．
∴这样的C点有10个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，解题关键是分类的数学思想．
7．（2023 椒江区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AC，BC，AB上，连接DE，EF，且满足CD＝DE，BE＝EF．设∠DEF＝y°，∠A＝x°，则关于x，y的关系式正确的是（　　）
A． B．y＝180﹣2x C． D．
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】D
【点拨】先根据等腰三角形的性质与判定得出∠C＝∠CED，∠B＝∠BFE，∠B＝∠C，再根据平角定义得到∠DEF和∠B的关系式，根据三角形内角和得到∠A和∠B的关系式，结合求解即可．
【解析】解：∵CD＝DE，BE＝EF，
∴∠C＝∠CED，∠B＝∠BFE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠CED+∠BEF＝∠C+180°﹣2∠B＝180°﹣∠B，
∴∠DEF＝180°﹣（180°﹣∠B）＝∠B＝y°，
又∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣2∠B＝x°，
∴180°﹣2y°＝x°，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和平角定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
8．（2023 滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【考点】等边三角形的性质．
【答案】B
【点拨】过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，四边形AEPD为平行四边形，根据平行线的性质易得△CDP为等边三角形，△BEP为等边三角形，则CP＝DP＝AE，BP＝EP，因此△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，求出△AEP的三个内角即可求解．
【解析】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，
则四边形AEPD为平行四边形，
∴DP＝AE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵PD∥AB，
∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，
∴△CDP为等边三角形，
∴CP＝DP＝CD，
∴CP＝DP＝AE，
∵PE∥AC，
∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴BP＝EP＝BE，
∴△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，
∵∠APC＝104°，
∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°，
∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°，
∠PAE＝∠APC﹣∠B＝44°，
∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°、44°、120°，
∴最小内角的大小为16°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、三角形外角性质，根据题意正确画出图形，推理论证得到△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形是解题关键．
9．（2023 慈溪市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点E在线段AD上，CE＝CD，EF⊥AC于点F，若∠A＝50°，AB＝12，则线段CF的长为（　　）
A．3 B． C． D．4
【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【答案】C
【点拨】先利用直角三角形的两个锐角互余求出∠B＝40°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝BD＝AB＝6，从而可得∠B＝∠BCD＝40°，进而可得三角形的外角性质可得∠CDE＝80°，然后利用等腰三角形的性质可得∠CDE＝∠CED＝80°，从而可得∠DCE＝20°，进而利用角的和差关系可得∠ECA＝30°，再根据垂直定义可得∠EFC＝90°，最后在Rt△CEF中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝40°，
∵点D为边AB的中点，AB＝12，
∴CD＝BD＝AB＝6，
∴∠B＝∠BCD＝40°，
∴∠CDE＝∠B+∠BCD＝80°，
∵CD＝CE＝6，
∴∠CDE＝∠CED＝80°，
∴∠DCE＝180°﹣∠CDE﹣∠CED＝20°，
∴∠ECA＝∠BCA﹣∠BCD﹣∠DCE＝30°，
∵EF⊥CA，
∴∠EFC＝90°，
∴EF＝EC＝3，CF＝EF＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，含30角的直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质是解题的关键．
10．（2022 南谯区校级模拟）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【答案】D
【点拨】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根据已知给出的条件即可得出答案；
【解析】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，故选项①正确；
∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；
由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，
又∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM，
∴AN＝BM，故选项④正确；
∴CM＝CN，
∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是找出条件证明两个三角形全等．
11．（2023 鄞州区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是　16　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】16．
【点拨】根据勾股定理求出AC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．（2021 义乌市模拟）如图，已知D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC，则∠BED＝　30°　．
【考点】等边三角形的性质．
【答案】30°．
【点拨】连接CD，证明△BCD≌△BED和△ACD≌△DCB，然后由∠ACB＝60°，可得∠BED＝∠DCB＝30°．
【解析】解：连接CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠CBA＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BE＝AB，
∴BE＝BC，
又∵∠CBD＝∠DBE，BD＝BD，
∴△BCD≌△BED（SAS），
∴∠BED＝∠DCB，
∵BD＝AD，BC＝AC，DC＝DC，
∴△ACD≌△DCB（SSS），
∴∠ACD＝∠DCB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BED＝∠DCB＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，解题关键是通过添加辅助线，根据全等三角形的判定及性质求解．
13．（2021 温岭市一模）如图，已知∠ABC＝26°，D是BC上一点，分别以B，D为圆心，相等的长为半径画弧，两弧相交于点F，G，连接FG交AB于点E，连接ED，则∠DEA＝　52°　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】52°．
【点拨】利用基本作图得到EF垂直平分BD，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠DEA的度数．
【解析】解：由作法得EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠EDB＝∠B＝26°，
∴∠DEA＝∠B+∠EDB＝26°+26°＝52°．
故答案为52°．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
14．（2023 安吉县一模）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　6　．
【考点】等边三角形的判定与性质；平行线的性质．
【答案】6
【点拨】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【解析】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
【点睛】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DEF是等边三角形．
15．（2023 广东模拟）如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，且∠ABD＝∠ACD，若补充一个条件，可以使BE＝CE，则可以补充的条件为 　AE是∠BAC的平分线（答案不唯一）　．（填写“E为BC中点”不得分）
【考点】等腰三角形的判定．
【答案】AE是∠BAC的平分线（答案不唯一）．
【点拨】要使BE＝CE，则要判断AE是∠BAC的平分线，△ABC是等腰三角形，据此进行分析即可．
【解析】解：①当补充条件是：AE是∠BAC的平分线，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD与≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AE是BC边上的中线，
∴BE＝CE；
②当补充条件是：∠BDE＝∠CDE，
可得∠BAE＝∠CAE，
∴AE是∠BAC的平分线，
同①可得BE＝CE；
故答案为：AE是∠BAC的平分线（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，解答的关键是对等腰三角形的判定条件的掌握．
16．（2022 柯桥区二模）等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，分别以A、C为圆心，以AB为半径画弧，两弧交于点D，则∠BCD点的度数为 　15°或135°　．
【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．
【答案】15°或135°．
【点拨】根据等腰三角形的性质可求∠ACB，根据等边三角形的判定和性质可求∠ACD，再根据角的和差关系即可求解．
【解析】解：如图：由作图可得△ACD是等边三角形，
则∠ACD＝60°，
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
当D在AC左边时，∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD1＝75°﹣60°＝15°；
当D在AC右边时，∠BCD＝∠ACB+∠ACD2＝75°+60°＝135°．
故答案为：15°或135°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是得到△ACD是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝75°．
17．（2022 柯桥区一模）如图，已知AB∥CD，AD是∠CAB的平分线且交CD于点D．
（1）若∠ACD＝130°，求∠DAB的度数；
（2）若CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝ED．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【答案】见解析
【点拨】（1）由平行线的性质易得∠D＝∠BAD，由角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD，利用三角形的内角和定理可得∠D的度数，易得结论；
（2）利用等腰三角形的三线合一可得结论．
【解析】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠D＝∠BAD，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACD＝130°，
∴∠D＝＝25°，
∴∠DAB＝25°；
（2）证明：∠CAD＝∠BAD，
∴CA＝CD，
∵CE⊥AD，
∴AE＝DE．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质及判定，利用角平分线的性质和平行线的性质得出∠CAD＝∠D是解答此题的关键．
18．（2023 莲都区一模）如图，△ABC中，CD是角平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠AED＝64°，求∠DCB的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【答案】（1）见解析过程；
（2）32°．
【点拨】（1）由角平分线和平行线的性质可得∠ACD＝∠CDE，即可求解；
（2）由平行线的性质可求∠ACB＝∠AED＝64°，由角平分线的性质可求解．
【解析】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴DE＝CE．
（2）∵DE∥BC，∠DEA＝64°，
∴∠ACB＝∠AED＝64°，
∵CD平分∠ACB，
∴．
答：∠DCB的度数是32°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19．（2020 绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【答案】见解析
【点拨】（1）根据三角形外角的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；
（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）∠DAC的度数不会改变；
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，①，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠BAE＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，
∴∠BAD＝（180°﹣∠B）＝[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；
（2）设∠ABC＝m°，
则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAE＝AEB＝90°﹣n°﹣m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．
20．（2020 宁德一模）如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．
【考点】等腰三角形的判定．
【答案】见解析
【点拨】（1）根据等腰三角形的判定，两底角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，即可找出图中所有的等腰三角形；
（2）根据邻补角的性质可求得∠BED＝66°，在△BED中可求得∠ABD＝180°﹣2∠BED＝48°，设∠ACB＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝x°，求得∠A＝180°﹣2x°，又根据三角形外角的性质得出∠BDC＝∠A+∠ABD，则x＝180﹣2x+48，求得∠ACB＝76°．
【解析】解：（1）∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BE＝BD＝BC，
∴△BCD，△BED是等腰三角形；
∴图中所有的等腰三角形有：△ABC，△BCD，△BED；
（2）解：∵∠AED＝114°，
∴∠BED＝180°﹣∠AED＝66°．
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝66°．
∴∠ABD＝180°﹣66°×2＝48°．
设∠ACB＝x°，
∴∠ABC＝∠ACB＝x°．
∴∠A＝180°﹣2x°．
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠ACB＝x°．
又∵∠BDC为△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD．
∴x＝180﹣2x+48，解得：x＝76．
∴∠ACB＝76°．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，难度一般．
21．（2021 嵊州市模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．
（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度数．
（2）若DE＝4，试添加一个条件，并求出BC的长度．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【答案】（1）25°；
（2）12．
【点拨】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝50°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝ACB＝25°，根据平行线的性质即可得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝60°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠DCA＝ACB＝30°，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠B＝30°，∠EDC＝∠DCB＝30°，根据直角三角形的性质即可得到答案．
【解析】解：（1）∵∠A＝90°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝ACB＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠DCB＝25°；
（2）添加条件为：∠B＝30°，
∵∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠DCA＝ACB＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，∠EDC＝∠DCB＝30°，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE，
∵DE＝4，
∴AE＝DE＝2，CE＝DE＝4，
∴AC＝6，
∴BC＝2AC＝12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握“在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半”是解题的关键．
22．（2022 于洪区二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△BEC的面积．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【点拨】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝AE，根据等腰三角形的性质证明结论；
（2）作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解析】（1）证明：连接DE，
在Rt△ADB中，点E是AB的中点，
∴DE＝AB＝AE，
∵CD＝AE，
∴DE＝DC，又DG⊥CE，
∴CG＝EG．
（2）解：作EF⊥BC于F，
∵BC＝13，CD＝5，
∴BD＝13﹣5＝8，
∵DE＝BE，EF⊥BC，
∴DF＝BF＝4，
∴EF＝＝＝3，
∴△BEC的面积＝×CB×EF＝×13×3＝．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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