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八年级数学下册 预习篇
19.2.2 一次函数
1.一次函数的定义：一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．
2.一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
（1）当，时，仍是一次函数．
（2）当，时，它不是一次函数．
（3）正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
3.一次函数的图象及其画法：
（1）一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．
（2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．
（3）由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．
4.一次函数的性质
（1）当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
（2）当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．
5.一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．
当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．
选择题
1.如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，将沿直线折叠，此时点A落在点D处，与交于点E，且，则所在直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、勾股定理，设点E的坐标为，则，，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式．利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是长方形，，
∴，
设点E的坐标为，则，，
在中，，，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
设所在直线的解析式为，
将点代入中，
得，解得：，
∴所在直线的解析式为．
故选C．
2.已知一次函数（k、b为常数，且）的图象经过点，且与x轴交于点A，与y轴交于点B，将该一次函数向左平移2个单位后得到一次函数（m、n为常数）的图象，则下列关于一次函数的说法，正确的是（ ）
A．该函数图象与y轴交于负半轴 B．该函数图象有可能经过坐标原点
C．该函数图象与x轴交点的横坐标小于 D．该函数图象不一定经过第三象限
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数的图象和性质．根据平移得到，再根据一次函数的图象和性质，进行判断即可．掌握一次函数图象的平移规律，是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图象经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵该一次函数向左平移2个单位后得到一次函数的图象，
∴，
∴的图象过一，二，三象限，与轴交于正半轴，
∵一次函数（k、b为常数，且）的图象经过点，
∴平移后的直线过点，
∵，
∴随的增大而增大，
∴的函数图象与x轴交点的横坐标小于；
综上：选项A，B，D错误，选项C正确．
故选C．
3.在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数和一次函数的函数图像，解题的关键在于对进行分情况讨论，找出符合题意的函数图像即可．
【详解】当时，正比例函数经过第一、三象限，一次函数经过第一、三、四象限；
当时，正比例函数经过第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限；
对照各选项中的图象，只有A符合．
故选：A．
4.已知点，在直线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性即可求解，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
【详解】解：直线的，
随的增大而减小，
和在直线上，且，
，
故选A．
5.下表中，y是x的一次函数，则下列结论正确的是（ ）
x … 0 1 …
y … 5 3 1 …
A．随的增大而增大
B．该一次函数的图象经过第二、三、四象限
C．该一次函数的图象与轴的交点是
D．该一次函数的表达式为
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，以及待定系数法求一次函数的表达式，逐项判断即可．
【详解】由表格可知：函数经过．
设一次函数表达式为：．
将代入表达式得：
解得：
所以：一次函数的表达式为．
A、随的增大而减小，故A错误；
B、该一次函数的图象经过第二、三、四象限，故B正确；
C、该一次函数的图象与轴的交点是，故C错误；
D、该一次函数的表达式为，故D错误．
故选：B．
6.在平面直角坐标系中，直线与关于轴对称，那么对于一次函数，当每增加1时，增加（ ）
A．12 B．6 C．3 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，先求出函数与坐标轴的交点坐标，再运用待定系数法求出的值，即可解决问题．
【详解】解：对于，当 时，；当时，；
∴直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
∴点关于轴的对称点为；
∵直线与关于轴对称，
∴直线经过点和，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴当每增加1时，增加3，
故选：C．
7.已知点，点，点，是关于的一次函数图象上的三点，，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握利用一次函数的图象与性质比较函数值的大小是解题的关键．
由题意知，随着的增大而减小，由，可得，然后作答即可．
【详解】解：∵，，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴，
故选：A．
8.在平面直角坐标系中，将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，直线平移后的解析式有这样的规律“左加右减，上加下减”，熟记一次函数平移规律是解题的关键．
根据平移规律可得，直线向下平移6个单位后得，然后把代入即可求出k的值．
【详解】直线向下平移6个单位
平移后所得解析式为，
平移后的直线正好经过点，
，
解得：
故选：A
填空题
1.已知一次函数经过、两点，，且该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积是4，则k的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数解析式的确定及其与坐标轴围成面积的计算方法，由函数解析式确定与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，然后根据函数图象与坐标轴的面积为4列出方程是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数经过、两点，，
∴随的增大而减小，
∴，
∵在中，
当时，；
当时，，
∴的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，
由题意可得：，解得：（舍去）或．
故答案为：．
2.已知，是一次函数（是常数）的图象上的两点，则 ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】本题考查一次函数的性质，根据k值得到一次函数的增减性是解题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数中，，
∴y随x的增大而增大．
∵，
∴．
故答案为：．
3.一次函数的图像在y轴上的截距是1，且y 随着x的增大而减小，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的截距问题，对于一次函数，其在y轴上的截距是b，据此可得，则．
【详解】解：∵一次函数的图像在y轴上的截距是1，
∴，
∴，
故答案为：．
4.平面直角坐标系中，已知点、，在y轴上确定点P，使得的周长最小，则点P的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称性质、最短距离，画出图形，确定点P的位置是解题的关键．
【详解】解：∵线段的长度是确定的，
∴的周长最小就是的值最小，
如图，作点A关于y轴的对称点C，连接交y轴于点P，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
故答案为．

5.如图，已知，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交直线于点，连接，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ．
【答案】
【分析】此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力由已知可以得到，，，点的坐标分别为：，，，，则点，，，的坐标分别为，，，，由此可推出点，，，的坐标为，，，，．由函数图象和已知可知要求的的坐标是直线和直线的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点，再跟进从而求得结果．
【详解】解：由已知得，，，的坐标为：，，，，
∵分别过点作轴的垂线交直线于点，
∴点，，，的坐标分别为，，，．
由此可推出，，，四点的坐标为，，，，．
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴点，
∴
，
故答案为： ．
解答题
1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1．
(1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________；
(2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值．
【答案】(1)，
(2)当点P运动到时，的值最小，最小为
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，轴对称求线段和最小值；
（1）分别令、求解即可；
（2）点关于x轴的对称点为，连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时，连接BP，此时的值最小，据此求解即可．
【详解】（1）∵点C在线段AB上，且到x轴的距离为1．
∴点C纵坐标为1，
当时，解得，
∴，
当时，解得，
∴，
故答案为：， ；
（2）点关于x轴的对称点为，则，
连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时，
连接BP，此时的值最小，
设直线的表达式为
将点和点分别代入上式，得
解得，
∴直线的表达式为
当时，解得，
∴点P的坐标为
当点P运动到时，的值最小，最小值为．
2.如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点A的坐标为，直线与直线相交于点C，点C的横坐标为1．
(1)求直线的函数表达式；
(2)在x轴上是否存在一点E，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)直线的函数表达式为；
(2)点的坐标为或或．
【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质．
（1）先求得，再运用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）过点作轴于点，则，利用勾股定理可得，设，则，分两种情况：当时，当时，分别求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：直线 与直线 相交于点，点的横坐标为1，
，
设直线的函数表达式为，把点、的坐标代入，
直线的函数表达式为；
（2）解：在轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形．
如图2，过点作轴于点，测．
，．
在中，．
设，则．
当时，，
解得：或，
∴或；
当时，
轴，即，
，即，
．
综上所述，在轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形；点的坐标为或或．
3.已知如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有，，三点，其中点坐标为，点坐标为．

(1)请根据点，的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，判断的形状，并说明理由．
(2)如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于另一点，连接，，则与的关系为____________，点的坐标为______．
(3)已知轴上有一藏宝地点，到点和点的距离之和最短，求点的坐标．
【答案】(1)图见解析，直角三角形，理由见解析
(2)，与关于所在直线对称（或成轴对称），
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理与逆定理，一次函数的综合应用．
（1）根据点A和点B的坐标可建立坐标系，再根据勾股定理的逆定理判断的形状；
（2）由作图可知，，，证明，得到，可得，与关于所在直线对称（或成轴对称），根据坐标系可得D点坐标；
（3）点关于轴的对称点为设表达式为：，利用待定系数法得解析式，求得直线与y轴交点的坐标即可．
【详解】（1）解：建系如图

∵，，
∴
∴是直角三角形；
（2）解：由作图可得，，，
又∵是公共边，
∴，
∴，
∵，
∴，与关于所在直线对称（或成轴对称），
根据坐标系可得；
（3）解：点关于轴的对称点为
设表达式为：，
代入和得
解得，，
∴，
令得，
∴．
4.已知在平面直角坐标系中三点、 ．请问答如下问题：
(1)在坐标系内画出，并作出关于x轴对称的；
(2)在x轴上画出点P，使最小（不用写作法．保留作图痕迹）
(3)在（2）的条件下，最小值为_______；
(4)在y轴上有一点Q，且值最大，则点Q的坐标为______．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据点、 即可在坐标系内画出，根据轴对称的性质即可作出关于x轴对称的；
（2）根据点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即可使最小；
（3）结合（2），利用网格根据勾股定理即可求出最小值；
（4）延长交y轴于点Q，可得值最大，进而可得点Q的坐标．
【详解】（1）解：如图，，即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）最小值为，
故答案为：；
（4）如图，延长交y轴于点Q，此时值最大，点Q即为所求；
∵、，
∴设直线的解析式为，
，
∴ ，
∴直线的解解析式为，
当时， ，
∴点Q的坐标为．
故答案为：（0，）．
5.已知y与x成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设点在这个函数的图象上，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求正比例函数关系式，
（1）设关系式为，再将数值代入求值即可；
（2）将点代入关系式，求出解即可．
【详解】（1）∵y与x成正比例，
∴设．
∵当时，，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）∵点在函数的图象上，
∴，
∴．
6.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C．

(1)求m和b的值；
(2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动（点P不与点D，点A重合）．设点P的运动时间为秒．若点P在线段DA上，且的面积为10，求的值；
(3)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与直线，直线交于点M、N，若线段，请求出此时点N的坐标．
【答案】(1)、
(2)
(3)点N的坐标为或．
【分析】（1）将点代入，求出m的值，再将点C的坐标代入，即可求得b的值；
（2）先分别求得、、，由题意可得，点P的坐标为，则，再由三角形的面积公式列方程求解即可；
（3）设点N的坐标为，则点M的坐标为，根据，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：将点代入得，，
∴，即，
把点代入得，，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
当时，，
当时，，即，
∴、，
由题意可得，点P的坐标为，则，
∵的面积为10，
∴，
解得；
（3）解：∵，分别与直线，直线交于点M、N，

∴设点N的坐标为，则点M的坐标为，
∵，
∴，解得或，
∴点N的坐标为或．
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八年级数学下册 预习篇
19.2.2 一次函数
1.一次函数的定义：一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．
2.一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
（1）当，时，仍是一次函数．
（2）当，时，它不是一次函数．
（3）正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
3.一次函数的图象及其画法：
（1）一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．
（2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．
（3）由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．
4.一次函数的性质
（1）当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
（2）当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．
5.一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．
当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．
选择题
1.如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，将沿直线折叠，此时点A落在点D处，与交于点E，且，则所在直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2.已知一次函数（k、b为常数，且）的图象经过点，且与x轴交于点A，与y轴交于点B，将该一次函数向左平移2个单位后得到一次函数（m、n为常数）的图象，则下列关于一次函数的说法，正确的是（ ）
A．该函数图象与y轴交于负半轴 B．该函数图象有可能经过坐标原点
C．该函数图象与x轴交点的横坐标小于 D．该函数图象不一定经过第三象限
3.在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4.已知点，在直线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5.下表中，y是x的一次函数，则下列结论正确的是（ ）
x … 0 1 …
y … 5 3 1 …
A．随的增大而增大
B．该一次函数的图象经过第二、三、四象限
C．该一次函数的图象与轴的交点是
D．该一次函数的表达式为
6.在平面直角坐标系中，直线与关于轴对称，那么对于一次函数，当每增加1时，增加（ ）
A．12 B．6 C．3 D．1
7.已知点，点，点，是关于的一次函数图象上的三点，，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8.在平面直角坐标系中，将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
填空题
1.已知一次函数经过、两点，，且该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积是4，则k的值是 ．
2.已知，是一次函数（是常数）的图象上的两点，则 ．（填“>”“<”或“=”）
3.一次函数的图像在y轴上的截距是1，且y 随着x的增大而减小，则 ．
4.平面直角坐标系中，已知点、，在y轴上确定点P，使得的周长最小，则点P的坐标是 ．
5.如图，已知，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交直线于点，连接，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ．
解答题
1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1．
(1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________；
(2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值．
2.如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点A的坐标为，直线与直线相交于点C，点C的横坐标为1．
(1)求直线的函数表达式；
(2)在x轴上是否存在一点E，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．
3.已知如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有，，三点，其中点坐标为，点坐标为．

(1)请根据点，的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，判断的形状，并说明理由．
(2)如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于另一点，连接，，则与的关系为____________，点的坐标为______．
(3)已知轴上有一藏宝地点，到点和点的距离之和最短，求点的坐标．
4.已知在平面直角坐标系中三点、 ．请问答如下问题：
(1)在坐标系内画出，并作出关于x轴对称的；
(2)在x轴上画出点P，使最小（不用写作法．保留作图痕迹）
(3)在（2）的条件下，最小值为_______；
(4)在y轴上有一点Q，且值最大，则点Q的坐标为______．
5.已知y与x成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设点在这个函数的图象上，求a的值．
6.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C．

(1)求m和b的值；
(2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动（点P不与点D，点A重合）．设点P的运动时间为秒．若点P在线段DA上，且的面积为10，求的值；
(3)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与直线，直线交于点M、N，若线段，请求出此时点N的坐标．
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