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(总课时32)§4.1认识三角形（4）
一.选择题：
1.下列说法中正确的是(　C　)
A. 三角形的三条高都在三角形内 B. 直角三角形只有一条高
C. 锐角三角形的三条高都在三角形内 D. 三角形每一边上的高都小于其他两边
2.如图1,在△ABC中,∠C=90°,D、E为AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,则下列说法不正确的是(　D　)
A.BC是△ABE的高　　B.BE是△ABD的中线 C.BD是△EBC的角平分线　　D.∠ABE=∠EBD=∠DBC
3.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是(　B　)
A.锐角三角形　　　B.直角三角形　　　C.钝角三角形　　　D.不能确定
4.如图2，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（　B　）
A. △ABC中，AD是边BC上的高 B. △ABC中，GC是边BC上的高
C. △GBC中，GC是边BC上的高 D. △GBC中，CF是边BG上的高
5.如图3，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（　B　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题：
6.如图4，已知AE＝3，BD＝2，则△ABC中BC边上的高的长度为　3　．
7.如图5，AB⊥BC于点B，则图中以AB为高线的三角形有　3　个．
8.如图6，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是　9　．
9.如图7，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为19cm，则△ABD的周长为　22cm　．
10.下列说法正确的是　②④　 （只填序号）
①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
三.解答题：
11.已知AD是△ABC的高,∠BAD=72°,∠CAD=21°,求∠BAC的度数.
解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=72°+21°=93°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，∠BAC=∠BAD﹣∠CAD=72°﹣21°=51°．
综上所述：∠BAC的度数为93°或51°．故答案为：93°或51°．
12.如图8,已知在△ABC中,AB=AC=4,P是BC边上任一点,PD⊥AB,PE⊥AC,D,E为垂足.若△ABC的面积为6,问:PD+PE的值能否确定 若能确定,值是多少 请说明理由.
解：如图，连接AP．由图可得S△ABC=S△ABP+S△ACP．
因为PD⊥AB，PE⊥AC，AB=AC=4，△ABC的面积为6，
所以6=0.5×4×PD+0.5×4×PE=2（PD+PE）．
所以PD+PE=3．
13.如图9，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求
∠DAE和∠BOA的度数．
解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∴∠BOA＝180°-(∠EAB+∠ABF）＝180°-(25°+35°）＝120°，
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
图3
图2
图1
图4
图6
图5
图7
图8
图9
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(总课时32)§4.1认识三角形（4）
【学习目标】认识、画出三角形的高线，理解三角形的高线的性质.
【学习重难点】能用三角形的高的性质解决简单的数学问题.
【导学过程】
一.知识回顾
你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗 如图1，你能过点P作直线l的垂线吗？
画法：①放，②靠，③推，④画.
你能过三角形一个顶点画对边的垂线吗？
二.探究新知
1.三角形高线的定义：
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
注意：三角形的高是条线段。如图2，线段CD是AB边上的高。
在△ABC中：①CD是AB边上的高，②CD⊥AB，垂足为点D.
③∠ADC=∠BDC=90°
2.认识三角形高线
（1）如图3，△ABC中，BC边上的高是AD，AB边上的高是CF，AC边上的高是BE.
△AOB中，AB边上的高是OF，OB边上的高是AE，AO边上的高是BD。
（2）如图3，OD是△BOC的BC边上的高也是△BOD和△COD的高 。
3.画一画
（1）用三角尺画出下列三角形的高线：
（2）做一做：每人准备一个锐角三角形纸片，你能用折纸的办法得到三角形的高线吗
（3）观察得出结论：锐角三角形的三条高相交于一点，这点在三角形的内部；直角三角形的三条高交于一点，这点就是直角顶点；钝角三角形的三条高所在直线交于一点，这点在三角形的外部。
总之，三角形的三条高所在的直线交于一点。
三.典例与练习
例1.分别指出图4，图5中△ABC的三条高.
练习1.下列各组图中哪一组图形中AD是△ABC的高( D )
例2.已知，如图6,△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC=60°，求∠BOC的度数．
解：在△ABC中，∵∠BAC=60°，三条高AD、BE、CF相交于点O．
∴∠BEA=90°，∠CFA=90°，
∴∠ABE=30°，∠ACF=30°，
∴∠OBD+∠OCB=180°﹣∠BAC﹣∠OBF﹣∠OCE=60°，
所以∠BOC=180°﹣60°=120°．
练习2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
例3.如图7，锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度数.
解：∵BD、CE是△ABC的高∴∠BDC=∠CEB=90°∴∠ABC=90°－∠BCE
∠ACB=90°－∠CBD，又∵∠BMC=100°
∴∠DBC+∠BCE=80°∴∠ABC+∠ACB=100°∴∠A=80°
∵BF、CG是△ABC的角平分线.
∴∠BNC=90°+∠A=130°.
练习3.如图8，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD＝10，CE＝9，AB＝12.
则△ABC的面积=54；BC=10.8．
四.课堂小结
1.记忆：顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
2.三角形的三条高所在直线交于一点.
3.三角形的三条高的特性
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
三角形内部高的数量 3 1 1
三条高是否相交 是 是 否
三条高所在直线的交点位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部
五.分层过关
1.△ABC中，∠B=24°，∠BCA=104°，则∠A的平分线AD和BC边上的高AE的夹角为（ D ）
A、45° B、30° C、50° D、40°
2.如图9，AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,分别交BC,AB,BC于C,D,E,下列说法中不正确的是（ B）
AC是△ABC的高 B、DE是△ABC的高 C、AC是△ABE的高 D、AD是△ACD的高
3.如图10，△ABC的三条高AD，BE,CF相交于点H.
△ABH的三条高是AE，BD，HF，这三条高相交于点C。
点A到点B的距离是AB的长度，点A到BH的距离是AE的长度。
BC×HD=BH×CE=CH×BF.
4.如图11，在△ABC中，是中线，是角平分线，是高，，，，，填空：（1）35°．（2）25°．（3）求S△ABC的值．
解：（3）在△ABC中，AE是中线，
∴EC=BE=2，．
5.如图12，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B=54°，∠C=76°。
求∠ADB和∠ADC的度数；
若DE⊥AC，求∠EDC的度数。
解：(1)、∵∠B＝54°，∠C＝76° ， ∴∠BAC=180°-54°-76°=50°，
∵AD是角平分线， ∴∠BAD=∠DAC=25°，∴∠ADB=180°-54°-25°=101°，
∠ADC=79°；(2)∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠EDC=90°-76°=14°．
6.如图13，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4 cm，BC=5 cm，∠CAB=90°．
(1)求AD的长．(2)求△ABE的面积．
解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴AB AC=BC AD，
∴（cm），即AD的长度为cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴S△ABC=AB AC=×3×4=6（cm2）．又∵AE是边BC的中线，∴BE=EC，
∴S△ABE=S△ABC=3（cm2）．∴△ABE的面积是3cm2．
图1
图2
图3
AB边上的高是：BC
BC边上的高是：AB
AC边上的高是：BD
AB边上的高是：CE
BC边上的高是：AD
AC边上的高是：BF
图5
图4
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图11
H
图10
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一.选择题：
1.下列说法中正确的是(　　)
A. 三角形的三条高都在三角形内 B. 直角三角形只有一条高
C. 锐角三角形的三条高都在三角形内 D. 三角形每一边上的高都小于其他两边
2.如图1,在△ABC中,∠C=90°,D、E为AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,则下列说法不正确的是(　　)
A.BC是△ABE的高　　B.BE是△ABD的中线 C.BD是△EBC的角平分线　　D.∠ABE=∠EBD=∠DBC
3.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是(　　)
A.锐角三角形　　　B.直角三角形　　　C.钝角三角形　　　D.不能确定
4.如图2，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（　　）
A. △ABC中，AD是边BC上的高 B. △ABC中，GC是边BC上的高
C. △GBC中，GC是边BC上的高 D. △GBC中，CF是边BG上的高
5.如图3，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题：
6.如图4，已知AE＝3，BD＝2，则△ABC中BC边上的高的长度为　　．
7.如图5，AB⊥BC于点B，则图中以AB为高线的三角形有　　个．
8.如图6，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是　　．
9.如图7，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为19cm，则△ABD的周长为____cm．
10.下列说法正确的是　　 （只填序号）
①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
三.解答题：
11.已知AD是△ABC的高,∠BAD=72°,∠CAD=21°,求∠BAC的度数.
12.如图8,已知在△ABC中,AB=AC=4,P是BC边上任一点,PD⊥AB,PE⊥AC,D,E为垂足.若△ABC的面积为6,问:PD+PE的值能否确定 若能确定,值是多少 请说明理由.
13.如图9，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求
∠DAE和∠BOA的度数．
图3
图2
图1
图4
图6
图5
图7
图8
图9
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【学习目标】认识、画出三角形的高线，理解三角形的高线的性质.
【学习重难点】能用三角形的高的性质解决简单的数学问题.
【导学过程】
一.知识回顾
你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗 如图1，你能过点P作直线l的垂线吗？
画法：①____，②靠，③____，④画.
你能过三角形一个顶点画对边的垂线吗？
二.探究新知
1.三角形高线的定义：
从三角形的____________向它的____所在直线作____，顶点和垂足之间的____叫做三角形的高线，简称____________。
注意：三角形的高是条____。如图2，线段CD是AB边上的高。
在△ABC中：①CD是AB边上的高，②________，垂足为____.
③∠________=∠________=90°
2.认识三角形高线
（1）如图3，△ABC中，BC边上的高是____，AB边上的高是____，AC边上的高是____.
△AOB中，AB边上的高是____，OB边上的高是____，AO边上的高是____。
（2）如图3，OD是△BOC的____边上的高也是△________和△________的高 。
3.画一画
（1）用三角尺画出下列三角形的高线：
（2）做一做：每人准备一个锐角三角形纸片，你能用折纸的办法得到三角形的高线吗
（3）观察得出结论：锐角三角形的三条高相交于一点，这点在三角形的____；直角三角形的三条高交于一点，这点就是________；钝角三角形的三条高所在直线交于____点，这点在三角形的____。
总之，三角形的三条高所在的直线交于一点。
三.典例与练习
例1.分别指出图4，图5中△ABC的三条高.
练习1.下列各组图中哪一组图形中AD是△ABC的高( )
例2.已知，如图6,△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC=60°，求∠BOC的度数．
练习2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
例3.如图7，锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度数.
练习3.如图8，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD＝10，CE＝9，AB＝12.
则△ABC的面积=____；BC=____．
四.课堂小结
1.记忆：顶点和垂足之间的____叫做三角形的高.
2.三角形的三条高____________交于一点.
3.三角形的三条高的特性
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
三角形内部高的数量 3 1 1
三条高是否相交 是 是 否
三条高所在直线的交点位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部
五.分层过关
1.△ABC中，∠B=24°，∠BCA=104°，则∠A的平分线AD和BC边上的高AE的夹角为（ ）
A、45° B、30° C、50° D、40°
2.如图9，AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,分别交BC,AB,BC于C,D,E,下列说法中不正确的是（ ）
AC是△ABC的高 B、DE是△ABC的高 C、AC是△ABE的高 D、AD是△ACD的高
3.如图10，△ABC的三条高AD，BE,CF相交于点H.
△ABH的三条高是____________，这三条高相交于点____。
点A到点B的距离是____的长度，点A到BH的距离是____的长度。
________________________________.
4.如图11，在△ABC中，是中线，是角平分线，是高，，，，，填空：（1）____．（2）____．（3）求S△ABC的值．
5.如图12，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B=54°，∠C=76°。
求∠ADB和∠ADC的度数；
若DE⊥AC，求∠EDC的度数。
6.如图13，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，∠CAB=90°．
(1)求AD的长．(2)求△ABE的面积．
图1
图2
图3
AB边上的高是：____
BC边上的高是：____
AC边上的高是：____
AB边上的高是：____
BC边上的高是：____
AC边上的高是：____
图5
图4
图6
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图8
图9
图11
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图10
图12
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