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第四章 三角形与四边形
第三节 全等三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 全等三角形的性质 ☆☆☆ 在中考中，全等三角形主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主．常结合四边形综合考查．
考点2 全等三角形的判定 ☆☆☆
考点3全等三角形的综合问题 ☆☆
1.全等三角形的相关概念
全等图形：能够完全重合的两个图形
全等三角形：能够完全重合的两个三角形
两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.
2.全等三角形的判定：
一般三角形 直角三角形
判定 (1)边角边(SAS) (2)角边角(ASA) (3)角角边(AAS) (4)边边边(SSS) (1)两直角边对应相等 (2)一直角边、一锐角对应相等 (3)斜边、直角边对应相等(HL)
备注 判定两个三角形全等，至少要有一组对应边相等
判定思路 已知两边 找夹角→SAS
找直角→HL(或SAS)
找第三边→SSS
已知一边一角 边为角的对边→找任一角→AAS
边为角的邻边 找夹角的另一边→SAS
找边的另一邻角→ASA
找边的对角→AAS
已知两角 找夹边→ASA
找任一角的对边→AAS
3.全等三角形的性质：
性质 对应边相等、对应角相等
对应角平分线相等、对应中线相等、对应高相等
全等三角形的周长相等、面积相等
■考点一　全等三角形的性质
◇典例1：（2022 江北区模拟）已知△ABC与△DEF全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AC上，B、F、C、D四点共线，如图所示．若∠A＝40°，∠CED＝35°，则下列叙述何者正确？（　　）
A．EF＝EC，AE＝FC B．EF＝EC，AE≠FC
C．EF≠EC，AE＝FC D．EF≠EC，AE≠FC
◆变式训练
1．（2022 金华模拟）如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）
A．58° B．72° C．50° D．60°
2．（2023 成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　　．
■考点二 全等三角形的判定
◇典例2：（2023 衢州模拟）如图，已知∠B＝∠D，请再添上一个条件 　　，使△ABC≌△ADC（写出一个即可）．
◆变式训练
1．（2023 江山市模拟）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．BC＝EF B．AE＝DB C．BC∥EF D．∠C＝∠F
2．（2023 丽水模拟）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACE，则这个条件可以是 　　．（写一个即可）
3．（2022 益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．
■考点三 全等三角形综合
◇典例3：（2023 安吉县模拟）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1．（2023 东阳市三模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC＝1，连接DE，若F为AD的中点，则DE＝　　．
2．（2021 台州）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．
1．（2022 金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
2．（2021 吴兴区一模）已知：如图，点D，E分别在AC，AB上，AB＝AC，添加一个条件，不能判定△ABD≌△ACE的是（　　）
A．BD＝CE B．AD＝AE C．∠B＝∠C D．∠ADB＝∠AEC
3．（2021 婺城区模拟）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（　　）
A．90° B．120° C．135° D．180°
4．（2021 丽水模拟）下列判断中错误的是（　　）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
5．（2023 金东区二模）如图，点B，E，C，F共线，AB∥DE，∠A＝∠D，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB＝DE B．∠ACB＝∠F C．BE＝CF D．AC＝DF
6．（2022 新昌县模拟）如图是沙漏示意图（数据如图），上下两部分为全等三角形，将上半部分填满沙子后，在沙子下落至如图位置时，AB的长为多少？（正在下落的沙子忽略不计）（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
7．（2023 北仑区二模）如图，点D、E是△ABC边BC上的三等分点，且AD⊥BC，F为AD的中点，连接BF、EF，若BF＝3，则AC的长为（　　）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．9
8．（2021 温州模拟）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB＝90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ＝，则该“风车”的面积为（　　）
A．+1 B．2 C．4﹣ D．4
9．（2023 宁波模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（　　）
①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC，③若AB＝2AE，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC；⑤S△AEF：S△FDC＝AF：FC．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2023 天台县一模）如图，△ADE≌△ABC，点D在边AC上，延长ED交边BC于点F，若∠EAC＝35°，则∠BFD＝　 　．
11．（2021 衢州四模）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，BC∥EF，AC＝FD，请你添加一个条件　 　，使得△ABC≌△DEF．
12．（2022 诸暨市模拟）已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝120°，在同一平面内，若△ABP≌△BAC，则PC的长为 　 　．
13．（2021 绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为 　 　．
14．（2021 定海区模拟）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．求证：△ABC≌△CDA．小华证明过程如下框：
证明：∵AD∥BC，∴∠2＝∠4， 又∵AB∥CD，∴∠1＝∠3， 又∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA
小华的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．
15．（2022 衢州）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．
16．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
17．（2021 杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若 　 　，求证：BE＝CD．
18．（2023 越城区三模）如图，C是AB上一点，点D、E分别位于AB的异侧，AD∥BE，且AD＝BC，AC＝BE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）当AC＝2时，求BF的长；
（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE为钝角三角形，请直接写出α的取值范围．
1．（2021 哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）
A．30° B．25° C．35° D．65°
2．（2023 凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
3．（2023 新昌县模拟）如图所示，AB＝BD，BC＝BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件（　　）
A．∠A＝∠D B．∠C＝∠E C．∠D＝∠E D．∠ABD＝∠CBE
4．（2022 龙泉市一模）如图，在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A，B，E在同一条直线上，添加下列条件，不能使△ABD≌△ABC的是（　　）
A．∠DBA＝∠CBA B．∠D＝∠C C．DA＝CA D．DB＝CB
5．（2023 绍兴模拟）已知△ABC 的三边长分别为6，8，10，过△ABC的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成△DEF，若△ABC与△DEF不全等，则这条剪痕的长可能为（　　）
A．4.8 B．6 C． D．8
6．（2023 南明区校级模拟）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
7．（2023 北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c；
②a+b＞；
③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（2023 平阳县一模）如图，以正方形ABCD的两边BC和AD为斜边向外作两个全等的直角三角形BCE和DAF，过点C作CG⊥AF于点G，交AD于点H，过点B作BI⊥CG于点I，过点D作DK⊥BE，交EB延长线于点K，交CG于点L．若S四边形ABIG＝2S△BCE，GH＝1，则DK的长为（　　）
A．6 B． C．7 D．
9．（2023 岳麓区一模）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝2，则AE的长是 　　．
10．（2022 武侯区模拟）如图，已知△ABC≌△BAD，∠C＝30°，∠DBA＝100°，则∠BAD的度数为 　　．
11．（2022 湖北）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件 　　，使△ABC≌△DEF．
12．（2021 宁波模拟）在△ABC和△A1B1C1中，已知AC＝A1C1＝2，BC＝4，B1C1＝3，∠C＝120°，∠C1＝60°，点D，D1分别在边AB，A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是　　．
13．（2023 温州模拟）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD的延长线于点F．且BC＝CD＝10，AB＝21，AD＝9．则AC的长为 　　．
14．（2023 云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．
15．（2022 乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．
16．（2023 婺城区模拟）如图，已知点D在射线AE上BD＝CD，AE平分∠BAC与∠BDC，求证AB＝AC．小明的证明过程如下：
证明：∵AE平分∠BAC． ∴∠BAD＝∠CAD． ∵AD＝AD，BD＝CD． ∴△ABD≌△ACD ∴AB＝AC．
小明的证明是否正确？若正确，请打“√”，若错误，请写出你的证明过程．
17．（2023 南岗区三模）已知：AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，且BD＝CE．
（1）如图1，求证：∠B＝∠C；
（2）如图2，BE交CD于点F，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的三角形．
18．（2023 杭州一模）如图，在△ABC中，AC＞AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF＝AC，连接EF．
（1）求证：△AEC≌△AEF．
（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度数．
19．（2023 温州二模）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）若∠BCE﹣∠ABC＝15°，求∠ABD的度数．
20．（2023 龙港市一模）如图，△ABC是等边三角形，D是边AB上一点，以CD为边作E等边△CDE，DE交AC于点F，连接AE，
（1）求证：△BCD≌△ACE．
（2）若BC＝6，AE＝2，求CD的长．
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第四章 三角形与四边形
第三节 全等三角形
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考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 全等三角形的性质 ☆☆☆ 在中考中，全等三角形主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主．常结合四边形综合考查．
考点2 全等三角形的判定 ☆☆☆
考点3全等三角形的综合问题 ☆☆
1.全等三角形的相关概念
全等图形：能够完全重合的两个图形
全等三角形：能够完全重合的两个三角形
两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.
2.全等三角形的判定：
一般三角形 直角三角形
判定 (1)边角边(SAS) (2)角边角(ASA) (3)角角边(AAS) (4)边边边(SSS) (1)两直角边对应相等 (2)一直角边、一锐角对应相等 (3)斜边、直角边对应相等(HL)
备注 判定两个三角形全等，至少要有一组对应边相等
判定思路 已知两边 找夹角→SAS
找直角→HL(或SAS)
找第三边→SSS
已知一边一角 边为角的对边→找任一角→AAS
边为角的邻边 找夹角的另一边→SAS
找边的另一邻角→ASA
找边的对角→AAS
已知两角 找夹边→ASA
找任一角的对边→AAS
3.全等三角形的性质：
性质 对应边相等、对应角相等
对应角平分线相等、对应中线相等、对应高相等
全等三角形的周长相等、面积相等
■考点一　全等三角形的性质
◇典例1：（2022 江北区模拟）已知△ABC与△DEF全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AC上，B、F、C、D四点共线，如图所示．若∠A＝40°，∠CED＝35°，则下列叙述何者正确？（　　）
A．EF＝EC，AE＝FC B．EF＝EC，AE≠FC
C．EF≠EC，AE＝FC D．EF≠EC，AE≠FC
【考点】全等三角形的性质；三角形三边关系．
【答案】B
【点拨】由△ABC与△DEF全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，可得∠A＝∠D＝40°，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，可得EF＝EC；∠CED＝35°，∠D＝40°可得∠D＞∠CED，由大角对大边可得CE＞CD；利用AC＝DF，可得AC﹣CE＜DF﹣CD，即AE＜FC，由上可得正确选项．
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D＝40°，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，
∵∠ACB＝∠DFE，
∴EF＝EC．
∵∠CED＝35°，∠D＝40°，
∴∠D＞∠CED．
∴CE＞CD．
∵AC＝DF，
∴AC﹣CE＜DF﹣CD，即AE＜FC．
∴AE≠FC．
∴EF＝EC，AE≠FC．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022 金华模拟）如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）
A．58° B．72° C．50° D．60°
【考点】全等三角形的性质．
【答案】C
【点拨】根据全等三角形对应角相等解答即可．
【解析】解：∵两个三角形全等，
∴α＝180°﹣58°﹣72°＝50°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键．
2．（2023 成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　3　．
【考点】全等三角形的性质．
【答案】3．
【点拨】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝8，计算即可．
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝5，
∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
■考点二 全等三角形的判定
◇典例2：（2023 衢州模拟）如图，已知∠B＝∠D，请再添上一个条件 　∠BCA＝∠DCA（答案不唯一）　，使△ABC≌△ADC（写出一个即可）．
【考点】全等三角形的判定．
【答案】∠BCA＝∠DCA（答案不唯一）．
【点拨】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解析】解：添加的条件是∠BCA＝∠DCA，
理由是：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
故答案为：∠BCA＝∠DCA（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
◆变式训练
1．（2023 江山市模拟）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．BC＝EF B．AE＝DB C．BC∥EF D．∠C＝∠F
【考点】全等三角形的判定．
【答案】A
【点拨】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解析】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
A、添加BC＝EF，不能判定△ABC≌△DEF，故A符合题意；
B、由AE＝BD，得的AB＝DE，又∠A＝∠D，AC＝DF，由SAS判定△ABC≌△DEF，故B不符合题意；
C、由BC∥EF，得到∠ABC＝∠DEF，又∠A＝∠D，AC＝DF，由AAS判定△ABC≌△DEF，故C不符合题意；
D、∠C＝∠F，又∠A＝∠D，AC＝DF，由ASA判定△ABC≌△DEF，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
2．（2023 丽水模拟）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACE，则这个条件可以是 　BD＝CE（答案不唯一）　．（写一个即可）
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
【答案】BD＝CE（答案不唯一）．
【点拨】由题意可得∠ABC＝∠ACE，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACE全等．
【解析】解：添加BD＝CE，则△ABD≌△ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故答案为：BD＝CE（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
3．（2022 益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．
【考点】全等三角形的判定．
【答案】见试题解答内容
【点拨】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论．
【解析】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（ASA）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．
■考点三 全等三角形综合
◇典例3：（2023 安吉县模拟）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．
【答案】C
【点拨】①证明△BAD≌△CAE，再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF＝∠ACF，再由∠ABF+∠BGA＝90°、∠BGA＝∠CGF证得∠BFC＝90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE，根据全等三角形面积相等和BD＝CE，证得AM＝AN，即AF平分∠BFE，即可判定；④由AF平分∠BFE结合BF⊥CF即可判定．
【解析】解：∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．
故①正确；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABF＝∠ACF，
∵∠ABF+∠BGA＝90°、∠BGA＝∠CGF，
∴∠ACF+∠BGA＝90°，
∴∠BFC＝90°，
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD＝S△CAE，
∴，
∵BD＝CE，
∴AM＝AN，
∴AF平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；
∵AF平分∠BFE，BF⊥CF，
∴∠AFE＝45°，
故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
◆变式训练
1．（2023 东阳市三模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC＝1，连接DE，若F为AD的中点，则DE＝　　．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形；三角形的面积．
【答案】．
【点拨】证明Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），由全等三角形的性质得出∠DBF＝∠DAC，证出∠BEC＝90°，过点D作DM⊥BE于点M，作DN⊥AC于点N，由全等三角形的性质得出S△BDF＝S△ADC，BF＝AC，得出DM＝DN，由角平分线的性质∠BED＝∠CED＝45°，再根据S△ADC＝AD DC＝AC DN，求出DN的长，最后利用等腰直角三角形的性质得出结论．
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵BF＝AC，DF＝DC，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴∠DBF＝∠DAC，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DBF+∠C＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC，
如图，过点D作DM⊥BE于点M，作DN⊥AC于点N，
∵△BDF≌△ADC，
∴S△BDF＝S△ADC，BF＝AC，
∵DM⊥BE，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∴ED平分∠BEC；
∴∠BED＝∠CED＝45°，
∴DE＝DN，
∵DF＝DC＝1，F为AD的中点，
∴AD＝2DF＝2，
∴AC＝＝，
∵S△ADC＝AD DC＝AC DN，
∴2×1＝DN，
∴DN＝，
∴DE＝DN＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．综合性强，有一定难度．
2．（2021 台州）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；解直角三角形．
【答案】（1）详见证明过程；
（2）60°．
【点拨】（1）根据已知条件利于SSS即可求证△ABC≌△ADC；
（2）过点B作BE⊥AC于点E，根据已知条件利于锐角三角函数求出BE的长，再根据Rt△ABE边的关系即可推出∠BAC的度数，从而求出∠BAD的度数．
【解析】解：（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）过点B作BE⊥AC于点E，如图所示，
∵∠BCA＝45°，BC＝10，
∴sin∠BCA＝sin45°＝＝＝，
∴BE＝10，
又∵在Rt△ABE中，AB＝20，BE＝10，
∴∠BAE＝30°，
又∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAD＝∠BAE+∠DAC＝2∠BAE＝2×30°＝60°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及能结合三角函数进行正确计算是解题的关键．
1．（2022 金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【考点】全等三角形的判定．
【答案】B
【点拨】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依据．
【解析】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，写出△AOB和△DOC全等的证明过程．
2．（2021 吴兴区一模）已知：如图，点D，E分别在AC，AB上，AB＝AC，添加一个条件，不能判定△ABD≌△ACE的是（　　）
A．BD＝CE B．AD＝AE C．∠B＝∠C D．∠ADB＝∠AEC
【考点】全等三角形的判定．
【答案】A
【点拨】根据全等三角形的判定定理逐项进行判断即可得到结论．
【解析】解：已知条件中AB＝AC，∠A为公共角，
A．若添加BD＝CE，已知两边及一边所对的角，则不能证明△ABD≌△ACE，故A选项合题意．；
B．若添加AD＝AE，可利用SAS定理可证明△ABD≌△ACE，故B选项不合题意；
C．若添加∠B＝∠C，可利用ASA定理可证明△ABD≌△ACE，故C选项不合题意；
D．若添加∠ADB＝∠AEC，可利用AAS定理可证明△ABD≌△ACE，故D选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
3．（2021 婺城区模拟）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（　　）
A．90° B．120° C．135° D．180°
【考点】全等三角形的性质．
【答案】D
【点拨】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．
【解析】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
4．（2021 丽水模拟）下列判断中错误的是（　　）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
【考点】全等三角形的判定．
【答案】B
【点拨】根据全等三角形的判定定理（AAS、ASA、SSS等）进行判断．
【解析】解：A、当两个三角形中两角及一边对应相等时，其中如果边是这两角的夹边时，可用ASA来判定两个三角形全等，如果边是其中一角的对边时，则可用AAS来判定这两个三角形全等，故此选项正确；
B、当两个三角形中两条边及一角对应相等时，其中如果这组角是两边的夹角时两三角形全等，如果不是这两边的夹角的时候不一定全等，故此选项错误；
C、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形，符合“ASA”判定方法，所以，两个三角形必定全等．故本选项正确；
D、利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
5．（2023 金东区二模）如图，点B，E，C，F共线，AB∥DE，∠A＝∠D，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB＝DE B．∠ACB＝∠F C．BE＝CF D．AC＝DF
【考点】全等三角形的判定．
【答案】B
【点拨】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解析】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF．
A、由∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，AB＝DE可以判定△ABC≌△DEF（ASA），不符合题意；
B、由∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，∠ACB＝∠F不可以判定△ABC≌△DEF（AAA），符合题意；
C、由∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，BE＝CF可以判定△ABC≌△DEF（AAS），不符合题意；
D、由∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF可以判定△ABC≌△DEF（AAS），不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
6．（2022 新昌县模拟）如图是沙漏示意图（数据如图），上下两部分为全等三角形，将上半部分填满沙子后，在沙子下落至如图位置时，AB的长为多少？（正在下落的沙子忽略不计）（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【考点】全等三角形的性质．
【答案】D
【点拨】如图，OE⊥CD于E，交AB于F，利用全等三角形的性质得到OF＝5cm，OE＝cm，然后根据平行线分线段成比例定理得到＝，则解方程可得AB的长．
【解析】解：如图，OE⊥CD于E，交AB于F，
∵上下两部分为全等三角形，
∴OF＝5cm，OE＝cm，
∵AB∥CD，
∴＝，即＝，
∴AB＝4cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了相似三角形的判定与性质．
7．（2023 北仑区二模）如图，点D、E是△ABC边BC上的三等分点，且AD⊥BC，F为AD的中点，连接BF、EF，若BF＝3，则AC的长为（　　）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．9
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【答案】B
【点拨】先证明△BDF≌△EDF（SAS），根据全等三角形的性质可得BF＝EF，再证明EF为△ACD的中位线，根据三角形中位线定理可得EF＝AC，即可求出AC的长．
【解析】解：∵点D、E是△ABC边BC上的三等分点，
∴BD＝DE＝EC，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝∠EDF＝90°，
在△BDF和△EDF中，
，
∴△BDF≌△EDF（SAS），
∴BF＝EF，
∵BF＝3，
∴EF＝3，
∵F为AD的中点，E为CD的中点，
∴EF为△ACD的中位线，
∴EF＝AC，
∴AC＝2EF＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
8．（2021 温州模拟）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB＝90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ＝，则该“风车”的面积为（　　）
A．+1 B．2 C．4﹣ D．4
【考点】全等三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．
【答案】B
【点拨】“风车”的面积为△ABO面积的4倍，求出△AOB的面积即可．
【解析】解：连接BH．
由题意，四边形IJKL是正方形．
∵IJ＝，
∴正方形IJKL的面积＝2，
∴四边形IBOH的面积＝×2＝，
∵HI垂直平分AB，
∴HA＝HB，
∵OH＝OB，∠BOH＝90°，
∴HA＝BH＝OH，
∴S△ABH：S△BOH＝，
∵S△AIH＝S△IBH，
∴S△IBH：S△BOH＝：2，
∴S△AHI＝S△IBH＝×S四边形IBOH＝×＝，
∴S△AOB＝S△AIH+S四边形IBOH＝+＝，
∴“风车”的面积＝4S△AOB＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理等知识点，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
9．（2023 宁波模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（　　）
①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC，③若AB＝2AE，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC；⑤S△AEF：S△FDC＝AF：FC．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】C
【点拨】①根据三角形内角和定理可得∠ACB+∠CAB＝120°，然后根据AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，可得∠FCA＝，∠FAC＝CAB，再根据三角形内角和定理即可进行判断；
②当AD是△ABC的中线时，S△ABD＝S△ADC，进而可以进行判断；
③延长CE至G，使GE＝CE，连接BG，根据AB＝2AE，证明△ACE≌△BGE（SAS），得∠ACE＝∠G，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；
④作∠AFC的平分线交AC于点G，可得∠AFG＝∠CFG＝∠AFE＝60°，证明△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），可得AE＝AG，CD＝CG，进而可以判断；
⑤过G作GM⊥FC，GH⊥AF于点G，H，由④知，FG为∠AFC的角平分线，可得GH＝GM，所以可得S△AGF：S△FGC＝AF：FC，根据△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，进而可以进行判断．
【解析】解：①在△ABC中，∠ABC＝60°，
∴∠ACB+∠CAB＝120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠FCA＝，∠FAC＝CAB，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FCA+∠FAC）＝180°﹣（∠ACB+∠CAB）＝120°，故①正确；
②当AD是△ABC的中线时，S△ABD＝S△ADC，
而AD平分∠BAC，故②错误；
③如图，延长CE至G，使GE＝CE，连接BG，
∵AB＝2AE，
∴AE＝BE，
∵∠AEC＝∠BEG，
∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE＝∠G，CE＝GE，
∵CE为角平分线，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠G，
∴BC＝BG，
∵CE＝GE，
∴BE⊥CE，故③正确；
④如图，作∠AFC的平分线交AC于点G，
由①得∠AFC＝120°，
∴∠AFG＝∠CFG＝60°，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∵∠EAF＝∠GAF，∠DCF＝∠GCF，
∴△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），
∴AE＝AG，CD＝CG，
∴CD+AE＝CG+AG＝AC，故④正确；
⑤过G作GM⊥FC，GH⊥AF于点G，H，
由④知，FG为∠AFC的角平分线，
∴GH＝GM，
∴S△AGF：S△FGC＝AF：FC，
∵△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，
∴S△AEF：S△FDC＝AF：FC，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是关键，有难度．
10．（2023 天台县一模）如图，△ADE≌△ABC，点D在边AC上，延长ED交边BC于点F，若∠EAC＝35°，则∠BFD＝　145°　．
【考点】全等三角形的性质．
【答案】145°．
【点拨】依据题意，由△ADE≌△ABC可得∠E＝∠C，然后利用“八字形可得∠EAC＝∠CFD＝35°，进而可得∠BFD＝180°﹣∠CFD，故可得解．
【解析】解：∵△ADE≌△ABC，
∴∠E＝∠C．
又∠EAC＝180°﹣∠E﹣∠EDA，∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF，且∠EDA＝∠CDF，
∴∠EAC＝∠CFD＝35°．
∴∠BFD＝180°﹣∠CFD＝145°．
故答案为：145°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理的应用，解题时要分析题意找出要求角与已知条件间的关系．
11．（2021 衢州四模）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，BC∥EF，AC＝FD，请你添加一个条件　BC＝EF或∠B＝∠E或∠A＝∠D（答案不唯一）　，使得△ABC≌△DEF．
【考点】全等三角形的判定．
【答案】BC＝EF或∠B＝∠E或∠A＝∠D（答案不唯一）．
【点拨】由全等三角形的判定定理可求解．
【解析】解：∵BC∥EF，
∴∠BCA＝∠EFD，
若添加BC＝EF，且AC＝FD，由“SAS”可证△ABC≌△DEF；
若添加∠B＝∠E，且AC＝FD，由“AAS”可证△ABC≌△DEF；
若添加∠A＝∠D，且AC＝FD，由“ASA”可证△ABC≌△DEF；
故答案为：BC＝EF或∠B＝∠E或∠A＝∠D（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
12．（2022 诸暨市模拟）已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝120°，在同一平面内，若△ABP≌△BAC，则PC的长为 　4或　．
【考点】全等三角形的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【答案】4或．
【点拨】根据题意，分两种情况：①根据全等三角形的性质可得PB＝2，∠PBC＝90°，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得BC的长，再在Rt△PBC中根据勾股定理即可求出PC的长；②根据全等三角形的性质可得BP＝AC＝2，∠PBA＝∠CAB＝120°，过点P作PH⊥BC，交CB的延长线于点H，可得∠PBH＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PH，进一步求出CH，再在Rt△PCH中根据勾股定理即可求出PC的长．
【解析】解：根据题意，分两种情况：
①如图所示：
∵AB＝AC＝2，∠A＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵△ABP≌△BAC，
∴BP＝AC＝2，∠PBA＝∠CAB＝120°，
∴∠PBC＝120°﹣30°＝90°，
过点A作AM⊥BC于点M，
则AM＝AB＝1，
根据勾股定理，得BM＝，
∴BC＝2BM＝2，
在Rt△PBC中，根据勾股定理，得PC＝＝4；
②如图所示：
∵△ABP≌△BAC，
∴BP＝AC＝2，∠PBA＝∠CAB＝120°，
过点P作PH⊥BC，交CB的延长线于点H，
则∠PBH＝30°，
∴PH＝PB＝1，
根据勾股定理，得BH＝，
∵BC＝2，
∴CH＝3，
在Rt△PHC中，根据勾股定理，得PC＝＝，
综上，PC的长为4或，
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，涉及等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意分情况讨论．
13．（2021 绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为 　2±2或4或2　．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【答案】2±2或4或2．
【点拨】分C，D在AB的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形．
【解析】解：如图，当C，D同侧时，过点A作AE⊥CD于E．
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝4，∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝2，
∵AD＝AC＝2，
∴DE＝＝2，EC＝＝2，
∴DE＝EC＝AE，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD＝4，
当C，D异侧时，过C′作C′H⊥CD于H，
∵△BCC′是等边三角形，BC＝BE﹣EC＝2﹣2，
∴CH＝BH＝﹣1，C′H＝CH＝3﹣，
在Rt△DC′H中，DC′＝＝＝2，
∵△DBD′是等边三角形，
∴DD′＝2+2，
∴CD的长为2±2或4或2．
故答案为：2±2或4或2．
【点睛】本题考查直角三角形30°角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．（2021 定海区模拟）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．求证：△ABC≌△CDA．小华证明过程如下框：
证明：∵AD∥BC，∴∠2＝∠4， 又∵AB∥CD，∴∠1＝∠3， 又∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA
小华的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．
【考点】全等三角形的判定．
【答案】不正确．
【点拨】根据平行线的性质，由AD∥BC得到∠1＝∠3，由AB//CD得到∠2＝∠4，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△CDA．
【解析】解：小华的证法不正确．
证明：∵AD//BC，
∴∠1＝∠3，
又∵AB//CD，
∴∠2＝∠4，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
15．（2022 衢州）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】证明见解答过程．
【点拨】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．
【解析】证明：∵∠3＝∠4，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（ASA），
∴AB＝AD．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ACB≌△ACD是解题的关键．
16．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
【考点】全等三角形的判定．
【答案】（1）选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④；
（2）证明见解析过程．
【点拨】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可．
（2）根据（1）中所选条件，进行证明即可．
【解析】解：（1）由题知，
选择的三个条件是：①②③；
或者选择的三个条件是：①③④．
证明：（2）当选择①②③时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
当选择①③④时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．（2021 杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若 　①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）　，求证：BE＝CD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【点拨】若选择条件①，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；
选择条件②，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；
选择条件③，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，再证明∠ABE＝∠ACD，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD．
【解析】证明：选择条件①的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD；
选择条件②的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD；
选择条件③的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵FB＝FC，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，
即∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD．
故答案为①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰三角形的性质．
18．（2023 越城区三模）如图，C是AB上一点，点D、E分别位于AB的异侧，AD∥BE，且AD＝BC，AC＝BE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）当AC＝2时，求BF的长；
（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE为钝角三角形，请直接写出α的取值范围．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】（1）见解析；
（2）2；
（3）40°＜α＜130°．
【点拨】（1）由平行线的性质，结合条件可证明△ADC≌△BCE，可证明CD＝CE；
（2）由（1）中的三角形全等可得∠CDE＝∠CED，∠ACD＝∠BEC，可证明∠BFE＝∠BEF，可证明△BEF为等腰三角形；
（3）由△CDE是钝角三角形，可得0°＜∠CDE＜45°，再利用三角形的内角和可得α的范围．
【解析】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE；
（2）解：由（1）可知CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
由（1）可知△ADC≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BEC，
∴∠CDE+∠ACD＝∠CED+∠BEC，
即∠BFE＝∠BED，
∴BE＝BF，
即BF＝BE＝AC＝2；
（3）解：∵△CDE是钝角三角形，∠CDE＝∠CED，
∴0°＜∠CDE＜45°，
∵AD∥BE，
∴∠ADE＝∠BED，
即∠ADE＝∠AFD，
∴∠ADE＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵∠AFD＝∠CDE+25°，
∴α+∠ADF+∠CDE+25°＝180°，
即∠CDE＝65°﹣α，
∴0°＜65°﹣＜45°，
解得：40°＜α＜130°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
1．（2021 哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）
A．30° B．25° C．35° D．65°
【考点】全等三角形的性质．
【答案】B
【点拨】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
2．（2023 凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
【考点】全等三角形的判定．
【答案】D
【点拨】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解析】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
3．（2023 新昌县模拟）如图所示，AB＝BD，BC＝BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件（　　）
A．∠A＝∠D B．∠C＝∠E C．∠D＝∠E D．∠ABD＝∠CBE
【考点】全等三角形的判定．
【答案】D
【点拨】根据已知条件是两个三角形的两组对应边，所以需要添加的条件必须能得到这两边的夹角相等，整理得到角的可能情况，然后选择答案即可．
【解析】解：∵AB＝BD，BC＝BE，
∴要使△ABE≌△DBC，需添加的条件为∠ABE＝∠DBC，
又∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE，
即∠ABD＝∠CBE，
∴可添加的条件为∠ABE＝∠DBC或∠ABD＝∠CBE．
综合各选项，D选项符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，根据两边确定出需添加的条件必须是这两边的夹角是解题的关键．
4．（2022 龙泉市一模）如图，在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A，B，E在同一条直线上，添加下列条件，不能使△ABD≌△ABC的是（　　）
A．∠DBA＝∠CBA B．∠D＝∠C C．DA＝CA D．DB＝CB
【考点】全等三角形的判定．
【答案】D
【点拨】由于∠DAB＝∠CAB，AB为公共边，则可根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【解析】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加∠DBA＝∠CBA时，则△ABD≌△ABC（ASA），所以A选项不符合题意；
当添加∠D＝∠C时，则△ABD≌△ABC（AAS），所以B选项不符合题意；
当添加DA＝CA时，△ABD≌△ABC（SAS），所以C选项不符合题意；
当添加DB＝CB时，不能判断△ABD≌△ABC，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
5．（2023 绍兴模拟）已知△ABC 的三边长分别为6，8，10，过△ABC的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成△DEF，若△ABC与△DEF不全等，则这条剪痕的长可能为（　　）
A．4.8 B．6 C． D．8
【考点】全等三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【答案】C
【点拨】首先根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再根据剪成的两个小三角形能够拼成△DEF，可知剪痕只能是三角形的中线，由于△ABC与△DEF不全等，所以剪痕不能是斜边的中线，然后分两种情况讨论即可．
【解析】解：如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°．
∵过△ABC的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成△DEF，△ABC与△DEF不全等，
∴这条剪痕可能是AB或BC边的中线．
如果这条剪痕是AB边的中线CN，那么AN＝BN＝AB＝3，
∵∠B＝90°，BC＝8，
∴CN＝＝＝；
如果这条剪痕是BC边的中线AM，那么BM＝CM＝BC＝4，
∵∠B＝90°，AB＝6，
∴AM＝＝＝2；
∴这条剪痕的长可能为2．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的中线，图形的拼接，根据题意得出剪痕只能是三角形的中线是解题的关键．
6．（2023 南明区校级模拟）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．
【答案】D
【点拨】利用三角形全等的判定证明．
【解析】解：从角平分线的作法得出，
△AFD与△AED的三边全部相等，
则△AFD≌△AED．
故选：D．
【点睛】考查了全等三角形的判定，关键是根据三边对应相等的两个三角形全等（SSS）这一判定定理．
7．（2023 北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c；
②a+b＞；
③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】全等三角形的性质．
【答案】D
【点拨】①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；
②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；
③将c用a和b表示出来，再进行比较．
【解析】解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．
∵DF∥AC，AC⊥AE，
∴DF⊥AE．
又∵BG⊥FD，
∴BG∥AE，
∴四边形ABGF为矩形．
同理可得，四边形BCDG也为矩形．
∴FD＝FG+GD＝a+b．
∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．
故①正确．
②∵△EAB≌△BCD，
∴AE＝BC＝b，
∴在Rt△EAB中，BE＝＝．
∵AB+AE＞BE，
∴a+b＞．
故②正确．
③∵△EAB≌△BCD，
∴∠AEB＝∠CBD，
又∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EBD＝90°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE＝45°，
∴BE＝＝c sin45°＝c．
∴c＝．
∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），
∴＞，
∴＞c．
故③正确．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐心．
8．（2023 平阳县一模）如图，以正方形ABCD的两边BC和AD为斜边向外作两个全等的直角三角形BCE和DAF，过点C作CG⊥AF于点G，交AD于点H，过点B作BI⊥CG于点I，过点D作DK⊥BE，交EB延长线于点K，交CG于点L．若S四边形ABIG＝2S△BCE，GH＝1，则DK的长为（　　）
A．6 B． C．7 D．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；全等图形．
【答案】D
【点拨】作AM⊥BI于点M，先证△AMB≌△CEB≌AFD，推出△ABM 的面积是矩形AMIG面积的两倍，从而得出IM＝BM．因此设IM＝x，可得BM＝2x，CE＝∠K＝3x，从而得出FD＝3，从而得到2x＝3，求出x，即可求出DK．
【解析】解：过A作AM⊥BI于点M，交LK于点N，
∵AB＝BC．∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠MBC＝90°，
∵∠CBE+∠BCE＝90°，∠MBC＝∠BCE，
∴∠ABM＝∠CBE，
又∵∠AMB＝∠E＝90°，
∴△AMB≌△CEB≌△AFD（AAS），
∵S 四边形ABIG＝2S △BCE，
∴S 四边形ABIG＝2S △AMB，
∴S 矩形AMIG＝S △ABM，
∴AM I M＝2AM BM，
∴IM＝BM，
设IM＝x，则BM＝2x，
∴CE＝LK＝3x，
∴AF＝3x，
∵，
∴，
∴FD＝3，
∴BM＝FD＝3，
∴2x＝3，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定与性质．
9．（2023 岳麓区一模）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝2，则AE的长是 　1　．
【考点】全等三角形的性质．
【答案】1．
【点拨】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝1，CD＝2，
∴BC＝CE＝1，AC＝CD＝2，
∴CE＝CA﹣CE＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．
10．（2022 武侯区模拟）如图，已知△ABC≌△BAD，∠C＝30°，∠DBA＝100°，则∠BAD的度数为 　50°　．
【考点】全等三角形的性质．
【答案】50°．
【点拨】根据全等三角形的性质得出∠D＝∠C＝30°，再根据三角形内角和定理求出即可．
【解析】解：∵△ABC≌△BAD，∠C＝30°，
∴∠D＝∠C＝30°，
∵∠DBA＝100°，
∴∠BAD＝180°﹣∠D﹣∠DBA＝180°﹣30°﹣100°＝50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．
11．（2022 湖北）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件 　∠A＝∠D　，使△ABC≌△DEF．
【考点】全等三角形的判定．
【答案】∠A＝∠D．
【点拨】添加条件：∠A＝∠D，根据ASA即可证明△ABC≌△DEF．
【解析】解：添加条件：∠A＝∠D．
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠A＝∠D．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．（2021 宁波模拟）在△ABC和△A1B1C1中，已知AC＝A1C1＝2，BC＝4，B1C1＝3，∠C＝120°，∠C1＝60°，点D，D1分别在边AB，A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是　　．
【考点】全等三角形的性质．
【答案】．
【点拨】由题意可将△C1A1D1与△ACD重合，从而有BC∥B1C1，得出AD＝，只要求出AB的长，根据AC＝2，BC＝4，∠ACB＝120°解△ABC即可．
【解析】解：∵△ACD≌△C1A1D1，可以将△C1A1D1与△ACD重合，如图，
∵∠ACB＝120°，∠A1C1B1＝60°，
∴BC∥B1C1，
∴＝，
作AH⊥BC，交BC延长线于H，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACH＝60°，
在Rt△ACH中，CH＝1，AH＝2×sin60°＝，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，以及三角形相似的判定与性质、勾股定理等知识，将△C1A1D1与△ACD重合，条件集中是解决问题的关键．
13．（2023 温州模拟）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD的延长线于点F．且BC＝CD＝10，AB＝21，AD＝9．则AC的长为 　17　．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【答案】17．
【点拨】根据垂直定义可得∠F＝∠CEA＝∠CEB＝90°，再利用角平分线的性质可得CF＝CE，从而利用HL证明Rt△CFD≌Rt△CEB，然后利用全等三角形的性质可得DF＝BE，从而利用HL证明Rt△AFC≌Rt△AEC，进而可得AF＝AE，再根据线段的和差关系可求出DF＝BE＝6，从而在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE的长，最后在Rt△AEC中，利用勾股定理求出AC的长，即可解答．
【解析】解：∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠F＝∠CEA＝∠CEB＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
∵CD＝BC＝10，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL），
∴DF＝BE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF＝AE，
∴AD+DF＝AB﹣BE，
∴9+DF＝21﹣BE，
解得：DF＝BE＝6，
∴CE＝＝＝8，
在Rt△AEC中，AE＝AB﹣BE＝21﹣6＝15，
∴AC＝＝＝17，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2023 云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．
【考点】全等三角形的判定．
【答案】证明过程见解析．
【点拨】求出BC＝DC，根据全等三角形的判定定理证明即可．
【解析】证明：∵C是BD的中点，
∴BC＝DC，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SSS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
15．（2022 乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．
【考点】全等三角形的判定．
【答案】见解析．
【点拨】根据ASA判定定理直接判定两个三角形全等．
【解析】证明：∵点B为线段AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE．（ASA）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
16．（2023 婺城区模拟）如图，已知点D在射线AE上BD＝CD，AE平分∠BAC与∠BDC，求证AB＝AC．小明的证明过程如下：
证明：∵AE平分∠BAC． ∴∠BAD＝∠CAD． ∵AD＝AD，BD＝CD． ∴△ABD≌△ACD ∴AB＝AC．
小明的证明是否正确？若正确，请打“√”，若错误，请写出你的证明过程．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】小明的证明不正确；正确的证明见解析．
【点拨】由平分，证明∠BDE＝∠CDE，再由邻补角，推出∠BDA＝∠CDA，根据SAS可证明△BDA≌△CDA，即可证明AB＝AC．
【解析】解：小明利用的是SSA，是不能证明△ABD与△ACD全等，故小明的证明不正确；
正确的证明如下，
∵AE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE，
∴∠BDA＝∠CDA，
∵AD＝AD，BD＝CD，
∴△BDA≌△CDA（SAS），
∴AB＝AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
17．（2023 南岗区三模）已知：AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，且BD＝CE．
（1）如图1，求证：∠B＝∠C；
（2）如图2，BE交CD于点F，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的三角形．
【考点】全等三角形的判定．
【答案】（1）见解答过程；
（2）△ABE≌△ACD，△ABF≌△ACF，△ADF≌△AEF，△BDF≌△CEF．
【点拨】（1）由已知条件可求得AD＝AE，利用SAS可判定△ABE≌△ACD，即有∠B＝∠C；
（2）根据条件写出相应的全等的三角形即可．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CE，
∴AB﹣BD＝AC﹣CE，
即AD＝AE，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C；
（2）解：由（1）得△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，∠B＝∠C，
在△BDF与△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BF＝CF，
在△ABF与△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SSS），
∵BE﹣BF＝CD﹣CF，
即EF＝DF，
在△ADF与△AEF中，
，
∴△ADF≌△AEF（SSS）．
综上所述：全等三角形有：△ABE≌△ACD，△ABF≌△ACF，△ADF≌△AEF，△BDF≌△CEF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角与各边的关系．
18．（2023 杭州一模）如图，在△ABC中，AC＞AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF＝AC，连接EF．
（1）求证：△AEC≌△AEF．
（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】（1）证明见解析；
（2）80°．
【点拨】（1）由射线AD平分∠BAC，可得∠CAE＝∠FAE，进而可证△AEC≌△AEF（SAS）；
（2）由△AEC≌△AEF（SAS），可得∠C＝∠F，由三角形外角的性质可得∠AEB＝∠CAE+∠C＝50°，则∠FAE+∠F＝50°，根据∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF＝180°，计算求解即可．
【解析】（1）证明：射线AD平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠FAE，
在△AEC和△AEF中，
，
∴△AEC≌△AEF（SAS）；
（2）解：∵△AEC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠F，
∵∠AEB＝∠CAE+∠C＝50°，
∴∠FAE+∠F＝50°，
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝80°，
∴∠BEF为80°．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
19．（2023 温州二模）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）若∠BCE﹣∠ABC＝15°，求∠ABD的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】（1）见解析；
（2）15°．
【点拨】（1）由已知条件可求得∠BAD＝∠CAE，利用SAS即可判定△ABD≌△ACE；
（2）由题意可得∠ABC＝∠ACB，从而可求得∠ACE＝15°，结合（1）即可求得∠ABD的度数．
【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠BCE﹣∠ABC＝15°，
∴∠BCE﹣∠ACB＝15°，
即∠ACE＝15°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝15°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是结合图形求得∠BAD＝∠CAE．
20．（2023 龙港市一模）如图，△ABC是等边三角形，D是边AB上一点，以CD为边作E等边△CDE，DE交AC于点F，连接AE，
（1）求证：△BCD≌△ACE．
（2）若BC＝6，AE＝2，求CD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【点拨】（1）直接利用SAS证明△BCD≌△ACE即可；
（2）如图，作DG⊥BC于点G，利用全等三角形的性质得到BD＝AE＝2，再由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出BG＝1，，进而得到CG＝5，则由勾股定理可得．
【解析】（1）证明：∵△ABC与△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）解：如图，作DG⊥BC于点G，
∵△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE＝2．
∵∠B＝60°，
∴BG＝1，，
∴CG＝BC﹣BG＝6﹣1＝5，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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