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中考专题---圆的复习
一、中考要求：
1．经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．
2．认识圆的轴对称性和中心对称性．
3．探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等关系定理，探索并理解圆周角和圆心角关系定理．
4．探索并了解点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系．
5．了解切线概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．
6．进一步认识和理解研究图形性质的各种方法．
二、中考卷研究
2006、2007年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:
序号
所考知识点
比率
1
圆的有关概念和性质
2~3%
2
与圆有关的角
3%
3
点与圆，直线与圆的位置关系
3%
4
圆与圆的位置关系
4%
5
切线的性质和判定
4%
6
弧长扇形的面积
2%
(二)中考热点：
运用圆的有关性质及计算公式进行简单的几何证明和几何计算是热点题型。
三、中考命题趋势及复习对策
根据新课标要求，有关圆的证明题的难度有所降低，这部分的题型主要以填空题、选择题、计算题为主，题目较简单，在中考试卷中，所占的分值为 8-10分左右，故在复习时应抓住基础知识进行复习，并且注意将圆的有关知识与其他各讲的知识进行联系，切忌太难的几何证明题．
★★★(I)考点突破★★★
考点1：圆的有关概念和性质
一、考点讲解：
1．圆的圆的有关概念：
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．
（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．
（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
2．圆的有关性质：

（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．
3．三角形的内心和外心
（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
考点2：与圆有关的角
一、考点讲解：
1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
2．圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角．
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
3．圆心角与圆周角的关系．
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半．
4．弦切角：圆的切线与圆的弦组成的顶点在圆上的角．
弦切角的度数等于它所夹得弧的度数的一半．
弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角．
5．圆内接四边形
顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．
圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．
考点3：点与圆，直线与圆的位置关系
一、考点讲解：
1．点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外d＞r．点在圆上d=r．点在圆内d＜r．
2．直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相高．
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交d＜r，直线与圆相切d=r，直线与圆相离d＞r
考点4：圆与圆的位置关系
一、考点讲解：
1．同一平面内两圆的位置关系：
（1）相离．如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．
（2）若两个圆心重合，半径不同两圆是同心圆.

（3）相切．如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．
（4）相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．
2．圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．
3．设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则
⑴ 两圆外离d＞R+r；
⑵ 两圆外切d=R＋r；
⑶ 两圆相交R－r＜d＜R+r（R＞r）；
⑷ 两圆内切d=R－r（R＞r）；
⑸ 两圆内含d＜R—r（R＞r）．
（注意：两国内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）
考点5：切线的性质和判定
一、考点讲解：
1．切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．
2．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．
3．切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
考点6：弧长扇形的面积
一、考点讲解：
1．弧长公式：(n为圆心角的度数上为圆半径)
2．扇形的面积公式S=(n为圆心角的度数,R为圆的半径）．
3．圆锥的侧面积S=πRl ,(l为母线长，r为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积．
07年各地中考题汇编
1、（2007山东青岛）⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（ ）．
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
2.（2007甘肃兰州课改，4分）右图是一个小熊的头像，图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是其中有一种位置关系没有反映出来，请你写出这种位置关系，它是________．
3.(2007广东肇庆课改)若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是 D
A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 外离或内含
4.（2007河北课改，3分）如图，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移 个单位长．
5.（2007湖北宜昌课改，3分）两个圆的半径分别为3和4，圆心之间的距离是5，这两个圆的位置关系是 ．
6.（2007浙江舟山课改，5分）两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是 ．
7.（2007山东淄博）一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（　）
（A）9 （B）18
（C）27 （D）39
8、（2007山东济宁）已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其全面积为（ ）。
A、π B、3π C、4π D、7π
9、（2007山东济宁）如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是（ ）。
A、52° B、60° C、72° D、76°
11、（2007四川成都）如图，内切于，切点分别为．
已知，，连结，
那么等于（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
（
12、（2007四川成都）如图，已知是的直径，弦，
，，那么的值是
．
（07泰安）13．如图，与轴相交于点，，
与轴相切于点，则圆心的坐标是 ．
14．（本小题满分8分）
某乡薄铁社厂的王师傅要在长为25cm，宽为18cm的薄铁板上裁出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆.他先画出了如图所示的草图，但他在求小圆半径时遇到了困难，请你帮助王师傅计算出这两个小圆的半径.
　　
15、（07遂宁）（本题8分）
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°。
求弦AB的长
07年福建各地中考题
13、（2007福建福州）如图2，中，弦的长为cm，圆心到的距离为4cm，则的半径长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
（05宁德）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为直径，AC=BC，则∠A的度数为（ ）
A.30° B.40° C.45° D.60°
14.（06南安）如图，半圆M的直径AB为20cm，现将半圆M绕着点A顺时针旋转180°．
（1）请你画出旋转后半圆M的图形；
（2）求出在整个旋转过程中，半圆M所扫过区域的面积
（结果精确到1cm）．（8分）
（05宁德）.（8分）如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠ACB=∠CAB=30°，BC=1米。工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△的位置（在上），最后沿的方向平移到△的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时恰好靠在墙边）。
请直接写出AB、AC的长；
画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）。
解：（1）AB=2米，AC＝米…………………………………………………………（4分）
（2）画出A点经过的路径：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………………………（5分）
∵∠ABA1＝180°－60°＝120°，A1A2＝AC＝米
∴A点所经过的路径长＝＋………………………………………………（7分）
=π＋
≈5.9（米）………………
15.（06南平）．（8分）如图，AB是⊙O的弦，交AB于点C，过B的直线交OC的延长线于点E，当时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由。
21．解：BE与⊙O相切……………………………………（1分）
理由：连接OB……………………………………（2分）
∵
∴ ……………………………（3分）
∵
∴
∴ …………………………(5分)
又∵
∴
∴
即…………………………………………（7分）
∴ BE与⊙O相切………………………………………（8分）
16.（07厦门）（本题满分8分）已知：如图3,AB是⊙O的弦，点C在. 上，
（1）若∠OAB=35°，求∠AOB的度数；
（2）过点C作CD∥AB，若CD是⊙O的切线，
求证：点C是的中点.

（07福州）17．（本题满分10分）如图8，已知：内接于，点在的延长线上，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．（本题满分10分）
(1) 证明：如图8，连结0A.
∵ , ∴ ∠B = 30°.
∵ ∠AOC = 2 ∠B , ∴ ∠AOC = 60°.
∵ ∠D = 30°, ∴ ∠OAD = 180°- ∠D - ∠AOD = 90°.
∴ AD是⊙O的切线.
(2) 解：∵ OA = OC ，∠AOC = 60°,
∴ △AOC是等边三角形 . ∴ OA = AC = 6 .
∵ ∠OAD = 90°主题:，∠D = 30°, ∴ AD = AO = .
（06晋江）18．（8分）街道旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，已知BC=5米，半圆形的直径为6米，DE=2米。（1）求电线杆落在广告牌上的营长（即的长度，精确到0.1米）
（2）求电线杆的高度。
（07三明）19.．（12分）如图①，②，在平面直角坐标系中，点的坐标为(4，0)，以点为圆心，4为半径的圆与轴交于，两点，为弦，，是轴上的一动点，连结．
（1）求的度数；（2分）
（2）如图①，当与相切时，求的长；（3分）
（3）如图②，当点在直径上时，的延长线与相交于点，问为何值时，是等腰三角形？（7分）
19．解：（1）∵，，
∴是等边三角形．
∴． 2分
（2）∵CP与相切，
∴．
∴．
又∵（4，0），∴．∴．
∴． 5分
（3）①过点作，垂足为，延长交于，
∵是半径， ∴，∴，
∴是等腰三角形． 6分
又∵是等边三角形，∴=2 ． 7分
②解法一：过作，垂足为，延长交于，与轴交于，
∵是圆心， ∴是的垂直平分线． ∴．
∴是等腰三角形， 8分
过点作轴于，
在中，∵，
∴．∴点的坐标（4+，）．
在中，∵，
∴．∴点坐标（2，）．　 10分
设直线的关系式为：，则有
解得：
∴．
当时，．
∴．　 12分
解法二： 过A作，垂足为，延长交于，与轴交于，
∵是圆心， ∴是的垂直平分线． ∴．
∴是等腰三角形． 8分
∵，∴．
∵平分，∴．
∵是等边三角形，， ∴．
∴．
∴是等腰直角三角形． 10分
∴．
∴． 12分

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