资源简介

2023—2024学年上学期九年级期末试题
数学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内．
1. 下列函数中，关于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，，，，下列四个选项，正确的是（　　）
A. B. C. D.
3. 如图，，，，则的长是（ ）
A 3 B. 4 C. 6 D. 10
4. 如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，不能判定和相似的条件是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若点，，在反比例函数（k是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 关于一元二次方程（为常数）的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定根情况
8. 在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中，，表示电路的开关，，，表示小灯泡．当随机闭合开关，，中的两个时，有两个灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为，对角线交双曲线于点D，轴，则k的值为（ ）．
A. 6 B. C. 12 D.
10. 如图，平面直角坐标系中，，，点P为线段上一个动点，连接，以为边在第一象限构造正方形，连接，当有最小值时，点Q的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若是关于x的方程的解，则b的值等于_____．
12. 不透明的口袋中装有8个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有________个．
13. 如图，小明用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的面积为，则影子的面积为______ ．
14. 已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围为______．
15. 如图，等腰三角形中，，该三角形的两条高与交于点，连接，点为射线上一个动点，连接，若，当与相似时，的长为______．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）求值：已知，求的值；
（3）解方程：．
17. 如图，是用棱长为1cm的小正方体组成的简单几何体．
（1）这个几何体的体积是______；
（2）请画出这个几何体的三视图；
（3）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
18. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，其对称轴与x轴交于点D，E为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在下图中作出该函数的图象并回答：
①该抛物线的对称轴为直线______；
②该抛物线的最大值为______；
（3）①若，则______；
若无实数根，则t取值范围是______；
②若，则x的取值范围是______；
③若，则x的取值范围是______．
19. 如图，东西走向的水平海岸线上有A，B两个码头，小岛C在码头A正北方向20海里处，轮船行驶到D时观测到小岛C在船的西南方向50海里处，码头B在船的南偏东方向上．求出码头A和码头B的距离（结果保留整数，参考数据：，，，）．
20. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，交反比例函数的图象于，两点，连接，．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）将直线向下平移个单位长度，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求出的值．
21. 如图，在中，为边上的高，点为上不与，重合的一个动点，点为的中点，过点作，交于点，交于点，射线交于点，射线交于点．连接，．
（1）如图1，若为等腰直角三角形，，则四边形的形状为______；
（2）如图2，若为一般三角形，判断四边形的形状并说明理由；
（3）在（2）的情况下，若，当四边形的面积与的面积相等时，求出的长．
22. 你见过“倒过来桥”吗？位于我国湖南省邵阳洞口县的淘金大桥，大桥的位置在一个山谷当中，桥全长70米，这座桥桥面是水平的，而桥底则是近似为抛物线，桥面和桥底用若干混凝土石柱竖直支撑．小明在研究淘金大桥时测得当距离桥头35米时，桥面和桥底的支撑石柱最长，为20米，小明以桥面为x轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥底的函数解析式为．
（1）求该函数解析式；
（2）思考：
①若该桥平均分布9根石柱支撑，求离桥头最近的石柱的长度；
②若石柱的长度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有多远？
23. 综合与实践：
在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠．
矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N．
【问题提出】
（1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，当时，直接写出的长．2023—2024学年上学期九年级期末试题
数学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内．
1. 下列函数中，关于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数，其中是自变量”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义逐项判断即可得．
【详解】解：解：A、是一次函数，则此项不符合题意；
B、是一次函数，则此项不符合题意；
C、是二次函数，则此项符合题意；
D、中是分式，不是二次函数，则此项不符合题意；
故选：C．
2. 在中，，，，下列四个选项，正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】解：如图，根据勾股定理得：BC＝，
∴，，，，
∴C正确，A、B、D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键．
3. 如图，，，，则的长是（ ）
A 3 B. 4 C. 6 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可计算出的长．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．
4. 如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从该几何体的俯视图中得到：该几何体有两层，两列组成，然后结合图形作出左视图即可．
【详解】解：从该几何体的俯视图中得到：该几何体有两层，两列组成，
该几何体的左视图是：
故选：D．
【点睛】题目主要考查几何体的俯视图及左视图，熟练掌握三视图的作法是解题关键．
5. 如图，不能判定和相似的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可．
【详解】解：A.由知，且，所以可判断和相似，故选项A不符合题意；
B.∵，且，所以可判断和相似，故选项B不符合题意；
C.∵，且，所以可判断和相似，故选项C不符合题意；
D.由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意；
故选：D．
6. 若点，，在反比例函数（k是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解题关键．
首先判断，得在每一象限y随x的增大而增大，再根据点所在的象限判断函数值的大小．
【详解】解：∵，
∴，
∴此函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7. 关于一元二次方程（为常数）的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定根的情况
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的判别式，得出，再根据平方的非负性，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程（为常数）的判别式为：，
又∵，
∴，
∴，
∴一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根．
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系．一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
8. 在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中，，表示电路的开关，，，表示小灯泡．当随机闭合开关，，中的两个时，有两个灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列表法与画树状图求概率，采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．
【详解】列表如下：
共有6种情况，必须闭合开关、有两个灯泡发光，
即能让灯泡发光的概率是，
故选B．
9. 如图，平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为，对角线交双曲线于点D，轴，则k的值为（ ）．
A. 6 B. C. 12 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质、反比例函数图像上点的坐标特征等知识点，解直角三角形求出D的坐标是解此题的关键．
过B作轴于M，根据菱形的性质得出,即可得出，解直角三角形求得，进一步求得，通过证得进而求得D的坐标，然后运用待定系数法求得反比例函数即可解答．
【详解】解：如图：过B作轴于M，
∵四边形是菱形，
∴，
∴,
∵点B的纵坐标为,
∴,
∴,
∵轴，轴，
∴,,
∴,
∴，即，
∴，
∴，
∵反比例函数的图像经过点，
∴．
故选：D．
10. 如图，平面直角坐标系中，，，点P为线段上一个动点，连接，以为边在第一象限构造正方形，连接，当有最小值时，点Q的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质等相关知识，求出当时的值最小是解题关键．
过点M作轴于点N，过点Q作轴于点E，可证明，，所以，，设，则， ，在中，由勾股定理可得，，则当时，的值最小，由此可求出的长为3，进而可得出点Q的坐标．
【详解】解：如图，过点M作轴于点N，过点Q作轴于点E，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
设，则， ，
在中，由勾股定理可得，，
∴当时，的最小值为2，即的最小值为，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若是关于x的方程的解，则b的值等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义：满足一元一次方程的未知数的值叫一元一次方程的解．
把代入方程，即可得到一个关于的方程，解方程即可求解．
【详解】把代入方程，
得，
整理，得
解得．
故答案为：．
12. 不透明的口袋中装有8个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有________个．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：设口袋中白球大约有x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解，
估计口袋中白球大约有12个，
故答案为：12．
13. 如图，小明用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的面积为，则影子的面积为______ ．
【答案】100
【解析】
【分析】此题主要考查了位似四边形．熟练掌握位似图形性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
根据矩形与矩形位似，证明，得到，得到，根据纸片的面积为，即得．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：100．
14. 已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键．
由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答．
【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为直线：，
当时，,
所以抛物线与y轴的交点坐标为，
又∵抛物线与线段恰有一个公共点，
则当时，将顶点坐标代入函数解析式得：,解得；
当时，将坐标代入函数解析式得：,解得；
将坐标代入函数解析式得：，解得：，即，
综上所述：或．
故答案为：或．
15. 如图，等腰三角形中，，该三角形的两条高与交于点，连接，点为射线上一个动点，连接，若，当与相似时，的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质；分两种情况讨论，①时，；②时，，分别根据相似三角形的性质，构造方程，解方程，即可求解．
【详解】解：∵，该三角形的两条高与交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，设，
在中，，
解得：，即，
又，
如图所示，
①当时，；
∴，
∴，
解得：；
②当时，，
∴，
∴，
解得：，
综上所述，或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）求值：已知，求的值；
（3）解方程：．
【答案】（1）；（2）；（3），
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，比例的性质，解一元二次方程；
（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）设，，代入代数式，即可求解；
（3）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：（1）原式；
（2）设，，
则；
（3）∵，，，
∴，
∴，
∴，；
17. 如图，是用棱长为1cm的小正方体组成的简单几何体．
（1）这个几何体的体积是______；
（2）请画出这个几何体的三视图；
（3）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
【答案】（1）9 （2）见解析
（3）4
【解析】
【分析】（1）利用小正方体的体积乘以个数即可求出几何体的体积；
（2）画出三视图即可；
（3）根据俯视图确定位置，主视图确定个数，进行求解即可．
小问1详解】
解：由图可知，几何体由9个棱长为1cm的小正方体组合而成，
∴几何体的体积是；
故答案为：9；
【小问2详解】
解：画出三视图，如图所示：
【小问3详解】
解：如图，
根据主视图和俯视图，可以确定几何体中小正方形的个数最多为：，
∴最多可以再添加个小正方体；
故答案为：．
【点睛】本题考查画由小正方体堆砌而成的几何体的三视图，以及根据三视图确定小正方体的个数．熟练掌握三视图，是解题的关键．
18. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，其对称轴与x轴交于点D，E为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在下图中作出该函数的图象并回答：
①该抛物线的对称轴为直线______；
②该抛物线的最大值为______；
（3）①若，则______；
若无实数根，则t的取值范围是______；
②若，则x的取值范围是______；
③若，则x的取值范围是______．
【答案】（1）；
（2）①；②4；
（3）①0或2；； ②；③或．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
（1）设抛物线的表达式为：，将的坐标代入求出a的值，即可得出函数表达式；
（2）将函数表达式化为顶点式，即可解答；
（3）①求出当时，自变量的值即可；根据，得出，即可解答；②求出当时自变量的值，结合图象即可得出结论；求出③当时和当时，自变量的值，结合图象，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设抛物线的表达式为：，
将的坐标代入上式得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：画出函数图象如图所示：
∵，
∴该抛物线对称轴为直线；函数值最大值为4；
故答案为：，4；
【小问3详解】
解：①当时，，
解答：，
∵，
∴，
当时，无实数根，
即当时，无实数根，
故答案为：0或2；；
②当时，，
解得：，
由图可知当时，，
故答案为；
③当时，，
解得：，，
当时，，
解得：，
由图可知，当或时，；
故答案为：或．
19. 如图，东西走向的水平海岸线上有A，B两个码头，小岛C在码头A正北方向20海里处，轮船行驶到D时观测到小岛C在船的西南方向50海里处，码头B在船的南偏东方向上．求出码头A和码头B的距离（结果保留整数，参考数据：，，，）．
【答案】74海里．
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、方向角概念、锐角三角函数的定义等知识点，正确作出辅助线构建背靠背的直角三角形是解题的关键．
如图，过点D作，垂足为E，过点C作，垂足为F．然后解直角三角形求得，进而得到，证明四边形AEFC为矩形求得海里，即海里，最后在中解直角三角形以及线段的和差即可解答．
【详解】解：如图，过点D作，垂足为E，过点C作，垂足为F．
在中，，，，
∴海里．
∵为等腰直角三角形，
∴海里．
根据题意得：四边形AEFC为矩形，
∴海里．
∴海里，即海里．
在中，，，
∴，，
∴海里．
答：码头A和码头B的距离AB约为74海里．
20. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，交反比例函数的图象于，两点，连接，．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）将直线向下平移个单位长度，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求出的值．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合；
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的的范围即可；
（3）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵在反比例函数图象上，
∴，，
∵，在一次函数的图象上，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为：；
【小问2详解】
根据图像，不等式的解集为：或；
【小问3详解】
设直线向下平移个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为，
联立两个函数得：，
整理得：，
，
∴，
或，
因为点，
∴不符合题意舍去．
∴．
21. 如图，在中，为边上的高，点为上不与，重合的一个动点，点为的中点，过点作，交于点，交于点，射线交于点，射线交于点．连接，．
（1）如图1，若为等腰直角三角形，，则四边形的形状为______；
（2）如图2，若为一般三角形，判断四边形形状并说明理由；
（3）在（2）的情况下，若，当四边形的面积与的面积相等时，求出的长．
【答案】（1）矩形； （2）平行四边形，理由见解析；
（3）4
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质与判定；
（1）先证是等腰直角三角形，可得，，由线段垂直平分线的性质可得，由平行线分线段成比例可证，由矩形的判定可求解；
（2）证明，根据相似三角形的性质可得，由平行四边形的判定可得结论；
（3）设，则，，根据题意建立方程，即可求解．
【小问1详解】
解：点为的中点，
，
为等腰直角三角形，，，
，，
，
，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
∴，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形．
∵，
∴；，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴当时，四边形与面积相等．
22. 你见过“倒过来的桥”吗？位于我国湖南省邵阳洞口县的淘金大桥，大桥的位置在一个山谷当中，桥全长70米，这座桥桥面是水平的，而桥底则是近似为抛物线，桥面和桥底用若干混凝土石柱竖直支撑．小明在研究淘金大桥时测得当距离桥头35米时，桥面和桥底的支撑石柱最长，为20米，小明以桥面为x轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥底的函数解析式为．
（1）求该函数的解析式；
（2）思考：
①若该桥平均分布9根石柱支撑，求离桥头最近的石柱的长度；
②若石柱的长度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有多远？
【答案】（1）
（2）①7.2米
②21米或49米
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是关键．
（1）依据题意，用待定系数法进行计算可得抛物线的解析式；
（2）①依据题意，由桥长70米，该桥平均分布9根石柱支撑，每两根石柱间的距离是(米)，再结合（1），当时求出y的值即可；
②结合（1），当时，求出x的值即可得解．
【小问1详解】
解：由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的解析式为，将代入得：
，
解得，
∴，
答：该函数图象的解析式为；
【小问2详解】
解：①若该桥平均分布9根石柱支撑，则每根石柱的距离为（米），
即离桥头最近的石柱桥面位置距桥头为7米，
在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为7，代入解析式可得，
当时，，
∴离桥头最近的石柱长度为7.2米．
②若石柱的高度为16.8米，由题意得，
当时，，
解得或，
∴若石柱的高度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有21米或49米．
23. 综合与实践：
在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠．
矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N．
【问题提出】
（1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，当时，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）或．
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，由折叠可知：， 等量代换，即可得证；
（2）同（1）的方法证明即可；
（3）分两种情况讨论：①当点在线段上时，证明得出，，进而证明点与点重合；即可得出；②当点在的延长线上时，由可得：， 得出，设，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴
∴
由折叠可知：，
∴
故答案为：．
（2）证明：四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴；
（3）当时，线段的长为或．
①当点在线段上时，如图1，
由可得：，
∴，
∴，，
∴，
∵ 折叠可得，又在上，则
∴点与点重合，
∴；
②当点在的延长线上时，如图2，
由可得：，
∴，即，
则，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得：，
∴．
综上所述：当时，线段的长为或．

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