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(总课时29)§4.1认识三角形（1）
一.选择题：
1.在△ABC中,若∠A=95°,∠B=40°,则∠C的度数为(　C　)
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
2.图1中三角形的个数是(　C　)
A.6　　　B.7　　　C.8　　　D.9
3.若一个三角形三个内角的度数比为2∶6∶4，则这个三角形是(　A　)
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．任何一个三角形的三个内角中至少有(　B　)
A．一个角大于60° B．两个锐角 C．一个钝角 D．一个直角
5.如图2，直线a//b，直线l与a、b分别相交于A、B，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，
若∠1=58°，则∠2的度数为 ( C )
A．58° B．42° C．32° D．38°
二.填空题：
6.如图3，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形；
(1)其中以AB为一边可以画出3个三角形；(2)其中以点C为其中一个顶点的三角形有6个
7.在△ABC中，给满足下列条件的三角形按角分类：
（1）若∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形；
（2）若∠A+∠B<90°，则△ABC是钝角三角形；
（3）若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是锐角三角形
8.如图4，已知∠AON＝40°，P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A的度数为50°或90°．
9.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的空内.
锐角三角形：③⑤；直角三角形：①④⑥；钝角三角形：②⑦
10.一副透明的三角板，如图5折叠，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，
则∠BDC=75°.
三.解答题：
11.如图6,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形.
证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°．
又∵EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE．
所以∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°．
又因为∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°，所以∠P＝90°．
所以△PEF是直角三角形．
12.如图7，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，
求∠EDF、∠DBC的度数．
解：∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°，
∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°，
由三角形的内角和定理得：∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF，
又∵∠CDB＝∠EDF，（对顶角相等）
∴30°＋∠DBC＝40°＋90°，∴∠DBC＝100°．
13.(1)如图①,CD是直角三角形ABC斜边AB上高,图中有与∠A相等的角吗 为什么
(2)如图②,把图①中的CD平移到ED处,图中还有与∠A相等的角吗 为什么
(3)如图③,把图①中的CD平移到ED处,交BC的延长线于点E,图中还有与∠A相等的角吗 为什么
解：（1）有．理由：∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°．
∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°．∴∠BCD＝∠A．
（2）有．理由：∵ED⊥AB，∴∠B＋∠BED＝90°．
∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°．∴∠BED＝∠A．
(3)有．理由：∵ED⊥AB，∴∠B＋∠E＝90°．
∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°．∴∠E＝∠A．
图4
图3
图2
图1
图5
图6
图7
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(总课时29)§4.1认识三角形（1）
【学习目标】认识三角形的概念及其基本元素，会用符号表示三角形.
【学习重难点】初步了解直角三角形及其性质.
【导学过程】
一.情境引入
1.观察上面的屋顶框架图、钢架桥梁图：
（1）请你从上图中找出几个不同的三角形.
（2）请大家讨论这些三角形有什么共同特点.
二.探究新知
知识点1 三角形的相关概念
1.三角形的概念：
如图1,由不在________________的三条线段首尾____相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形的基本要素：
（1）边：组成三角形的____叫做三角形的边.
（2）顶点：相邻两边的________叫做三角形的顶点.
（3）角：相邻两边________叫做三角形的内角，简称三角形的角.
（三角形有____条边、____个内角和____个顶点）
3.三角形的表示方法：“三角形”可以用符号“△”表示，读作“三角形”.如图2：
（1）顶点是A，B，C的三角形，记作△____，读作“三角形____”.
（2）△ABC的三边分别为____，____，____，也可用小写字母a，b，c表示.
（3）△ABC的三个角分别为____，____，____.其中，AB，BC，CA分别叫做∠C，∠A，∠B的对边.顶点A，顶点B，顶点C的对边分别用a，b，c表示.
知识点2 三角形内角和定理
如图3，试说明∠A+∠B+∠ACB=180°.
解:延长BC到一点D,过点C作CE∥AB，
∴∠1=∠B(两直线平行，____________).∴∠2=∠A(两直线平行，____________).
∵∠ACB+∠2+∠1=180°(____________).∴∠A+∠B+∠ACB=________.
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.数学语言：△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
知识点3 三角形按角分类
(1)锐角三角形:三个内角都是____的三角形.(2)直角三角形:有一个内角是____的三角形.
(3)钝角三角形:有一个内角是____的三角形.
知识点4 直角三角形的有关概念及性质
（1）直角三角形中________________称为直角边，直角________称为斜边，以点A,B,C为顶点的直角三角形可以用“Rt△ABC”来表示.
（2）直角三角形的两个锐角_____.几何语言:在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B=_____°.
三.典例与练习
例1.（1）如图4，图中共有____个三角形，
它们分别是________________________________________
（2）以AD为边的三角形有________________
（3）∠C分别为△AEC、△ADC、△ABC中___、___、___边的对角.
练习1.观察下图中的三角形，你能够按角将他们的形状分类吗？
锐角三角形：________；直角三角形：________；钝角三角形：________
例2.△ABC的三个内角满足如下关系,请判断三角形的形状：
①∠A＝70°,∠B＝10°,则△ABC是____三角形；
②∠A：∠B：∠C=2：3：5,则此三角形应为____三角形.
③∠C＝3∠A,∠B＝2∠A,则△ABC是____三角形；
练习2.如图5，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB,∠DCB＝30°,求∠A.
解：在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠DCB＝30°（已知）
∴∠B＋∠A＝90°（________________________）
∵CD⊥AB（已知）,∴∠CDB＝90°（____________）
∴∠B＋∠DCB＝90°（________________________）
∴∠A＝∠DCB＝30°（等量代换）
例3.一个三角形中可以有两个直角吗？三角形的三个角能都大于70°吗？能都小于50°吗？
解：一个三角形中________有两个直角.
理由是：____________________________________________________________________.
三角形的三个角____都大于70°
理由是：____________________________________________________________________.
三角形的三个角____都小于50°
理由是：____________________________________________________________________.
练习3.三角形中最大的内角不能小于（ ）
A.30 B.45 C.60 D.90
四.课堂小结
1.三角形的定义：由不在____________的三条线段首尾________相接所组成的图形叫做三角形.
表示方法：“三角形”可以用符号“△”表示，读作“三角形”.
分类：(1)锐角三角形:三个内角都是____的三角形.(2)直角三角形:有一个内角是____的三角形.
(3)钝角三角形:有一个内角是____的三角形.
2.直角三角形两个锐角____；
3.三角形三个内角的和等于____°.
五.分层过关
1.将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　）
A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
2.如图6，AD⊥BC，∠BAC≠90°，其中有几个直角三角形（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3.在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，
则这个锐角的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．40°
4.如图7，AB∥DF，AC⊥CE于C，BC与DF交于点E，若∠A=20 ，则∠CEF等于　　
A．110 B．100 C．80 D．70
5.在△ABC中，若∠B=∠C=40 ，则∠A=____.
6.直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角为____.
7.在△ABC中，∠B比∠A大36°，∠C比∠A小36°，求△ABC的各内角的度数．
8.根据下列条件，判断△ABC的形状：
(1)∠A=75°,∠B=45°； (2)∠A:∠B:∠C=1:2:3 ；(3)∠A=60°,∠C=5∠B.
9.如图8，一艘轮船按箭头所示方向从A开始行驶，C处有一灯塔．
(1)当轮船从点A行驶到点B时，∠ACB的度数是多少
(2)当轮船行驶到距离灯塔的最近点时，请画出此时轮船的位置点D，并求出∠ACD的度数．
图2
图1
图3
图4
图5
图6
图7
图8
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(总课时29)§4.1认识三角形（1）
一.选择题：
1.在△ABC中,若∠A=95°,∠B=40°,则∠C的度数为(　　)
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
2.图1中三角形的个数是(　　)
A.6　　　B.7　　　C.8　　　D.9
3.若一个三角形三个内角的度数比为2∶6∶4，则这个三角形是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．任何一个三角形的三个内角中至少有(　　)
A．一个角大于60° B．两个锐角 C．一个钝角 D．一个直角
5.如图2，直线a//b，直线l与a、b分别相交于A、B，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，
若∠1=58°，则∠2的度数为 ( )
A．58° B．42° C．32° D．38°
二.填空题：
6.如图3，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形；
(1)其中以AB为一边可以画出___个三角形；(2)其中以点C为其中一个顶点的三角形有___个
7.在△ABC中，给满足下列条件的三角形按角分类：
（1）若∠A+∠B=∠C，则△ABC是___三角形；
（2）若∠A+∠B<90°，则△ABC是___三角形；
（3）若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是___三角形
8.如图4，已知∠AON＝40°，P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A的度数为______．
9.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的空内.
锐角三角形：______；直角三角形：_________；钝角三角形：______
10.一副透明的三角板，如图5折叠，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，
则∠BDC=______.
三.解答题：
11.如图6,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形.
12.如图7，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，
求∠EDF、∠DBC的度数．
13.(1)如图①,CD是直角三角形ABC斜边AB上高,图中有与∠A相等的角吗 为什么
(2)如图②,把图①中的CD平移到ED处,图中还有与∠A相等的角吗 为什么
(3)如图③,把图①中的CD平移到ED处,交BC的延长线于点E,图中还有与∠A相等的角吗 为什么
图4
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图6
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(总课时29)§4.1认识三角形（1）
【学习目标】认识三角形的概念及其基本元素，会用符号表示三角形.
【学习重难点】初步了解直角三角形及其性质.
【导学过程】
一.情境引入
1.观察上面的屋顶框架图、钢架桥梁图：
（1）请你从下图中找出几个不同的三角形.
（2）请大家讨论这些三角形有什么共同特点.
二.探究新知
知识点1 三角形的相关概念
1.三角形的概念：
如图1,由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形的基本要素：
（1）边：组成三角形的线段叫做三角形的边.
（2）顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.
（3）角：相邻两边所夹的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.
（三角形有三条边、三个内角和三个顶点）
3.三角形的表示方法：“三角形”可以用符号“△”表示，读作“三角形”.如图2：
（1）顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”.
（2）△ABC的三边分别为AB，BC，CA，也可用小写字母a，b，c表示.
（3）△ABC的三个角分别为∠A，∠B，∠C.其中，AB，BC，CA分别叫做∠C，∠A，∠B的对边.顶点A，顶点B，顶点C的对边分别用a，b，c表示.
知识点2 三角形内角和定理
如图3，试说明∠A+∠B+∠ACB=180°.
解:延长BC到一点D,过点C作CE∥AB，
∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等).∴∠2=∠A(两直线平行，内错角相等).
∵∠ACB+∠2+∠1=180°(平角的定义).∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.数学语言：△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
知识点3 三角形按角分类
(1)锐角三角形:三个内角都是锐角的三角形.(2)直角三角形:有一个内角是直角的三角形.
(3)钝角三角形:有一个内角是钝角的三角形.
知识点4 直角三角形的有关概念及性质
（1）直角三角形中夹直角的两边称为直角边，直角所对的边称为斜边，以点A,B,C为顶点的直角三角形可以用“Rt△ABC”来表示.
（2）直角三角形的两个锐角互余.几何语言:在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B=90°.
三.典例与练习
例1.（1）如图4，图中共有6个三角形，
它们分别是△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC
（2）以AD为边的三角形有△ABD、△ADE、△ADC
（3）∠C分别为△AEC、△ADC、△ABC中AE、AD、AB边的对角.
练习1.观察下图中的三角形，你能够按角将他们的形状分类吗？
锐角三角形：（1）、（5）；直角三角形：（3）；钝角三角形：（2）（4）
例2.△ABC的三个内角满足如下关系,请判断三角形的形状：
①∠A＝70°,∠B＝10°,则△ABC是钝角三角形；
②∠A：∠B：∠C=2：3：5,则此三角形应为直角三角形.
③∠C＝3∠A,∠B＝2∠A,则△ABC是直角三角形；
练习2.如图5，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB,∠DCB＝30°,求∠A.
解：在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠DCB＝30°（已知）
∴∠B＋∠A＝90°（直角三角形的两个锐角互余）
∵CD⊥AB（已知）,∴∠CDB＝90°（垂直定义）
∴∠B＋∠DCB＝90°（直角三角形的两个锐角互余）
∴∠A＝∠DCB＝30°（等量代换）
例3.一个三角形中可以有两个直角吗？三角形的三个角能都大于70°吗？能都小于50°吗？
解：一个三角形中不可以有两个直角.
理由是：如果有两个直角，则三角形内角和就大于180°.与三角形内角和定理矛盾.
三角形的三个角不能都大于70°
理由是：如果三个角都大于70°，则三个内角和就大于180°.与三角形内角和定理矛盾.
三角形的三个角不能都小于50°
理由是：如果三个角都小于50°，则三个内角和就小于180°.与三角形内角和定理矛盾.
练习3.三角形中最大的内角不能小于（ C ）
A.30 B.45 C.60 D.90
四.课堂小结
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
表示方法：“三角形”可以用符号“△”表示，读作“三角形”.
分类：(1)锐角三角形:三个内角都是锐角的三角形.(2)直角三角形:有一个内角是直角的三角形.
(3)钝角三角形:有一个内角是钝角的三角形.
2.直角三角形两个锐角互余；
3.三角形三个内角的和等于180°.
五.分层过关
1.将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　C　）
A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
2.如图6，AD⊥BC，∠BAC≠90°，其中有几个直角三角形（　A　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3.在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，
则这个锐角的度数是( A )
A．30° B．45° C．60° D．40°
4.如图7，AB∥DF，AC⊥CE于C，BC与DF交于点E，若∠A=20 ，则∠CEF等于　A　
A．110 B．100 C．80 D．70
5.在△ABC中，若∠B=∠C=40 ，则∠A=100 .
6.直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角为135 .
7.在△ABC中，∠B比∠A大36°，∠C比∠A小36°，求△ABC的各内角的度数．
解：设∠A=x，则∠B=x+36°，∠C=x﹣36°，
根据题意，得x+x+36°+x﹣36°=180°，解得x=60°，
∴x+36°=96°，x﹣36°=24°．∴∠A=60°，∠B=96°，∠C=24°．
8.根据下列条件，判断△ABC的形状：
(1)∠A=75°,∠B=45°； (2)∠A:∠B:∠C=1:2:3 ；(3)∠A=60°,∠C=5∠B.
解：(1)∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，其中最大的角是75°，所以△ABC是锐角三角形.
(2)设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°.解得x=30°,即A=30°,∠B=60°,∠C=90°.
其中最大的角是90°,所以△ABC是直角三角形.
(3)因为∠A+∠B+∠C=180°，所以60°+∠B+5∠B=180°，解得∠B=20°，所以∠C=100°.
其中最大的角是100°，所以△ABC是钝角三角形.
9.如图8，一艘轮船按箭头所示方向从A开始行驶，C处有一灯塔．
(1)当轮船从点A行驶到点B时，∠ACB的度数是多少
(2)当轮船行驶到距离灯塔的最近点时，请画出此时轮船的位置点D，并求出∠ACD的度数．
解：(1)∵∠ABC=180°-70°=110°(平角定义)
∴∠ACB=180°-110°-30°=40°（三角形内角和定理）
(2)过点C作直线AB的垂线，垂足为D，点D就为航线上到灯塔
的距离最近的点
∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∵∠A=30°∴∠ACD=60°
图2
图1
图3
图4
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图7
图8
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