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二次根式6大题型
【题型1 判断二次根式的个数】
【例1】（2023春 林州市月考）在式子，，，（y≤0），和（a＜0，b＜0）中，是二次根式的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式1-1】（2022秋 遂宁期末）下列式子中二次根式的个数有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（x＞1）；（7）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-2】（2022秋 沈丘县期末）在式子中，二次根式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-3】（2022春 文登区期中）在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】
【例2】（2023春 河西区期中）已知是整数，正整数n的最小值为（　　）
A．96 B．6 C．24 D．2
【变式2-1】（2022秋 偃师市期中）已知n是正整数，是整数，则n的值可以是（　　）
A．5 B．7 C．9 D．10
【变式2-2】（2022春 青山区期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为　 　．
【变式2-3】（2022春 南昌期中）若是正整数，则x的最大值是　 　．
【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】
【例3】（2023 宁波模拟）使代数式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x C．x且x≠3 D．x
【变式3-1】（2022春 历城区校级月考）若式子有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2，且x≠2 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2，且x≠2
【变式3-2】（2023 怀化模拟）使有意义的x的取值范围为　 　．
【变式3-3】（2023春 海淀区校级月考）求有意义的a的整数值：　 　．
【题型4 根据二次根式有意义条件求值】
【例4】（2023春 蜀山区校级期中）已知，则（x+y）2000（x﹣y）2001的值为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【变式4-1】（2023春 淮北月考）已知|2022﹣a|a，则4a﹣40402的值为（　　）
A．8084 B．6063 C．4042 D．2023
【变式4-2】（2023 石家庄模拟）若a、b为实数，且b，则a+b＝　 　．
【变式4-3】（2023春 雨花区校级月考）已知实数x、y为实数，是否存在实数m满足关系式？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
【题型5 利用二次根式的性质化简】
【例5】（2023春 柯桥区月考）已知在数轴上的位置如图所示，化简：
　 　．
【变式5-1】（2023春 江油市月考）已知0＜a＜1，化简得　 　．
【变式5-2】（2023春 合肥期中）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简．
【变式5-3】（2023春 龙口市期中）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2≤a≤5时，化简：　 　；
（2）若等式4成立，则a的取值范围是　 　；
（3）若8，求a的取值．
【题型6 化简复合二次根式】
【例6】（2022秋 雨城区校级期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+23+2+2（）2+（）2+2（）2，所以．
请仿照上面的例子化简下列根式：
（1）；
（2）．
【变式6-1】（2022秋 武侯区校级期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m，n，使m2+n2＝x且mn，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵3+21+2+212+（）2+2×1（1）2，
∴1．
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）；
（2）．
【变式6-2】（2022秋 济南期中）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且mn，则可变形为|m±n|，从而达到化去一层根号的目的．
例如：|1|1
仿照上例完成下面各题：
①填上适当的数：|　 　|＝　 　；
②试将化简．
【变式6-3】（2022秋 漳浦县期中）阅读下面例题：化简
解：∵2+5＝7，2；
7+2
∴
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
二次根式-重难点题型
【知识点1 二次根式的定义】
形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.
【题型1 判断二次根式的个数】
【例1】（2023春 林州市月考）在式子，，，（y≤0），和（a＜0，b＜0）中，是二次根式的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式进行分析即可．
【解答】解：式子，，（y≤0），（a＜0，b＜0）是二次根式，共4个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数．
【变式1-1】（2022秋 遂宁期末）下列式子中二次根式的个数有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（x＞1）；（7）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次根式的定义对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：（1）是二次根式；
（2）不是二次根式；
（3）是二次根式；
（4）是三次根式；
（5）是二次根式；
（6）（x＞1）不是二次根式；
（7）是二次根式．
综上所述，是二次根式的有（1）（3）（5）（7）共4个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
【变式1-2】（2022秋 沈丘县期末）在式子中，二次根式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解．
【解答】解：根据二次根式的定义，y＝﹣2时，y+1＝﹣2+1＝﹣1＜0，无意义，故不符合题意；是三次根式，不符合题意；x+y是整式，不符合题意；
所以二次根式有（x＞0），，（x＜0），，共4个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义，比较简单，要注意被开方数是非负数，熟记概念是解题的关键．
【变式1-3】（2022春 文登区期中）在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次根式的定义作答．
【解答】解：（x＞0），，符合二次根式的定义．
（y＝﹣2），（x＞0）无意义，不是二次根式．
属于三次根式．
x+y不是根式．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】
【例2】（2023春 河西区期中）已知是整数，正整数n的最小值为（　　）
A．96 B．6 C．24 D．2
【分析】根据96＝42×6n，若是整数，则96n一定是一个完全平方数，即可求解．
【解答】解：96＝42×6n，则是整数，
则正整数n的最小值6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键．
【变式2-1】（2022秋 偃师市期中）已知n是正整数，是整数，则n的值可以是（　　）
A．5 B．7 C．9 D．10
【分析】将选项的值逐个代入验证即可．
【解答】解：A、当n＝5时，2，不是整数，故A不符合题意；
B、当n＝7时，，不是整数，故B不符合题意；
C、当n＝9时，2，不是整数，故C不符合题意；
D、当n＝10时，7，是整数，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的定义及二次根式的化简，属于基础知识的考查，比较简单．
【变式2-2】（2022春 青山区期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为　13　．
【分析】将变形为，根据是整数判断即可得．
【解答】解：∵3，且是整数，
∴正整数n的最小值为13，
故答案为：13．
【点评】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
【变式2-3】（2022春 南昌期中）若是正整数，则x的最大值是　11　．
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：由题意得：12﹣x≥0，
∴x≤12．
又是正整数，
∴x的最大值是 11．
故答案是：11．
【点评】本题考查了二次根式的定义，注意“是正整数”暗含条件x≠12．
【知识点2 二次根式有意义的条件】
（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：.
【知识点3 判断二次根式有意义的条件】
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】
【例3】（2023 宁波模拟）使代数式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x C．x且x≠3 D．x
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0，3﹣x≠0，
解得，x且x≠3，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．
【变式3-1】（2022春 历城区校级月考）若式子有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2，且x≠2 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2，且x≠2
【分析】根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数解答．
【解答】解：根据题意，得x+2≥0且x2﹣4≠0．
解得x＞﹣2且x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义 分母不为零；
（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
【变式3-2】（2023 怀化模拟）使有意义的x的取值范围为　 　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x＞﹣1且x≠1．
故答案是：x＞﹣1且x≠1．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
【变式3-3】（2023春 海淀区校级月考）求有意义的a的整数值：　 　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的范围，进一步求得a的整数值．
【解答】解：由题意得，a+4≥0，|a|﹣2≠0，3﹣a＞0，
解得﹣4≤a＜3且a≠±2．
故a的整数值为﹣4，﹣3，﹣1，0，1．
故答案为：﹣4，﹣3，﹣1，0，1．
【点评】本题考查的是二次根式的性质和分式的意义，掌握被开方数大于或等于0，分母不等于0是解题的关键．
【题型4 根据二次根式有意义条件求值】
【例4】（2023春 蜀山区校级期中）已知，则（x+y）2000（x﹣y）2001的值为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵，
∴x＝2，y，
则（x+y）2000（x﹣y）2001＝（2）2000×（2）2001
＝[（2）×（2）]2000×（2）
＝（4﹣3）2000×（2）
＝1×（2）
＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确运用积的乘方运算法则是解题关键．
【变式4-1】（2023春 淮北月考）已知|2022﹣a|a，则4a﹣40402的值为（　　）
A．8084 B．6063 C．4042 D．2023
【分析】根据二次根式有意义的条件求出a的范围，把已知式子变形，代入计算即可．
【解答】解：由题意得，a﹣2023≥0，
解得，a≥2023，
原式变形为：a﹣2022a，
则2022，
∴a﹣2023＝20222，
∴4a＝4×20222+8084，
∴4a﹣40402＝40402+8084﹣40402＝8084，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式4-2】（2023 石家庄模拟）若a、b为实数，且b，则a+b＝　 　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可求出a的值，将a的值代入原式即可求出b的值．
【解答】解：由题意可知：，
∴a2＝1，
∴a＝±1，
∴b＝0，
当a＝1时，
原式＝1．
当a＝﹣1时，
原式＝﹣1．
故答案为：±1
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
【变式4-3】（2023春 雨花区校级月考）已知实数x、y为实数，是否存在实数m满足关系式？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+y＝100，等式右边等于0，可得方程组，解方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：x+y＝100，
∴0，
∴，
解得：m＝102，
∴存在，m的值为102．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到方程组是解题的关键．
【知识点4 二次根式的性质】
性质1：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
【题型5 利用二次根式的性质化简】
【例5】（2023春 柯桥区月考）已知在数轴上的位置如图所示，化简：
　 　．
【分析】根据|a|化简即可．
【解答】解：根据数轴得：n＞0，m＜n，m＜﹣1，
∴m﹣n＜0，m+1＜0，
∴原式＝n+n﹣m﹣（m+1）
＝n+n﹣m﹣m﹣1
＝2n﹣2m﹣1．
故答案为：2n﹣2m﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，根据数轴判断出绝对值里面的数的正负是解题的关键．
【变式5-1】（2023春 江油市月考）已知0＜a＜1，化简得　 　．
【分析】根据（a）2﹣4＝（a）2，（a）2+4＝（a）2，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴a
∴原式|a|+|a|a+a，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是正确解答的前提．
【变式5-2】（2023春 合肥期中）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简．
【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算．
【解答】解：由三边关系定理，得3+5＞c，5﹣3＜c，即8＞c＞2，
∴原式
＝|c﹣2||c﹣8|
＝c﹣2（8﹣c）
c﹣6．
【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用，掌握其性质是解决此题关键．
【变式5-3】（2023春 龙口市期中）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2≤a≤5时，化简：　 　；
（2）若等式4成立，则a的取值范围是　 　；
（3）若8，求a的取值．
【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
【解答】解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
（3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8，
当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，
∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，
∴a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜5时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a﹣5＝8，
∴a＝6，符合题意；
综上所述，a＝﹣2或a＝6；
故答案为：（1）3；（2）3≤a≤7
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【题型6 化简复合二次根式】
【例6】（2022秋 雨城区校级期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+23+2+2（）2+（）2+2（）2，所以．
请仿照上面的例子化简下列根式：
（1）；
（2）．
【分析】将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵4+2（）2+12+21＝（1）2，
∴|1|1，
（2）∵9﹣4（）2+22﹣22＝（2）2，
∴|2|2．
【点评】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握二次根式化简的方法是得出答案的前提．
【变式6-1】（2022秋 武侯区校级期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m，n，使m2+n2＝x且mn，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵3+21+2+212+（）2+2×1（1）2，
∴1．
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）（2）根据完全平方公式把原式变形，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵7+44+43＝22+2×2（）2＝（2）2，
∴2；
（2）∵5﹣23﹣22＝（）2﹣2（）2＝（）2，
∴．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．
【变式6-2】（2022秋 济南期中）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且mn，则可变形为|m±n|，从而达到化去一层根号的目的．
例如：|1|1
仿照上例完成下面各题：
①填上适当的数：|　　|＝　　；
②试将化简．
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形得出答案．
【解答】解：①
＝||
；
故答案为：；；
②原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确运用乘法公式是解题关键．
【变式6-3】（2022秋 漳浦县期中）阅读下面例题：化简
解：∵2+5＝7，2；
7+2
∴
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据完全平方公式、二次根式的性质化简；
（2）先把变形，再根据完全平方公式、二次根式的性质化简；
（3）x，求出x2，再根据完全平方公式、二次根式的性质化简．
【解答】解：（1）∵5﹣23﹣22＝（）2﹣2（）2＝（）2，
∴；
（2）；
（3）设x，
则x2＝（）2
＝424
＝8+2
＝8+2
＝8+2
＝8+22
＝6+2，
∴x1，即1．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．

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