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第三章 函数
第八节 平面直角坐标系与函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 平面直角坐标系及点的坐标 ☆ 平面直角坐标系与函数知识内容主要包括：平面直角坐标系、函数的概念、函数的图像识别以及函数的表示方法。在广东中考中这部分知识考查热度较为一般，通常以选择题或者填空题的形式考查，考题大多属于基础题，但在函数图象的实际应用这个知识的考查偶尔会出现在选择题第10题中，难度会稍微比较大，最近几年都暂时未进行此类型考查。中考复习的时候，要理清楚此部分知识的基本概念，重点加强理解，便可较轻松的应对此部分知识考查。
考点2 图形变换及点的坐标变化 ☆☆
考点3 函数的相关概念及表示方法 ☆☆
考点一 平面直角坐标系及点的坐标
1．平面直角坐标系：
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面．
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．
【注意】x轴和y轴上的点，不属于任何象限．
2. 点的坐标的概念：
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标．
3. 各象限内点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一象限 x＞0，y＞0．
点P（x，y）在第二象限 x＜0，y＞0．
点P（x，y）在第三象限 x＜0，y＜0．
点P（x，y）在第四象限 x＞0，y＜0．
4. 坐标轴上的点的特征：
点 P（x，y）在x轴上 y=0，x为任意实数．
点P（x，y）在y轴上 x=0，y为任意实数．
点P（x，y）既在x轴上，又在y轴上 x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）．
5. 点到坐标轴及原点的距离：
点P（x，y）到x轴的距离等于|y|．
点P（x，y）到y轴的距离等于|x|．
点P（x，y）到原点的距离等于．
考点二 图形变换及点的坐标变化
1. 两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一、三象限夹角平分线上 x与y相等．
点P（x，y）在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数．
2. 与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同．
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同．
3. 关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征：
点P与点P′关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数．
点P与点P′关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数．
点P与点P′关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数．
4. 点平移后的坐标特征：
点P（x，y）向右平移a个单位长度 P′（x+a，y）．
点P（x，y）向左平移a个单位长度 P′（x–a，y）．
点P（x，y）向上平移b个单位长度 P′（x，y+b）．
点P（x，y）向下平移b个单位长度 P′（x，y–b）．
考点三 函数的相关概念及表示方法
1．函数的定义：
在某个变化过程中，两个变量x，y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
【注意】一个函数问题，只与自变量、函数之间的对应关系有关，而与自变量、函数采用什么字母无关．
2．函数值：
对于一个函数，当自变量x=a时，求出对应的y值，称为当x=a时的函数值．
3.自变量取值范围
①所给函数解析式是整式：自变量的取值范围：全体实数．
②所给函数解析式是分式：自变量的取值范围：使分母不为0的一切实数．（不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义．）
③所给函数解析式是二次根式：自变量的取值范围：被开方数是非负数．
④所给函数解析式是复合形式：自变量的取值范围：列不等式组，兼顾所有代数式同时有意义．
4．函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法
5．函数图象的概念：对一个函数，把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为横坐标、纵坐标，在坐标平面内有一个相应的点，这些点的全体组成的图形就是函数的图象．
6．函数图象的画法：描点法：
①列表：列表求出自变量、函数的一些对应值；
②描点：以表中的对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点；
③连线：按自变量从小到大的顺序，把所描各个点用平滑的曲线顺次连接起来．
7．点在函数图象上的判断：把一个点的坐标代入函数关系式，如果等式成立，那么点在函数图象上；如果等式不成立，那么点不在函数图象上．
8．函数图象的性质：一般地，函数图象的上升线表示因变量随自变量取值的增加而增加，下降线表示因变量随自变量取值的增加而减少，水平线表示因变量不随自变量取值的变化而发生变化（自变量在x轴上从小到大，图象从左到右看）．
（1）上升线倾斜程度越小表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的增加越慢；上升线倾斜程度越大表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的增加越快．
（2）下降线倾斜程度越小表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的减少越慢；下降线倾斜程度越大表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的减少越快．
考点1：平面直角坐标系及点的坐标
◇例题
1．（2021 深圳模拟）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点P（﹣3，2）在第二象限，
故选：B．
2．（2023 顺德区校级一模）已知点Q（a﹣1，a+2）在x轴上，那么Q点的坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a的值，再求解即可．
【解答】解：∵点Q（a﹣1，a+2）在x轴上，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2，
∴a﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴点A的坐标为（﹣3，0）．
故选：A．
3．（2023 顺德区一模）在平面直角坐标系中，第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5，则a的值为（　　）
A．﹣8 B．2或﹣8 C．2 D．8
【分析】根据点的坐标定义、各象限内点的坐标特征即可解答．
【解答】解：∵第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5，
∴a+3＝5，
∴a＝2．
故选：C．
◆变式训练
1．（2023 中山市校级模拟）点P（3，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由题意可确定m2+1≥1，再根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点可知：点P（3，m2+1）位于第一象限．
【解答】解：∵m2+1≥1，
∴点P（3，m2+1）位于第一象限．
故选：A．
2．（2023 金平区三模）已知点A（2，1），过点A作x轴的垂线，垂足为C，则点C的坐标为（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）
【分析】先画图，过点A作x轴的垂线，结合图形可得答案．
【解答】解：如图，点A（2，1），过点A作x轴的垂线，垂足为C，
∴C（2，0）；
故选：C．
3．（2022 揭东区一模）如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是（　　）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（0，1）
【分析】根据点在y轴上，可知P的横坐标为0，即可得m的值，再确定点P的坐标即可．
【解答】解：∵P（m+3，2m+4）在y轴上，
∴m+3＝0，
解得m＝﹣3，2m+4＝﹣2，
∴点P的坐标是（0，﹣2）．
故选：B．
考点2：图形变换及点的坐标变化
◇例题
1．（2023 英德市二模）在直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度后的坐标为（　　）
A．（﹣6，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，7）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减计算即可．
【解答】解：点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度后的坐标是（﹣2+4，3），
即（2，3）．
故选：B．
2．（2022 鹤山市一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，﹣4）关于y轴的对称点B的坐标是（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（3，﹣4）关于y轴的对称点B的坐标是（﹣3，﹣4）．
故选：B．
3．（2023 广东模拟）已知点M（﹣2，3），点N（2，a），且MN∥x轴，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【分析】根据平行于x轴的直线纵坐标相等解答即可．
【解答】解：∵点M（﹣2，3），点N（2，a），且MN∥x轴，
∴a＝3，
故选：D．
4．（2022 香洲区校级一模）（，0）到坐标原点的距离是（　　）
A．﹣5 B． C．5 D．
【分析】根据x轴上两点间的距离等于其横坐标差的绝对值进行解答便可．
【解答】解：∵（，0）在x轴上，
∴（，0）到坐标原点的距离是|﹣﹣0|＝，
故选：B．
5．（2023 潮州模拟）在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A（﹣1，4）的对应点C（1，2），则点B（2，1）的对应点D的坐标为（　　）
A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，4）的对应点C的坐标为（1，2），
∴平移规律为向右平移2个单位，向下平移2个单位，
∴B（2，1）的对应点D的坐标为（4，﹣1）．
故选：A．
◆变式训练
1．（2023 惠州二模）在平面直角坐标系中，点P（a，b）关于y轴对称的点Q（2，3），点P所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，求出点P坐标，进一步可知点P所在象限．
【解答】解：∵点P与点Q（2，3）关于y轴对称，
∴点P坐标为（﹣2，3），
∴点P在第二象限，
故选：B．
2．（2022 濠江区一模）若点A（m+1，﹣2）、点B（3，m﹣1），且AB∥x轴，则AB的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据AB∥x轴，得到点A，B纵坐标相等，求出m的值，得到A，B的坐标，进而得到AB的值．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴点A，B纵坐标相等，
∴m﹣1＝﹣2，
∴m＝﹣1，
∴m+1＝0，
∴A（0，﹣2），B（3，﹣2），
∴AB＝3﹣0＝3．
故选：B．
3．（2023 东莞市一模）点A关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），则点A的坐标是　 　．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：∵点A关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），
∴点A的坐标是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
4．（2023 湛江一模）已知点P（x，1）与点Q（﹣3，y）关于原点对称，则x+y＝　　．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．
【解答】解：∵点P（x，1）与点Q（﹣3，y）关于原点对称，
∴x＝3，y＝﹣1，
∴x+y＝3+（﹣1）＝2，
故答案为：2．
5．（2021 海丰县模拟）在平面直角坐标系中，线段AB在x轴上，AB＝2，且点A（，0）．则点B的坐标是　 　．
【分析】根据题意，点B的位置有两种情况，讨论后即可得出答案．
【解答】解：∵线段AB在x轴上，AB＝2，且点A（，0），
①点B在点A的右边，B点的横坐标为：2+＝2，
②点B在点A的左边，B点的横坐标为：﹣2＝﹣，
∴点B的坐标为：（2，0）或（，0）；
故答案为：（2，0）或（，0）．
考点3：函数的相关概念及表示方法
◇例题
1．（2023 湛江二模）函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞0且x≠5 B．x≥5 C．x＞5 D．x≤5
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣5＞0，
解得：x＞5，
故选：C．
2．（2023 南海区校级模拟）球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量和常量分别是（　　）
A．变量是V，R；常量是，π
B．变量是R，π；常量是
C．变量是V，R，π；常量是
D．变量是V，R3；常量是π
【分析】根据常量和变量的概念解答即可．
【解答】解：球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，
其中变量是V，R；常量是，π
故选：A．
3．（2021 宝安区一模）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．
【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，故反映到图象上应选B．
故选：B．
4．（2023 东莞市一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，O是矩形对角线交点，线段OP⊥AD，且OP＝4cm，线段OP从图中位置开始，绕点O顺时针旋转一周，线段OP在矩形内部部分（包括端点）的长度y（cm）与点P走过的路程 x（cm）的函数关系式可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以得到各段对应的函数图象，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，O到AD的距离为3，O到CD的距离为4，OD的长度为5，
则在OP顺时针旋转的过程中，
在OP⊥AD到OP⊥CD的过程中，线段OP在矩形内部部分的长度y随x的增大而增大，增大到等于OP的长度时保持不变；
在OP⊥CD到OP⊥CD的过程中，线段OP在矩形内部部分的长度y由5保持一段时间不变，然后随着x的增大而减小；
在OP⊥BC到OP⊥AB的过程中，线段OP在矩形内部部分的长度y随x的增大而增大，增大到等于OP的长度时保持不变；
在OP⊥BA到OP⊥AD的过程中，线段OP在矩形内部部分的长度y由5保持一段时间不变，然后随着x的增大而减小．
故选：A．
5．（2021 饶平县校级模拟）某工程队为教学楼贴瓷砖，已知楼体外表面积为5×103m2．所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S（单位：m2）的函数关系式为　　．
【分析】根据“总面积除以每块瓷砖的面积等于瓷砖的块数”可得出关系式．
【解答】解：由总面积除以每块瓷砖的面积等于瓷砖的块数可得，
n＝＝，
故答案为：n＝．
6．（2021 广东模拟）已知y是x的函数，用列表法给出部分x与y的值，表中“▲”处的数是 　　．
x 1 2 3 4 6
y ▲ 6 4 3 2
【分析】用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将表中x＝1代入，即可求出“▲”处的数．
【解答】解：设解析式为y＝，
将（2，6）代入解析式得k＝12，
这个函数关系式为：y＝，
把x＝1代入得y＝12，
∴表中“▲”处的数为12，
故答案为：12．
◆变式训练
1．（2023 惠来县模拟）某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（　　）
A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量
C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量
【分析】利用效率等于工作量除以工作时间得到n＝，然后利用变量和常量对各选项进行判断．
【解答】解：n＝，其中n、t为变量，100为常量．
故选：C．
2．（2022 河源一模）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示：
x ﹣1 0 1
y 3 2 1
则y与x之间的关系式可能是（　　）
A．y＝x B． C．y＝x2+x+1 D．y＝﹣x+2
【分析】根据变化规律，自变量加1，因变量就减少1，自变量增加a个1，因变量就从3到少a个1，求解即可．
【解答】解：由题意知，有两个变量，x和y，其中x为自变量，y为因变量，
当自变量x增加1时，因变量y减少1，
所以当自变量为x时，即增加了[x﹣（﹣1）]个1，则因变量应减少了[x﹣（﹣1）]，即3﹣[x﹣（﹣1）]＝﹣x+2，
即y＝﹣x+2，
故选：D．
3．（2023 香洲区二模）一个小球沿一个斜坡上下滚动，其速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的图象如图所示．下列说法错误的是（　　）
A．小球的初始速度为6m/s
B．小球先沿斜坡向上滚动，再沿斜坡向下滚动
C．当3≤t≤6时，小球的速度每秒增加2m/s
D．小球在整个滚动过程中，当t＝3时，到达斜坡的最低处
【分析】根据函数图象结合图形分析即可．
【解答】解：t＝0时速度为6m/s，故A选项不符合题意；
由函数图象可得速度先减小后增加，所以小球先沿斜坡向上滚动，再沿斜坡向下滚动，故B选项不符合题意；
当3≤t≤6时，小球的速度每秒增加2m/s，故C选项不符合题意；
当t＝3时，到达斜坡的最高处，故D选项符合题意；
故选：D．
4．（2023 揭阳一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝BC＝5，tanA＝．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解．
【解答】解：①当点P在AB上运动时，
∵AB＝BC＝5，tanA＝，
∴AP：PH：AH＝5：4：3，
∵AP＝x，
∴PH＝x，AH＝x，
y＝AH PH＝ x x＝x2，图象为二次函数；
且当x＝5时，y＝6；故B，C，D不正确；则A正确；
②当点P在BC上运动时，如图，过点B作BE⊥AD于点E，
∵tanA＝，AB＝5，
∴BE＝4，AE＝3，
∵AB+BP＝x，
∴BP＝EH＝x﹣5，
∴AH＝2+x﹣5＝x﹣2，
∴y＝AH PH＝ （x﹣2） 4＝2x﹣4，为一次函数；
且当x＝10时，y＝16；
③当点P在CD上运动时，
此时，AD＝AH＝3+5＝8，
∵AB+BC+CP＝x，
∴PH＝AB+BC+CD﹣x＝14﹣x，
∴y＝AH PH＝×8 （14﹣x）＝﹣4x+56；
故选：A．
5．（2023 金平区二模）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　．
【分析】根据分母不为0可得：x+1≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故答案为：x≠﹣1．
6．（2023 南海区三模）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
【分析】（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，即可算出k的值，即可得出答案；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，计算即可得出答案．
【解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，
得19＝2k+15，
解得：k＝2，
所以y与x的函数关系式为y＝2x+15（x≥0）；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，
得20＝2x+15，
解得：x＝2.5．
所挂物体的质量为2.5kg．
1．（2022 广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr．下列判断正确的是（　　）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量
【分析】根据变量与常量的定义进行求解即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
在C＝2πr中．2，π为常量，r是自变量，C是因变量．
故选：C．
2．（2022 广东）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的平移特点解答即可．
【解答】解：将点（1，1）向右平移2个单位后，横坐标加2，所以平移后点的坐标为（3，1），
故选：A．
3．（2020 广东）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣2）．
故选：A．
4．（2023 南沙区一模）在平面直角坐标系中，与点A（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（4，﹣3）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点A（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4），
故选：C．
5．（2023 蓬江区一模）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向上平移3个单位后，得到的点的坐标是（　　）
A．（1，4） B．（4，1） C．（1，3） D．（1，﹣2）
【分析】把点（1，1）的横坐标不变，纵坐标加3，即可得到平移后的对应点的坐标．
【解答】解：将点（1，1）向上平移3个单位后，得到的点的坐标是（1，4）．
故选：A．
6．（2023 高明区二模）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点Q的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（2，3）
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，求解即可．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称点Q的坐标为（﹣2，﹣3），
故选：A．
7．（2023 仁化县二模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，x﹣2≠0，
解得x≥﹣1且x≠2．
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
8．（2022 东莞市一模）已知点M（m+1，m+3）在x轴上，则m等于　 ．
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0列式求值即可．
【解答】解：由题意得：m+3＝0，
解得m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
9．（2022 越秀区校级二模）若P（a+2，a﹣1）在y轴上，则点P的坐标是　 ．
【分析】让横坐标为0可得a的值，进而可得P的坐标．
【解答】解：∵P（a+2，a﹣1）在y轴上，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2，
∴点P的坐标是 （0，﹣3），
故答案为（0，﹣3）．
10．（2022 广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
【分析】（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，即可算出k的值，即可得出答案；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，计算即可得出答案．
【解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，
得19＝2k+15，
解得：k＝2，
所以y与x的函数关系式为y＝2x+15（x≥0）；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，
得20＝2x+15，
解得：x＝2.5．
所挂物体的质量为2.5kg．
1．（2023 高州市校级二模）函数中自变量x的取值范围是 　 　．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．
【解答】解：由二次根式的性质得：x≥0，
由分式的分母不能为零的：x≠3，
∴x≥0且x≠3．
故答案为：x≥0且x≠3．
2．（2023 惠阳区二模）在平面直角坐标系中，若P（2x+6，4﹣x）在第二象限，则x的取值范围是 　 　．
【分析】由P（2x+6，4﹣x）在第二象限得到，解不等式组即可得到答案．
【解答】解：∵P（2x+6，4﹣x）在第二象限，
∴，
解得x＜﹣3，
故答案为：x＜﹣3．
3．（2023 濠江区模拟）在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴对称的点P′的坐标是 　．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
4．（2023 东莞市一模）在平面直角坐标系中，点（5，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
【分析】根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点P（5，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣5，1）．
故答案为：（﹣5，1）．
5．（2023 广东模拟）将点A（﹣2，﹣5）向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为 　 　．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【解答】解：将点A（﹣2，﹣5）向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的点A′，
则点A′的坐标是（﹣2+3，﹣5+5），即A′（1，0）．
故答案为：（1，0）．
6．（2023 徐闻县二模）已知点P在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，那么点P的坐标为 　 　．
【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点P（x，y）在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴x＝﹣2，y＝﹣3，
∴点P的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
7．（2022 东莞市校级一模）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（0，0）表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为 　 　．
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：“将”的位置应表示为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
8．（2021 佛山校级三模）已知y是x的函数，用列表法给出部分x与y的值．表中“▲”处的数可以是 　 　．（填一个符合题意的答案）
x ﹣2 1 3 4
y ﹣3 6 2 ▲
【分析】观察表格发现：xy＝6，所以y＝，当x＝4时，代入表达式，即可得出y的值．
【解答】解：观察表格发现：xy＝6，
∴y＝，
当x＝4时，y＝＝1.5，
故答案为：1.5（答案不唯一）．
9．（2021 惠城区一模）如图1，在正方形ABCD中，点P，Q同时以2cm/s的速度从点A出发，分别沿A﹣B﹣C和A﹣D﹣C的路径匀速运动，到达点C时停止运动，连接PQ，设PQ的长为y，运动时间为x，则y（cm）与x（s）的函数图象如图2所示，当x＝2.5s时，PQ的长是 　3　cm．
【分析】先根据图2得出当x＝2s时，PQ长度最大，即PQ和BD重合，求出正方形边长，再根据x＝2.5s时，点P运动的路程，求出CP＝CQ＝3，然后由勾股定理求出PQ．
【解答】解：从图2可知，当x＝2s时，PQ长度最大，即PQ和BD重合，
P的速度为每秒2cm，
∴当x＝2时，AB＝2×2＝4（cm），
即正方形的边长为4cm，
∴当x＝2.5秒时，P点运动了5cm，此时点P在BC上，
则此时CP＝8﹣5＝3＝CQ，
在Rt△PCQ中，由勾股定理，得
PQ＝＝3（cm），
故答案为：3．
10．（2024 深圳模拟）已知一个矩形的面积为6，长为x，宽为y．
（1）y与x之间的函数表达式为 　　；
（2）在图中画出该函数的图象；
列表：
x … 1 2 3 4 6 …
y … 6 3 m 1.5 1 …
上面表格中m的值是 　；
描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点；
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象．
（3）若点A（a，b）与点B（a+1，c）是该函数图象上的两点，试比较b和c的大小．
【分析】（1）利用矩形的面积公式可以得到y与x之间的函数关系式；
（2）将x＝3代入到（1）中的解析式即可得到答案；然后按照描点，再用光滑的曲线顺次连接即可画出图象；
（3）根据反比例函数的单调性即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意得：xy＝6，
所以y＝，
则y与x之间的函数表达式为y＝．
故答案为：y＝．
（2）
（3）由图象可知，在第一象限内y随着x的增大而减小，
∵a+1＞a，
∴b＞c．
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第三章 函数
第八节 平面直角坐标系与函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 平面直角坐标系及点的坐标 ☆ 平面直角坐标系与函数知识内容主要包括：平面直角坐标系、函数的概念、函数的图像识别以及函数的表示方法。在广东中考中这部分知识考查热度较为一般，通常以选择题或者填空题的形式考查，考题大多属于基础题，但在函数图象的实际应用这个知识的考查偶尔会出现在选择题第10题中，难度会稍微比较大，最近几年都暂时未进行此类型考查。中考复习的时候，要理清楚此部分知识的基本概念，重点加强理解，便可较轻松的应对此部分知识考查。
考点2 图形变换及点的坐标变化 ☆☆
考点3 函数的相关概念及表示方法 ☆☆
考点一 平面直角坐标系及点的坐标
1．平面直角坐标系：
在平面内画两条互相________且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．
其中，水平的数轴叫做________或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做________或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面．
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．
【注意】________和________上的点，不属于任何象限．
2. 点的坐标的概念：
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标．
3. 各象限内点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一象限 x________0，y＞0．
点P（x，y）在第二象限 x＜0，y________0．
点P（x，y）在第三象限 x________0，y＜0．
点P（x，y）在第四象限 x＞0，y________0．
4. 坐标轴上的点的特征：
点 P（x，y）在x轴上 y=0，x为________．
点P（x，y）在y轴上 x=0，________为任意实数．
点P（x，y）既在x轴上，又在y轴上 x，y同时为零，即点P坐标为________．
5. 点到坐标轴及原点的距离：
点P（x，y）到________的距离等于|y|．
点P（x，y）到________的距离等于|x|．
点P（x，y）到________的距离等于．
考点二 图形变换及点的坐标变化
1. 两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：
点P（x，y）在第一、三象限夹角平分线上 x与y相等．
点P（x，y）在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数．
2. 与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同．
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同．
3. 关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征：
点P与点P′关于x轴对称 ________相等，________互为相反数．
点P与点P′关于y轴对称 ________相等，________互为相反数．
点P与点P′关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数．
4. 点平移后的坐标特征：
点P（x，y）向右平移a个单位长度 P′（x+a，y）．
点P（x，y）向左平移a个单位长度 P′（x–a，y）．
点P（x，y）向上平移b个单位长度 P′（x，y+b）．
点P（x，y）向下平移b个单位长度 P′（x，y–b）．
考点三 函数的相关概念及表示方法
1．函数的定义：
在某个变化过程中，两个变量x，y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是________，y是因变量，此时也称y是x的函数．
【注意】一个函数问题，只与自变量、函数之间的对应关系有关，而与自变量、函数采用什么字母无关．
2．函数值：
对于一个函数，当自变量x=a时，求出对应的________值，称为当x=a时的函数值．
3.自变量取值范围
①所给函数解析式是整式：自变量的取值范围：全体实数．
②所给函数解析式是分式：自变量的取值范围：使分母不为0的一切实数．（不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义．）
③所给函数解析式是二次根式：自变量的取值范围：被开方数是非负数．
④所给函数解析式是复合形式：自变量的取值范围：列不等式组，兼顾所有代数式同时有意义．
4．函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法
5．函数图象的概念：对一个函数，把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为横坐标、纵坐标，在坐标平面内有一个相应的点，这些点的全体组成的图形就是函数的图象．
6．函数图象的画法：描点法：
①列表：列表求出自变量、函数的一些对应值；
②描点：以表中的对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点；
③连线：按自变量从小到大的顺序，把所描各个点用平滑的曲线顺次连接起来．
7．点在函数图象上的判断：把一个点的坐标代入函数关系式，如果等式成立，那么点在函数图象上；如果等式不成立，那么点不在函数图象上．
8．函数图象的性质：一般地，函数图象的上升线表示因变量随自变量取值的增加而________，下降线表示因变量随自变量取值的增加而________，水平线表示因变量不随自变量取值的变化而发生变化（自变量在x轴上从小到大，图象从左到右看）．
（1）上升线倾斜程度越小表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的增加越慢；上升线倾斜程度越大表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的增加越快．
（2）下降线倾斜程度越小表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的减少________；下降线倾斜程度越大表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的减少________．
考点1：平面直角坐标系及点的坐标
◇例题
1．（2021 深圳模拟）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 顺德区校级一模）已知点Q（a﹣1，a+2）在x轴上，那么Q点的坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
3．（2023 顺德区一模）在平面直角坐标系中，第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5，则a的值为（　　）
A．﹣8 B．2或﹣8 C．2 D．8
◆变式训练
1．（2023 中山市校级模拟）点P（3，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 金平区三模）已知点A（2，1），过点A作x轴的垂线，垂足为C，则点C的坐标为（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）
3．（2022 揭东区一模）如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是（　　）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（0，1）
考点2：图形变换及点的坐标变化
◇例题
1．（2023 英德市二模）在直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度后的坐标为（　　）
A．（﹣6，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，7）
2．（2022 鹤山市一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，﹣4）关于y轴的对称点B的坐标是（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）
3．（2023 广东模拟）已知点M（﹣2，3），点N（2，a），且MN∥x轴，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
4．（2022 香洲区校级一模）（，0）到坐标原点的距离是（　　）
A．﹣5 B． C．5 D．
5．（2023 潮州模拟）在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A（﹣1，4）的对应点C（1，2），则点B（2，1）的对应点D的坐标为（　　）
A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）
◆变式训练
1．（2023 惠州二模）在平面直角坐标系中，点P（a，b）关于y轴对称的点Q（2，3），点P所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022 濠江区一模）若点A（m+1，﹣2）、点B（3，m﹣1），且AB∥x轴，则AB的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023 东莞市一模）点A关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），则点A的坐标是　 　．
4．（2023 湛江一模）已知点P（x，1）与点Q（﹣3，y）关于原点对称，则x+y＝　　．
5．（2021 海丰县模拟）在平面直角坐标系中，线段AB在x轴上，AB＝2，且点A（，0）．则点B的坐标是　 　．
考点3：函数的相关概念及表示方法
◇例题
1．（2023 湛江二模）函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞0且x≠5 B．x≥5 C．x＞5 D．x≤5
2．（2023 南海区校级模拟）球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量和常量分别是（　　）
A．变量是V，R；常量是，π
B．变量是R，π；常量是
C．变量是V，R，π；常量是
D．变量是V，R3；常量是π
3．（2021 宝安区一模）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023 东莞市一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，O是矩形对角线交点，线段OP⊥AD，且OP＝4cm，线段OP从图中位置开始，绕点O顺时针旋转一周，线段OP在矩形内部部分（包括端点）的长度y（cm）与点P走过的路程 x（cm）的函数关系式可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021 饶平县校级模拟）某工程队为教学楼贴瓷砖，已知楼体外表面积为5×103m2．所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S（单位：m2）的函数关系式为　　．
6．（2021 广东模拟）已知y是x的函数，用列表法给出部分x与y的值，表中“▲”处的数是 　　．
x 1 2 3 4 6
y ▲ 6 4 3 2
◆变式训练
1．（2023 惠来县模拟）某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（　　）
A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量
C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量
2．（2022 河源一模）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示：
x ﹣1 0 1
y 3 2 1
则y与x之间的关系式可能是（　　）
A．y＝x B． C．y＝x2+x+1 D．y＝﹣x+2
3．（2023 香洲区二模）一个小球沿一个斜坡上下滚动，其速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的图象如图所示．下列说法错误的是（　　）
A．小球的初始速度为6m/s
B．小球先沿斜坡向上滚动，再沿斜坡向下滚动
C．当3≤t≤6时，小球的速度每秒增加2m/s
D．小球在整个滚动过程中，当t＝3时，到达斜坡的最低处
4．（2023 揭阳一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝BC＝5，tanA＝．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023 金平区二模）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　．
6．（2023 南海区三模）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
1．（2022 广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr．下列判断正确的是（　　）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量
2．（2022 广东）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）
3．（2020 广东）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
4．（2023 南沙区一模）在平面直角坐标系中，与点A（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（4，﹣3）
5．（2023 蓬江区一模）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向上平移3个单位后，得到的点的坐标是（　　）
A．（1，4） B．（4，1） C．（1，3） D．（1，﹣2）
6．（2023 高明区二模）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点Q的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（2，3）
7．（2023 仁化县二模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 ．
8．（2022 东莞市一模）已知点M（m+1，m+3）在x轴上，则m等于　 ．
9．（2022 越秀区校级二模）若P（a+2，a﹣1）在y轴上，则点P的坐标是　 ．
10．（2022 广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
1．（2023 高州市校级二模）函数中自变量x的取值范围是 　 　．
2．（2023 惠阳区二模）在平面直角坐标系中，若P（2x+6，4﹣x）在第二象限，则x的取值范围是 　 　．
3．（2023 濠江区模拟）在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴对称的点P′的坐标是 　．
4．（2023 东莞市一模）在平面直角坐标系中，点（5，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
5．（2023 广东模拟）将点A（﹣2，﹣5）向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为 　 　．
6．（2023 徐闻县二模）已知点P在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，那么点P的坐标为 　 　．
7．（2022 东莞市校级一模）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（0，0）表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为 　 　．
8．（2021 佛山校级三模）已知y是x的函数，用列表法给出部分x与y的值．表中“▲”处的数可以是 　 　．（填一个符合题意的答案）
x ﹣2 1 3 4
y ﹣3 6 2 ▲
9．（2021 惠城区一模）如图1，在正方形ABCD中，点P，Q同时以2cm/s的速度从点A出发，分别沿A﹣B﹣C和A﹣D﹣C的路径匀速运动，到达点C时停止运动，连接PQ，设PQ的长为y，运动时间为x，则y（cm）与x（s）的函数图象如图2所示，当x＝2.5s时，PQ的长是 　　cm．
10．（2024 深圳模拟）已知一个矩形的面积为6，长为x，宽为y．
（1）y与x之间的函数表达式为 　　；
（2）在图中画出该函数的图象；
列表：
x … 1 2 3 4 6 …
y … 6 3 m 1.5 1 …
上面表格中m的值是 　；
描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点；
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象．
（3）若点A（a，b）与点B（a+1，c）是该函数图象上的两点，试比较b和c的大小．
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