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第二章 方程（组）与不等式（组）
第六节 分式及分式方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 分式的相关概念及性质 ☆ 从往年的广东中考命题来看，分式及分式方程相关知识占有一定的比例，这部分知识对于考生来说经常是一个难点，是考生比较头疼且极易出错丢分的题（例如忘记解分式方程的验根步骤，解方程的去分母，去括号等），常考查分式的化简求值和分式方程的应用题，考查的题型较多以解答题的形式进行，属于中等偏上难度题，复习过程中把握好每个基础知识点，多加注意易错点，方程应用类问题理清数量关系，多进行强化训练。
考点2 分式的运算及化简求值 ☆☆☆
考点3 解分式方程 ☆☆☆
考点4 分式方程的应用 ☆☆☆
考点1 分式的相关概念及性质
1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做________，B叫做________．
三个条件缺一不可：①是形如的式子；②A，B为________；③分母B中含有________．
特别说明：也可以表示为(a-1)÷(a+1)，但(a-1)÷(a+1)不是分式，因为它不符合的形式．
判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，就是分式．
2．有意义的条件：
分母B的值不为________ (B≠0) .
3.分式的值为零的条件：
当分子为________，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)
4．分式的基本性质：， (M为不等于零的整式)．
考点2 分式的运算及化简求值
1．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
2．最简分式：分子与分母没有________的分式叫做最简分式．
3．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式________的同分母的分式，叫做分式的通分．
4. 最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的________．
5. 变号法则： ．
6．分式的乘除法：
（1）乘法法则：
（2）除法法则：÷＝·＝.(bcd≠0)
7．分式的加减法：
（1）同分母分式相加减： (c≠0) （2）异分母分式相加减：±＝.(bd≠0)
8. 分式的乘方：. (n为整数，b≠0)
9.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算________，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行________运算，如果有括号，先算________里面的．
①实数的各种运算律也适用于分式的运算；②分式运算的结果要化成最简分式或整式．
10.分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解________．化简求值时，一要注意________思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
考点3 解分式方程
1．分式方程：________里含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．解分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后________，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
③检验：将整式方程的解代入________，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
3．分式方程的特殊解法——换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法．
考点4 分式方程的应用
1．分式方程实际应用的基本思路：
2．方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求（双检验）；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
考点1：分式的相关概念及性质
◇例题
1．（2023 惠城区校级三模）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023 顺德区一模）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3或﹣3 D．3
3．（2021 阳西县模拟）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
4．（2023 高要区一模）若使分式有意义的取值范围是 　 　．
◆变式训练
1．（2021 罗湖区校级模拟）下列各式：，，x2，，+1，中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023 越秀区校级二模）若分式的值为0，则x等于（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
3．（2023 高州市一模）下列等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 东莞市校级一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
考点2：分式的运算及化简求值
◇例题
1．（2021 海珠区校级模拟）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022 福田区二模）化简的结果是（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C． D．
3．（2013 潮阳区模拟）计算：＝　 　．
4．（2023 香洲区校级一模）化简：，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
◆变式训练
1．（2021 广州模拟）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020 佛山校级模拟）化简÷是（　　）
A．m B．﹣m C． D．﹣
3．（2022 澄海区模拟）计算＝　 　．
4．（2023 东莞市一模）先化简：（1+）÷，再从﹣1，0，1，中选择一个合适的数代入求值．
考点3：解分式方程
◇例题
1．（2023 连平县二模）分式方程的解为（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣
2．（2022 东莞市校级一模）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为 　．
3．（2023 龙川县一模）解分式方程：．
◆变式训练
1．（2023 天河区一模）分式方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2
2．（2021 荔湾区校级三模）若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8
3．（2023 越秀区校级二模）解方程：．
考点4：分式方程的应用
◇例题
1．（2023 龙岗区校级一模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023 南海区一模）甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，那么，甲、乙二人合做1小时共做了（　　）零件．
A．12个 B．18个 C．24个 D．30个
3．（2023 梅州一模）小明家离学校3000米，一天早上，小明前半程按平常速度走路，后半程因怕迟到，加快了脚步，比平常速度快了50（米/分钟），结果比平时省了2分钟时间到学校，设小明平常走路速度为x（米/分钟），根据题意可列出方程：　　．
4．（2023 增城区一模）某镇准备对一条长3200米道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20%，共用28天完成了全部任务．
（1）问原计划每天绿化道路多少米？
（2）已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40%，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？
◆变式训练
1．（2023 江门校级三模）某修路队计划x天内铺设铁路120km，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023 罗定市二模）已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组单独工作半天后，乙组加入，两组合作2天后，甲组又单独工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的天数比甲组（　　）
A．少6天 B．少8天 C．多3天 D．多6天
3．（2021 越秀区一模）为绿化环境某市计划植树3000棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前5天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为　 　．
4．（2023 东莞市三模）为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．工大附中准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍．
（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
（2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
1．（2023 广东）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 广州）方程＝的解为（　　）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6
3．（2023 广州）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km/h，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023 深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
5．（2022 广州）分式方程＝的解是 　 　．
6．（2021 广东）若x+＝且0＜x＜1，则x2﹣＝　　．
7．（2022 广东）先化简，再求值：a+，其中a＝5．
8．（2023 深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．
9．（2022 深圳）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝4．
10．（2023 广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．
（1）因式分解A；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
11．（2023 广东）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．
12．（2020 广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
1．（2023 三水区校级一模）若分式的值等于0，则a的值为（　　）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
2．（2023 吴川市一模）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣8 B．x＝﹣8 C．x≠0 D．x≠﹣8
3．（2023 霞山区一模）下列运算中正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．（2023 花都区一模）解分式方程1﹣＝，去分母后得到的方程正确的是（　　）
A．1﹣（2﹣x）＝﹣2x B．（2﹣x）+1＝2x
C．（x﹣2）﹣1＝2x D．（x﹣2）+1＝2x
5．（2023 广东模拟）分式方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1
6．（2023 河源一模）某市政工程队准备修建一条长1200m的污水处理管道．在修建完400m后，为了能赶在汛期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了25%，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x m，依题意列方程得（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021 梅江区一模）已知关于x的分式方程﹣＝1的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1
8．（2023 濠江区模拟）化简：＝ 　．
9．（2022 珠海一模）分式方程：的解是 　 　．
10．（2021 黄埔区一模）解分式方程：．
11．（2023 佛山模拟）解方程：．
12．（2023 东莞市一模）先化简，后求值：，从﹣1，0，1，2选一个合适的值，代入求值．
13．（2023 番禺区校级一模）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，县委县政府积极响应，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．
（1）求原计划每天铺设路面多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
14．（2023 金平区三模）五月初，某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这4000件物品，需筹集资金多少元？
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第二章 方程（组）与不等式（组）
第六节 分式及分式方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 分式的相关概念及性质 ☆ 从往年的广东中考命题来看，分式及分式方程相关知识占有一定的比例，这部分知识对于考生来说经常是一个难点，是考生比较头疼且极易出错丢分的题（例如忘记解分式方程的验根步骤，解方程的去分母，去括号等），常考查分式的化简求值和分式方程的应用题，考查的题型较多以解答题的形式进行，属于中等偏上难度题，复习过程中把握好每个基础知识点，多加注意易错点，方程应用类问题理清数量关系，多进行强化训练。
考点2 分式的运算及化简求值 ☆☆☆
考点3 解分式方程 ☆☆☆
考点4 分式方程的应用 ☆☆☆
考点1 分式的相关概念及性质
1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
三个条件缺一不可：①是形如的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母．
特别说明：也可以表示为(a-1)÷(a+1)，但(a-1)÷(a+1)不是分式，因为它不符合的形式．
判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，就是分式．
2．有意义的条件：
分母B的值不为零 (B≠0) .
3.分式的值为零的条件：
当分子为零，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)
4．分式的基本性质：， (M为不等于零的整式)．
考点2 分式的运算及化简求值
1．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．
3．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
4. 最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积．
5. 变号法则： ．
6．分式的乘除法：
（1）乘法法则：
（2）除法法则：÷＝·＝.(bcd≠0)
7．分式的加减法：
（1）同分母分式相加减： (c≠0)
（2）异分母分式相加减：±＝.(bd≠0)
8. 分式的乘方：. (n为整数，b≠0)
9.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的．
①实数的各种运算律也适用于分式的运算；②分式运算的结果要化成最简分式或整式．
10.分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
考点3 解分式方程
1．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．解分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
3．分式方程的特殊解法——换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法．
考点4 分式方程的应用
1．分式方程实际应用的基本思路：
2．方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求（双检验）；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
考点1：分式的相关概念及性质
◇例题
1．（2023 惠城区校级三模）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式判断即可．
【解答】解：分式有：，，，
整式有：x，，x2﹣，
分式有3个，
故选：B．
2．（2023 顺德区一模）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3或﹣3 D．3
【分析】根据分式的值为零，分子等于零列出方程，且分母不等于零．列出不等式，求解即可得到答案．
【解答】解：由题意，知x2﹣9＝0且x+3≠0．
解得x＝3．
故选：D．
3．（2021 阳西县模拟）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
【解答】解：＝＝，
所以如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值不变，
故选：A．
4．（2023 高要区一模）若使分式有意义的取值范围是 　 　．
【分析】直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x的取值范围是：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
◆变式训练
1．（2021 罗湖区校级模拟）下列各式：，，x2，，+1，中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式的定义即可求出答案．
【解答】解：，x2，+1是分式，
故选：C．
2．（2023 越秀区校级二模）若分式的值为0，则x等于（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：由题意，得
x2﹣9＝0且2x﹣6≠0，
解得x＝﹣3，
故选：A．
3．（2023 高州市一模）下列等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝＝，故A符合题意；
B、≠，故B不符合题意；
C、≠，故C不符合题意；
D、≠，故D不符合题意；
故选：A．
4．（2023 东莞市校级一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
【分析】根据分式的分母不能为零求解即可．
【解答】解：要使代数式有意义，只需x﹣2≠0，
∴x≠2，
则实数x的取值范围是x≠2，
故答案为：x≠2．
考点2：分式的运算及化简求值
◇例题
1．（2021 海珠区校级模拟）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、该分式的分子、分母不能约分，是最简分式，故本选项符合题意．
B、该分式的分子、分母中含有公因式（x+1），它不是最简分式，故本选项不符合题意．
C、该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣y），它不是最简分式，故本选项不符合题意．
D、该分式的分子、分母中含有公因式（x+4），它不是最简分式，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（2022 福田区二模）化简的结果是（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C． D．
【分析】把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
【解答】解：
＝
＝，
故选：D．
3．（2013 潮阳区模拟）计算：＝　 　．
【分析】把第二个分式提取负号，进行分式加减，再把分式的分子分解公因式从而解得．
【解答】解：原式＝＝＝a+b．
故答案为：a+b．
4．（2023 香洲区校级一模）化简：，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝﹣2或2时，原式没有意义，
当a＝0时，
原式＝
＝1．
◆变式训练
1．（2021 广州模拟）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简分式的定义计算判断．
【解答】解：A、＝，所以A选项不符合；
B、＝，所以B选项不符合；
C、＝＝，所以C选项不符合；
D、为最简分式，所以D选项符合．
故选：D．
2．（2020 佛山校级模拟）化简÷是（　　）
A．m B．﹣m C． D．﹣
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣ ＝﹣m，
故选：B．
3．（2022 澄海区模拟）计算＝　 　．
【分析】先通分，再进行减法运算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
4．（2023 东莞市一模）先化简：（1+）÷，再从﹣1，0，1，中选择一个合适的数代入求值．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（1+）÷
＝
＝
＝，
∵x2﹣1≠0，x≠0，
∴x≠±1，x≠0，
∴当x＝时，原式＝＝．
考点3：解分式方程
◇例题
1．（2023 连平县二模）分式方程的解为（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：5（x﹣1）+x+1＝0，
系数化为1得：x＝，
检验：把x＝代入得：（x﹣1）（x+1）≠0，
∴分式方程的解为x＝．
故选：B．
2．（2022 东莞市校级一模）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为 　．
【分析】求解分式方程可得x＝，由题意可得1+m＝1或1+m＝2，≠1，由此可求m的值．
【解答】解：＝，
x﹣2＝﹣mx，
x+mx＝2，
（1+m）x＝2，
x＝，
∵方程有正整数解，
∴1+m＝1或1+m＝2，
∴m＝0或m＝1，
∵x≠1，
∴≠1，
∴m≠1，
∴m＝0，
故答案为：0．
3．（2023 龙川县一模）解分式方程：．
【分析】方程两边都乘x﹣1得出x＝﹣1+3（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘x﹣1，得x＝﹣1+3（x﹣1），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣1≠0，
所以x＝2是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝2．
◆变式训练
1．（2023 天河区一模）分式方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
3x＝2（x+1），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x+1）≠0，
∴x＝2是原方程的根，
故选：A．
2．（2021 荔湾区校级三模）若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8
【分析】先得出分式方程的解，再得出关于m的不等式，解答即可．
【解答】解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），
解得：x＝2﹣，
因为关于x的方程+＝2的解为正数，
可得：，
解得：m＜6，
因为x＝2时原方程无解，
所以可得，
解得：m≠0．
故选：C．
3．（2023 越秀区校级二模）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣3）＝4，
去括号得：x﹣2x+6＝4，
移项合并得：﹣x＝﹣2，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
考点4：分式方程的应用
◇例题
1．（2023 龙岗区校级一模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据原计划的天数﹣实际的天数＝提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
＝2，
故选：A．
2．（2023 南海区一模）甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，那么，甲、乙二人合做1小时共做了（　　）零件．
A．12个 B．18个 C．24个 D．30个
【分析】设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+6）个零件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值，再将其代入x+6+x中，即可求出结论．
【解答】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+6）个零件，
根据题意得：＝，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是所列方程的解，且符合题意，
∴x+6+x＝12+6+12＝30，
∴甲、乙二人合做1小时共做了30个零件．
故选：D．
3．（2023 梅州一模）小明家离学校3000米，一天早上，小明前半程按平常速度走路，后半程因怕迟到，加快了脚步，比平常速度快了50（米/分钟），结果比平时省了2分钟时间到学校，设小明平常走路速度为x（米/分钟），根据题意可列出方程：　　．
【分析】设小明平时平常走路速度为x（米/分钟），则实际从家到学校的速度为（x+50）米/分钟，根据比平时省了2分钟时间到学校列出方程即可．
【解答】解：设小明平时平常走路速度为x（米/分钟），则实际从家到学校的速度为（x+50）米/分钟，
根据题意得：，
故答案为：．
4．（2023 增城区一模）某镇准备对一条长3200米道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20%，共用28天完成了全部任务．
（1）问原计划每天绿化道路多少米？
（2）已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40%，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？
【分析】（1）设原计划每天绿化道路x米，根据题意列分式方程即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）设原计划每天绿化道路x米，
，
解得x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化道路100米．
（2）800÷100＝8（天），28﹣8＝20（天），
5000×8+5000×（1+40%）×20＝180000（元）．
答：承包商共需支付工人工资180000（元）．
◆变式训练
1．（2023 江门校级三模）某修路队计划x天内铺设铁路120km，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设原计划每天修建道路m，则实际用了（x﹣2）天，每天修建道路为 m，根据每天多铺设铁路3km，列出方程即可．
【解答】解：根据题意，得．
故选：B．
2．（2023 罗定市二模）已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组单独工作半天后，乙组加入，两组合作2天后，甲组又单独工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的天数比甲组（　　）
A．少6天 B．少8天 C．多3天 D．多6天
【分析】设乙组单独完成此项工程需要x天，根据甲组完成的任务+乙组完成的任务＝总工程量（单位1），即可得出x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（12﹣x）中即可求出结论．
【解答】解：设乙组单独完成此项工程需要x天，
依题意，得：+＝1，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
∴12﹣x＝8．
故选：B．
3．（2021 越秀区一模）为绿化环境某市计划植树3000棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前5天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为　 　．
【分析】直接根据题意表示出实际每天植树的数量为：（1+20%）x，再利用植树所用天数得出等式求出答案．
【解答】解：设原计划每天植树x棵，根据题意可列方程为：
＝+5．
故答案为：＝+5．
4．（2023 东莞市三模）为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．工大附中准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍．
（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
（2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
【分析】（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，利用数量＝总价÷单价，结合用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用135000元购买B种垃圾桶的组数量的2倍，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过8000元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值即可．
【解答】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，
∴x+150＝300+150＝450．
答：A种垃圾桶每组的单价为300元，B种垃圾桶每组的单价为450元．
（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组，
依题意得：300（20﹣y）+450y≤8000，
解得：y≤，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为13．
答：最多可以购买B种垃圾桶13组．
1．（2023 广东）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】本题考查同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减．
【解答】解：
＝
＝．
故本题选：C．
2．（2021 广州）方程＝的解为（　　）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6
【分析】求解分式方程，根据方程的解得结论．
【解答】解：去分母，得x＝2x﹣6，
∴x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解．
故选：D．
3．（2023 广州）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km/h，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据动车提速前后速度间的关系，可得出动车提速前的平均速度为（x﹣60）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，且动车提速后的平均速度为x km/h，
∴动车提速前的平均速度为（x﹣60）km/h．
根据题意得：＝．
故选：B．
4．（2023 深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】由每辆大货车的货运量是x吨，则每辆小货车的货运量是（x﹣5）吨，根据用大货车运送75吨货物所需车辆数与小货车运送50吨货物所需车辆数相同，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：∵每辆大货车的货运量是x吨，
∴每辆小货车的货运量是（ x﹣5）吨，
依题意得：＝．
故选：B．
5．（2022 广州）分式方程＝的解是 　 　．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：＝，
3（x+1）＝4x，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，2x（x+1）≠0，
∴x＝3是原方程的根，
故答案为：x＝3．
6．（2021 广东）若x+＝且0＜x＜1，则x2﹣＝　　．
【分析】根据题意得到x﹣＜0，根据完全平方公式求出x﹣，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵0＜x＜1，
∴x＜，
∴x﹣＜0，
∵x+＝，
∴（x+）2＝，即x2+2+＝，
∴x2﹣2+＝﹣4，
∴（x﹣）2＝，
∴x﹣＝﹣，
∴x2﹣＝（x+）（x﹣）＝×（﹣）＝﹣，
故答案为：﹣．
7．（2022 广东）先化简，再求值：a+，其中a＝5．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝2a+1，
当a＝5时，原式＝10+1＝11．
8．（2023 深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝3代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝3时，原式＝＝．
9．（2022 深圳）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝4．
【分析】利用分式的相应的运算法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（﹣1）÷
＝
＝
＝，
当x＝4时，
原式＝
＝．
10．（2023 广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．
（1）因式分解A；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【分析】（1）应用提公因式法与平方差公式，即可解决问题；
（2）把分式的分母，分子分别因式分解，然后约分，即可得到答案．
【解答】解：（1）2a2﹣8
＝2（a2﹣4）
＝2（a+2）（a﹣2）；
（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），
＝
＝．
11．（2023 广东）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．
【分析】设乙骑自行车的速度为x km/h，则甲骑自行车的速度为1.2x km/h，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：设乙骑自行车的速度为x km/h，则甲骑自行车的速度为1.2x km/h，
根据题意得﹣＝，
解得x＝12．
经检验，x＝12是原分式方程的解，
答：乙骑自行车的速度为12km/h．
12．（2020 广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的这个等量关系列出方程即可．
（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90﹣a）个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答，也可以利用一次函数的增减性解答．
【解答】解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
根据题意得：，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
所以3+2＝5，
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；
（2）解法一：设建A摊位a个，建造这90个摊位的费用为y元，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：y＝5a×40+3×30（90﹣a）＝110a+8100，
∵110＞0，
∴y随a的增大而增大，
∵90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵a为整数，
∴当a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：110×22+8100＝10520；
解法二：设建A摊位a（a为整数）个，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，
∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，
答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．
1．（2023 三水区校级一模）若分式的值等于0，则a的值为（　　）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
【分析】直接利用分式的值为零的条件，分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值等于0，
∴a﹣1＝0且a+1≠0，
解得：a＝1．
故选：D．
2．（2023 吴川市一模）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣8 B．x＝﹣8 C．x≠0 D．x≠﹣8
【分析】直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．
【解答】解：若代数式在实数范围内有意义，则x+8≠0，
解得：x≠﹣8．
故选：D．
3．（2023 霞山区一模）下列运算中正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝，故A错误；
（B）原式＝＝，故B错误；
（D）原式＝，故D错误；
故选：C．
4．（2023 花都区一模）解分式方程1﹣＝，去分母后得到的方程正确的是（　　）
A．1﹣（2﹣x）＝﹣2x B．（2﹣x）+1＝2x
C．（x﹣2）﹣1＝2x D．（x﹣2）+1＝2x
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵1﹣＝，
∴x﹣2+1＝2x，
故选：D．
5．（2023 广东模拟）分式方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1
【分析】方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：去分母得：7+3（x﹣1）＝x，
去括号得：7+3x﹣3＝x，
移项并合并得：2x＝﹣4，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x﹣1≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解．
故选：C．
6．（2023 河源一模）某市政工程队准备修建一条长1200m的污水处理管道．在修建完400m后，为了能赶在汛期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了25%，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x m，依题意列方程得（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由采用新技术前后工作效率间的关系可得出采用新技术后每天修建管道（1+25%）x m，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合时间比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵采用新技术，工作效率比原来提升了25%，且原计划每天修建管道x m，
∴采用新技术后每天修建管道（1+25%）x m．
依题意得：﹣＝4．
故选：B．
7．（2021 梅江区一模）已知关于x的分式方程﹣＝1的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，
解得x＝m﹣4．
∵x为正数，
∴m﹣4＞0，解得m＞4，
∵x≠1，
∴m﹣4≠1，即m≠5，
∴m的取值范围是m＞4且m≠5．
故选：C．
8．（2023 濠江区模拟）化简：＝ 　．
【分析】运用同分母分式相加减的方法进行计算、化简．
【解答】解：
＝
＝
＝x﹣1，
故答案为：x﹣1．
9．（2022 珠海一模）分式方程：的解是 　 　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x﹣3＝2x+2，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解，
故答案为：x＝5．
10．（2021 黄埔区一模）解分式方程：．
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣2），得
3（x﹣2）＝x，
解得x＝3．
检验：把x＝3代入x（x﹣2）＝3≠0．
∴原方程的解为：x＝3．
11．（2023 佛山模拟）解方程：．
【分析】将原式化为整式进行计算，得出答案后记得检验．
【解答】解：去分母得：3＝﹣x﹣2（1﹣x）
整理得：3＝x﹣2，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，1﹣x≠0，所以x＝5是原方程的解．
12．（2023 东莞市一模）先化简，后求值：，从﹣1，0，1，2选一个合适的值，代入求值．
【分析】先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分，再考虑分母不能为0，从中先取合适的数运算即可．
【解答】解：
＝
＝，
∵x﹣2≠0，x﹣1≠0，x≠0，
∴x≠2，x≠1，x≠0，
∴当x＝﹣1时，
原式＝
＝．
13．（2023 番禺区校级一模）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，县委县政府积极响应，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．
（1）求原计划每天铺设路面多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【分析】（1）设原计划每天铺设路面x米，则提速后每天铺设路面（1+25%）x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合共用13天完成道路改造任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总工资＝每天支付的工资×工作天数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设原计划每天铺设路面x米，则提速后每天铺设路面（1+25%）x米，
依题意，得：+＝13，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设路面80米．
（2）1500×+1500×（1+20%）×＝21900（元）．
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元．
14．（2023 金平区三模）五月初，某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这4000件物品，需筹集资金多少元？
【分析】（1）设甲种救灾物品每件的价格x元，则乙种救灾物品每件的价格为（x﹣10）元，根据已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同可列方程求解．
（2）设甲种物品件数y件，根据灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，可列出方程求解；
【解答】解：（1）设甲种救灾物品每件的价格x元，则乙种救灾物品每件的价格为（x﹣10）元，
可得：，
解得：x＝90，
经检验x＝90是原方程的解，
答：甲单价 90 元/件、乙 80 元/件．
（2）设甲种物品件数y件，可得：
y+3y＝4000，
解得：y＝1000，
所以筹集资金＝90×1000+80×3000＝330000 元，
答：需筹集资金330000 元．
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