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有效数字及其运算规则
1.有效数字及其位数
在分析工作中，为了得到准确的分析结果，不仅要准确进行测量，而且还要正确的记录和计算。所谓正确的记录，是指正确地记录有效数字的位数，因为数据的位数不仅表示数量的大小，也反映出测量的精密程度。
我们以滴定管的读数为例，图中所示应该如何确定有效数字的位数呢？为了能正确读数，我们首先来了解一下有效数字的概念。
有效数字指分析工作中能实际测量到的数字。它是由准确数字和最后一位可疑数字组成。通常我们把通过直接读取获得的数字叫做准确数字，把通过估读获得的数字叫做可疑数字。例如：滴定管读数23.45mL，这四位数字中前三位数字是准确值，第四位数字因没有刻度是估计值，不太准确， 这个数字有±1个单位的误差。不应记录成23.4或23.450mL。
有效数字一方面反映了数量的大小，同时也反映了测量量具的精密程度。例如我们称量的质量是0.5180g，这是用万分之一天平称量的，如果是0.5g，就是用托盘天平称量的。有效数字的另一个作用是表示测量的误差大小，用于反映测量的准确度。例如A用万分之一天平称得试样质量为0.5180g，绝对误差为±0.0001g，相对误差为±0.02%。B用千分之一天平称量该试样，应记录为0.518g，绝对误差是±0.001g，相对误差为±0.2%。二者测定的准确度相差10倍，可见，使用不同的量器，引起的分析结果的准确度也会不同。有效数字的位数表示着测量的精密程度，因此一定要重视有效数字的读取。
下面我们就来看一下有效数字位数的是如何确定的。实际分析工作中，记录数据要根据所使用量器的精度来决定，记录的数据应反映所使用仪器的准确度。以下列举了分析工作中常用到的量具的有效数字位数。如称量仪器，万分之一全自动电子天平精度为±0.0001g，称至0.1mg，千分之一天平称至0.001g，百分之一天平称至0.01g，托盘天平称至0.1g。容量器皿如滴定管、移液管精度为±0.01mL，可以量至0.01mL，容量瓶四位有效数字，量筒可以量至1mL或0.1mL。
如果数字中有“0”，在确定有效数字位数时，应分析具体情况才能确定数据中哪些“0”是有效数字；哪些“0”不是有效数字。基本原则是“前零不算后零算”即有效数字中最左端第一非零数字前的“0”都不是有效数字，之后的是有效数字。举例如下。第一行三个数据是四位有效数字，第二行是三位有效数字，最后一行是一位有效数字。
第三点：变换单位或改用科学记数法时，有效数字位数不变。如10.00mL换算为0.01000L或1.000×10-2L。10.5L换算为1.05×104mL。
对于pH，pM，pK，lgC，lgK等对数值，其有效数字的位数取决于小数部分数字的位数，因为整数部分只代表该数的方次。如pH=11.20为两位有效数字，如果换算为氢离子浓度也应是两位有效数字，即 6.3×10-12 mol/L 。
在分析化学计算中，常遇到分数、倍数关系。这些数据都是自然数而不是测量所得到的，因此它们的有效数字位数可以认为无限多位，计算结果的有效数字位数应由其他测量数据来决定。入从250mL容量瓶中移取25mL溶液，取1/10，这里的10即为足够有效位的自然数。
以上我们介绍了有效数字的概念和确定有效数字时应注意的问题。下面我们做个小练习巩固一下本知识点。
用移液管移取25.00ml 1.000mol/L HCl。移液管的精度与滴定管相同，记录数据时均可保留四位有效数字，所以此题正确。
用台秤称量8.00g树脂。因为台秤能称至0.1g，所以应记录为8.0g。此题错误。
滴定样品消耗了NaOH 15.86mL。这个说法没有问题。
用分析天平称量基准物0.7055g。这个也正确。
最后一题，用量筒准确量取浓盐酸4.2mL，量筒属于量出式容器，精度不高，且浓盐酸易挥发，故无法准确称量。此题错误。
2.有效数字修约规则
在大多数情况下，测量数据本身并非是最终要求的结果，而是需要再经过一系列运算后，才能获得所需的数据。在计算一组准确度不等，即有效数字位数不同的数据前，应按照确定的有效数字位数，将多余的数字舍弃，舍弃多余数字的过程称为“数字修约”或“数字整化”。数字修约所遵循的规则称为“数字修约规则”。四舍五入规则是人们习惯采用的一种数值修约规则。四舍五入修约规则，逢五就进，必然会造成结果的系统偏高，误差偏大，为了避免这样的状况出现，尽量减小因修约而产生的误差，在某些时候需要使用四舍六入五留双的修约规则。
四舍六入五留双的具体做法是：
当尾数小于或等于4时，直接将尾数舍去
例如将下列数字全部修约到两位小数，结果为：
10.2731——10.27
18.5049——18.50
16.4005——16.40
27.1829——27.18
当尾数大于或等于6时将尾数舍去向前一位进位
例如将下列数字全部修约到两位小数，结果为：
　16.7777——16.78
　10.29701——10.30
21.0191——21.02
当尾数为5，而尾数“5”的后面还有任何不是0的数字时，无论前一位在此时为奇数还是偶数，也无论“5”后面不为0的数字在哪一位上，都应向前进一位。
　　例如将下列数字全部修约到两位小数，结果为：
　　12.73507——12.74
　　21.84502——21.85
　 12.64501——12.65
　 18.27509——18.28
　 38.305000001——38.31
当尾数为5，而尾数后面的数字均为0时，应看尾数“5”的前一位：若前一位数字此时为奇数，就应向前进一位；若前一位数字此时为偶数，则应将尾数舍去。数字“0”在此时应被视为偶数。
　　例如将下列数字全部修约到两位小数，结果为：
　　12.6450——12.64
　　18.2750——18.28
　　12.7350——12.74
21.845000——21.84
通过以上的例子我们不难发现，当尾数大于5时，都向前进一位，当尾数比5小时，都应将尾数舍去。对于恰好为5的情况，则应保证取舍以后尾数是双数。总结成小口诀：
特别需要提醒的是：不管是按照四舍五入规则还是四舍六入五留双规则进行数字修约时，都要一次性修约到指定的位数，不可以进行数次修约。
如果使用计算器计算时，不必对每一步的计算结果进行修约，但应注意根据其准确度要求正确保留最后计算结果的有效数字位数。
下面我们来做一个小练习。将下列数字修约到3位有效数字。看看你做对了吗？
3.有效数字运算规则
在分析结果的计算中，每个测量值的误差都要传递到结果中，因此必须运用有效数字的运算规则进行合理取舍。我们先来看下面的小例子，对于这样的计算结果，我们为什么说是不对的呢，原因很简单，没有按照有效数字的运算规则进行取舍。在分析工作时，常遇到对一些有效数字位数不同的数据进行加减乘除等，对于这些数据我们必须按照有效数字运算规则进行计算。有效数字运算规则到底有哪些呢？
首先我们来看加减法，几个数据相加或相减时，有效数字位数的保留，应以小数点后位数最少的数据为准，其根据是小数点后位数最少的那个数的绝对误差最大。比如这个例子，我们首先找到小数点后位数最少的数字是25.64，然后把0.0121和1.05782都修约到小数点后两位。最后再进行加法运算，得到的结果也是保留到小数点后两位。
对于乘除法，几个数据相乘除时，有效数字的位数应以有效数字位数最少的数据为准，其根据是有效数字位数最少的那个数的相对误差最大。下面的例子中，这三个数有效数字位数最少的是0.0121，我们把25.64和1.05782修约到三位有效数字后再进行计算，最终的结果也应保留三位有效数字。需要说明的是，在进行乘除运算时，如果第一位数字大于或等于8，即8或9，其有效数字位数可多算一位。,
对数据进行乘方和开方时，所得结果的有效数字位数的保留与原数据相同。例如，6.542=42.8。
对数计算中，对数尾数的位数应与真数的有效数字位数相同。
在计算过程中，为了提高计算结果的可靠性，可以暂时多保留一位数字，而在得到最后结果时，则应舍弃多余的数字，使得最后的计算结果恢复与准确度相适应的有效数字位数。
在计算分析结果时，高含量(>10%)组分的测定一般要求分析结果有四位有效数字；含量在1% ～ 10%的一般要求三位有效数字；微量组分（含量小于1%）的组分要求两位有效数字。分析中的各类相对误差和偏差通常取1～2为有效数字。通常以此为标准报出分析结果。
特别提醒：在计算过程中，应对数字先修约再计算，这样既可使计算简单，又不会降低数字的准确度。但是为了提高计算结果的可靠性，可以暂时多保留一位数字，再多保留就完全没有必要了。但是得到最后结果时，一定注意要弃掉多余的数字。我们目前多采用计算器处理数据了，要对其运算结果进行修约，保留适当的位数，不可将显示的全部数字作为结果。
某人用分光光度法分析试样含量，称取此试样0.0520g，最后计算此试样某组分的质量分数为96.24%。问该结果是否合理？该结果显然不合理。因为试样质量只有三位有效数字，而结果却报出四位有效数字，结果不可能有那样高的精度。最后计算此组分的质量分数应改为96.2%。
下面的这个练习是一位同学的实验报告，请指出其中哪些地方存在问题。蓝色的数字表示其填充的内容。

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