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第21章 代数方程（基础、典型、易错）分类专项训练
【基础】
一、单选题
（2022春·上海·八年级校考期中）
1．下列说法正确的是（ ）
A．是二项方程 B．是无理方程
C．是二元二次方程 D．是分式方程
（2022春·上海奉贤·八年级校考期中）
2．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）
A．； B．； C．； D．．
（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）
3．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
（2023春·八年级单元测试）
4．下列方程组中，为二元二次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
（2022春·上海奉贤·八年级校联考期中）
5．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 ．
（2022春·上海·八年级阶段练习）
6．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解是 ．
（2022春·上海·八年级期中）
7．当k＝ 时，方程会产生增根．
（2022春·上海·八年级专题练习）
8．方程的根是 ．
（2022春·上海·八年级专题练习）
9．方程的解是
三、解答题
（2022春·上海·八年级开学考试）
10．解方程：．
（2022春·上海奉贤·八年级校考阶段练习）
11．解方程：
（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）
12．解方程：
（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）
13．解方程：
（2022春·上海·八年级期中）
14．解方程组：
（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）
15．古语有“四方上下曰宇，古往今来曰宙”，自古以来，中华民族对于宇宙的探索从未停歇．在2022年6月5日，神舟十四号成功发射，而即将到来的7月，问天实验舱也将发射升空．HYDZ公司的G项目组承担了实验舱某个电子设备的研发工作，在顺利完成一半研发工作时，由于受疫情影响，开发效率被迫减缓为原来的60%，结果最后比原计划多了10天完成任务，问：该电子设备原计划的研发时间为多少天．
【典型】
一、单选题
（2020春·上海静安·八年级校考期中）
16．下列方程组中，属于二元二次方程组的为（　　）
A． B． C． D．
（2020春·上海静安·八年级校考期中）
17．下列方程中,有实数解的方程的是( )
A． B． C． D．
（2019春·八年级课时练习）
18．方程组有两组不同的实数解，则（ ）
A．≥ B．＞ C．＜＜ D．以上答案都不对
（2019春·八年级单元测试）
19．下列各对未知数的值中，是方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
（2019春·上海松江·八年级统考期末）
20．下列说法正确的是（ ）
A．是二项方程 B．是二元二次方程
C．是分式方程 D．是无理方程
（2019春·八年级课时练习）
21．方程组的解有（ ）组.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
（2019春·上海·八年级校考期中）
22．方程 二项方程（填“是”或不是）
（2019春·上海·八年级校考期中）
23．写出一个以 为解的二元二次方程，可以是
（2021春·上海宝山·八年级统考期末）
24．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 ．
（2019春·八年级课时练习）
25．二元二次方程2x +3xy－6y +x－4y=3中，二次项是 ，一次项是 ，常数项是 .
（2019春·八年级课时练习）
26．解方程组 的解为
三、解答题
（2019春·上海浦东新·八年级统考期末）
27．解方程：.
（2019春·上海徐汇·八年级上海市田林第三中学校考阶段练习）
28．解方程组：
（2019春·上海浦东新·八年级校联考期中）
29．已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解.
【易错】
一、选择题（共3小题）
（2022春 上海期中）
30．下列方程中，二项方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2022春 徐汇区校级期中）
31．对于二项方程（，），当为偶数时，已知方程有两个实数根，那么一定（ ）
A． B． C． D．
（2022春 杨浦区校级期中）
32．下列方程中，是二元二次方程的为（ ）
A．x22y1 B．y1 C．y2x1 D．y22y70
二、填空题（共5小题）
（2022春 浦东新区校级期末）
33．若关于x的方程无实根，则m的取值范围是 ．
（2022春 宝山区校级月考）
34．若关于x的方程有增根，则m的值是 ．
（2022春 浦东新区校级期中）
35．方程组的解只有一组，则的取值范围是 ．
（2022春 杨浦区校级期中）
36．在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则 ．
（2022春 杨浦区校级期中）
37．方程（x3）0的解是 ．
三、解答题（共5小题）
（2022春 闵行区校级期末）
38．解方程组：．
（2022春 浦东新区校级期末）
39．解方程：
（2022春 浦东新区校级期末）
40．解方程组：
（2022春 上海期中）
41．解方程组：．
（2022春 闵行区校级月考）
42．解方程组：
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据方程的定义，无理方程的定义，二元二次方程的定义，分式方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、方程含有两个未知数项，没有非零常数项，不是二项方程，故本选项不符合题意；
B、根号内没有未知数，不是无理方程，故本选项不符合题意；
C、方程是二元二次方程，故本选项符合题意；
D、分母中没有未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了方程、无理方程、二元二次方程、分式方程的定义等知识点，注意：根号内含有未知数的方程，叫无理方程，分母中含有未知数的方程，叫分式方程．
2．A
【分析】把代入原方程，得出，再进行整理即可．
【详解】解：整理，得
，
把代入方程得：
，
整理得：，
故选 A．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程．
3．B
【分析】A利用二次根式的性质解题；B利用立方根的性质解题；C利用去分母的方法解决问题；D利用二次根式的性质解决问题．
【详解】解：A中根据题目条件得，∴x=1，此时方程没有实数根；
B中是三次方程，∴x的取值范围是全体实数，∴此方程有解；
C中去分母得1=0，∴此方程无解；
D∵≥0，∴+3＞0，∴此方程没有实数根．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，需要同学们仔细掌握．
4．D
【分析】根据二元二次方程组的定义进行判断即可．
【详解】解：A、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A选项不正确；
B、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确；
C、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C选项不正确；
D、两个方程都是二元二次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元二次方程组：有两个二元二次方程或一个二元二次方程，一个一元一次方程所组成的方程组称为二元二次方程组．
5．y2﹣y﹣2＝0
【分析】设，则原方程化为y﹣＝1，再方程两边都乘y即可．
【详解】解：，
设，则原方程化为：
y﹣＝1，
方程两边都乘y，得y2﹣2＝y，
即y2﹣y﹣2＝0，
故答案为：y2﹣y﹣2＝0．
【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．
6．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【详解】解：∵一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（2，﹣1），
∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
7．6或﹣4．
【分析】由题意根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，进而把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．
【详解】解：分式方程去分母得：2（x﹣1）+3（x+1）＝k，
由分式方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，
把x＝1代入整式方程得：k＝6；
把x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣4，
综上，k的值为6或﹣4时，方程会产生增根，
故答案为：6或﹣4．
【点睛】本题考查分式方程的增根，注意掌握增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．
【分析】首先把方程两边同时平方，然后解一元二次方程，最后要验根．
【详解】解：，
，
，
，
经检验是原方程的根，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理方程的解法，把方程两边同时平方是解题的关键，要注意解答后一定要检验．
9．．
【分析】首先把方程两边同时平方，然后解一元二次方程，最后要验根．
【详解】解： ，
则有且，
即：,
，
，
，
(舍)，
是原方程的根，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理方程的解法，把方程两边同时平方是解题的关键，要注意解答后一定要检验．
10．x＝﹣4
【分析】先去分母，然后解整式方程，最后检验，进而得到正确答案．
【详解】解：去分母，得（x+2）2+x2﹣4＝16，
整理，得x2+2x﹣8＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣4，
经检验x1＝2是增根，舍去；x2＝﹣4是原方程的根，
所以原方程的根是x＝﹣4．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
11．，
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
，
经检验：，是原方程的根
所以，原方程的根是，．
【点睛】本题考查解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．
【分析】移项后两边平方，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再把所得的结果进行检验即可．
【详解】解：
（x-3）（4x-13）=0，
解得：，
经检验：是原方程的增根，舍去
所以，原方程的根是．
【点睛】本题考查解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解题的关键，在计算时要注意检验．
13．
【分析】把一元二次方程化为方程的一般形式，再按因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：，
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用十字乘法分解因式是解题的关键．
14．，
【分析】先把方程组中的第一个方程转化为两个二元一次方程，再和方程组中的第二个方程组成二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：，
由①得：（x＋2y）（x＋3y）＝0，
∴x＋2y＝0③或x＋3y＝0④,
由②③，②④联立得方程组，,
解方程组，得,
解方程组，得,
所以原方程组的解为：，．
【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，把二次方程转化为两个一次方程，是解决此类题目常用的办法．解决本题亦可变形组中的一次方程，代入二次方程先求出其中一个未知数的值，再求另一个未知数的值．
15．该电子设备原计划的研发时间为30天
【分析】设该电子设备原计划的研发时间为x天，则实际完成后一半研发工作的时间为天，根据实际完成后一半研发工作时的工作效率为原计划工作效率的60%，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设该电子设备原计划的研发时间为x天，则实际完成后一半研发工作的时间为天，
依题意得：60%＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意,
答：该电子设备原计划的研发时间为30天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
16．D
【分析】根据一元一次方程组的定义对A进行判断；根据整式方程组的定义对B、C进行判断；根据二元二次方程组的定义对D进行判断．
【详解】解：A、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A选项不正确；
B、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确；
C、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C选项不正确；
D、有一个方程是二元二次方程，另一个是一元一次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查二元二次方程组：有两个二元二次方程或一个二元二次方程，一个一元一次方程所组成的方程组称为二元二次方程组．
17．C
【分析】利用二次根式的非负性对A进行判断；利用根的判别式的意义对B进行判断；解无理方程对C进行判断；解分式方程对D进行判断．
【详解】解：A、移项得：，∵≥0，所以原方程没有实数解，所以A选项错误；
B、因为△＝22 4×3＝ 8＜0，所以原方程没有实数解，所以B选项错误；
C、、移项得：，方程两边同时平方得：，化为一般形式为：，解得x1=1，x2=-3，经检验x1=1时不满足原方程，所以x=-3，所以C选项正确；
D、解方程得x=2，经检验当x=2时分母为零，所以原方程无实数解，所以D选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．也考查了一元二次方程和分式方程．
18．B
【分析】将y=x 与y=x+m函数联立，根据解的个数求解即可．
【详解】方程组有两组不同的实数解，两个方程消去y得，，需要△＞0，即1+4m＞0，所以＞,故选B.
【点睛】本题考查了二元二次方程，用到的知识点是加减消元法解方程组，根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是根据根的判别式求出m的值．
19．A
【分析】此题根据方程组的解的定义，运用代入排除法即可作出选择．
【详解】把四个选项的答案分别代入方程组，发现只有A中的答案适合两个方程．
故选A．
【点睛】本题主要考查了方程组的解的定义．
20．A
【分析】根据整式方程、分式方程和无理方程的概念逐一判断即可得．
【详解】A．方程是一般式，且方程的左边只有2项，此方程是二项方程，此选项正确；
B．x2y y＝2是二元三次方程，此选项错误；
C．是一元一次方程，属于整式方程，此选项错误；
D．是一元二次方程，属于整式方程；
故选A．
【点睛】本题主要考查无理方程，解题的关键是掌握整式方程、分式方程和无理方程的定义．
21．D
【分析】由①+②得：2x =18，解出x的值，分别代入①求出y即可．
【详解】解：，①+②得：2x =18,解得：;
把x=3代入①得：，
把x=-3代入①得：
∴方程组的解为：，故选D.
【点睛】本题考查了二元二次方程组和解一元二次方程的应用，关键是能把方程组转化成一元二次方程．
22．不是
【分析】根据二项方程的定义判断即可.
【详解】解：根据二项方程的定义可知，方程不是二项方程，
故答案为不是.
【点睛】本题考查了二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0．
23．（答案不唯一）
【分析】把代入x与y的任意一个有意义的二次整式计算得出其值，再根据其值列出方程便可.
【详解】解：∵
∴以 为解的二元一次方程组为
故答案为（答案不唯一）
【点睛】此题考查高次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值，根据解写方程应先列算式再列方程．
24．
【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，，
故答案为：
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
25． 2x，3xy，－6y x，－4y －3.
【分析】根据二元二次方程的一般形式：ax+bxy+cy+dx+ey+f=0解答即可.
【详解】二元二次方程2x +3xy－6y +x－4y=3中，二次项是: 2x，3xy，－6y;一次项是: x，－4y;常数项是:-3,故答案为 (1). 2x，3xy，－6y (2). x，－4y (3). －3.
【点睛】本题考查了二元二次方程的一般形式，二元二次方程的一般形式是：ax+bxy+cy+dx+ey+f=0，在一般形式中bxy叫二次项，ax,cy,dx,ey叫一次项，f是常数项．
26．
【分析】首先把方程②变形为y=，然后利用代入法消去y，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x，然后就可以求出y，从而求解．
【详解】解：，
由②得:y=③　　　　　　　　　　　
把③代入①得:x2-+4()2+x--2=0.
整理得:4x2-21x+27=0
∴x1=3　 x2=.
把x=3代入③　得:y=1
把x=代入④　得:y=.
∴原方程组的解为:
【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
27．
【分析】先移项，再两边平方，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：移项得：，
两边平方得：，
整理得：，
解得：，，
经检验不是原方程的解，舍去，
∴是原方程的解.
【点睛】本题考查了解无理方程的应用，解此题的关键是能把无理方程转化成有理方程，注意：解无理方程一定要进行检验．
28．
【分析】由第一个等式可得x（x+y）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y）=9可得出x和y的值．
【详解】∵x(x+y)=0，
①当x=0时,(x+2y) =9，
解得：y= ,y = ；
②当x≠0，x+y=0时，
∵x+2y=±3，
解得： 或 .
综上可得,原方程组的解是 .
【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.
29．,当时 ;当时
【分析】联立方程组，△＝0即可求m的值，再将m的值代入原方程组即可求方程组的解；
【详解】解：
把②代入①后计算得，
∵方程组有两组相等的实数解，
∴△＝（12m）2 4（2m2+1） 12＝0，
解得：，
当时，解得
当时，解得
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．
30．C
【分析】如果一元n（n是正整数）次方程的一边只含有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是0，这样的方程就叫做二项方程，根据定义判断即可．
【详解】解：A．有三项，不符合二项方程定义，故选项不合题意；
B．不是二项方程，故选项不符合题意；
C．可变为，符合二项方程定义．故选项符合题意；
D．是分式方程，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的定义是求解本题的关键．
31．A
【分析】根据n为偶数时，方程有两个实数根，得出 ＞0即可．
【详解】，
可得：xn＝ ，
因为当为偶数时，已知方程有两个实数根，
所以 ＞0，
所以ab＜0，
故选：A．
【点睛】此题考查高次方程的问题，关键是根据n为偶数时，方程有两个实数根得出ab的范围．
32．A
【分析】根据二元二次方程依次判断即可．
【详解】解：∵x2+2y=1含两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，
∴A符合题意．
∵y=-1未知数在分母上，是分式方程，
∴B不合题意．
∵y=-2x+1的未知数次数是1，不是二元二次方程，
∴C不合题意．
∵y2+2y-7=0含1个未知数，不是二元二次方程，
∴D不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二元二次方程的定义，理解二元二次方程的条件是求解本题的关键．
33．m＜2
【分析】将配方可得，于是，则当m＜2时方程无实数解；
【详解】解：∵
∴
∴当m＜2时，方程无实根，
故答案为：m＜2；
【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式，不等式的性质，掌握平方的非负性是解题关键．
34．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【详解】解：方程两边都乘，得
∵方程有增根，
∴最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，解得．
故答案为：．
【点睛】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
35．
【分析】根据条件表示方程组的解，再求的范围．
【详解】解：，
由，得或，
，．
当时，代入得：，
原方程组的一组解为：，
当时，代入得：，
原方程只有一组解，
无解，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元二次方程组的解，根据第一个方程，求得，是解题的关键．
36．
【分析】根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
解得：，
∵分式方程产生增根，
∴，
把代入中，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
37．
【分析】先根据可得或，求出的值，再代入方程进行检验即可得．
【详解】解：，
或，
解得或，
当时，无意义，舍去，
则方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解无理方程，注意被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．
38．，
【分析】由得：，把代入中可得的值，代入中可求出解．
【详解】解：由得：
，
把代入中得：
，
解得：，，
当时，，
当时，，
方程组的解为：，．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，降次消元是解本题的关键．
39．无解
【分析】首先两个二次根式要有意义，则可得满足条件的x不存在，因而方程无解．
【详解】由题意知：，即，此不等式组无解，
所以原方程无解．
【点睛】本题考查了解无理方程，解含二次根式的无理方程时，先考虑被开方数非负，确定x的取值范围，再通过两边平方，化无理方程为有理方程．
40．，
【分析】① ②×2得关于x与y的二元一次方程，再用代入法求解即可．
【详解】解:
① ②×2得：③
由③得：，代入②整理得：，
解得：，，
把y的值分别代入得：，，
所以方程组的解为：，．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，与解一元二次方程组相同，有代入消元法与加减消元法两种方法，只是消元后得到的是一元二次方程而已．
41．或
【分析】由第一个方程可得，然后再代入到第二个方程中，进行计算求出一元二次方程的解，从而求出的值，即可解答．
【详解】解：，
由得：
，
，
把代入得：
，
，
，
，
，
，
或，
把代入得：，
把代入得：，
原方程组的解为：或．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，把二元二次方程转化为一元二次方程是解题的关键．
42．，
【分析】把方程①因式分解得出x与y的关系式，分别带入方程②即可解得．
【详解】
由①得
x=-y，x=6y
把x=-y带入②得
，
整理得
解得
得
把x=6y带入②得
【点睛】此题考查了求方程组的解，解题的关键是对方程用十字交叉法进行因式分解．
答案第1页，共2页
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