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题目
一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若固定三角形AOB，将三角形ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转∠α(0°＜∠α＜180°)，当三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行时，相应的旋转角∠α的值是(? ).
【解析】
本道题要分类讨论，共5种情况，不要漏掉其中一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算得到旋转角∠α的值．
【答案】
解：分5种情况讨论：（1）当AC边与OB平行的时候α=90°-45°=45°；（2）AD边与OB边平行的时候α=90°+45°=135°；（3）DC边与OB边平行的时候旋转角应为α=165°，（4）DC边与AB边平行时α=180°-60°-90°=30°，（5）DC边与AO边平行时α=180°-60°-90°+45°=75°．故答案为：45，135，165，30，75．
故答案为：
45，135，165，30，75
【点评】
本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
题目
若非零实数a，b满足a2=ab- b2，则= ．
【解析】
移项后，利用完全平方公式计算，得到（a- ）2=0，然后再计算即可．
【答案】
解：∵a2=ab- b2∴a2-ab+ b2=（a- ）2=0∴a= ， =2．
【点评】
本题考查了完全平方公式的应用，比较简单，熟记公式结构是解题的关键．
题目
用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；? B方法：剪4个侧面和5个底面。A方法???????????????? B方法现有38张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法。(1)、用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；(2)、若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【解析】
试题分析：(1)、x张A方法可得侧面6x个，(38－x)张B方法可得侧面4(38－x)个；底面只有B方法可得5(38－x)个；(2)、根据侧面与底面的比值列出方程进行计算，然后进行求解.试题解析：(1)、侧面：6x+4(38－x)=2x+152（个）??底面：5(38－x)=190－5x(个)(2)、根据题意得：(2x+152)：(190－5x)＝3：2??????解得x=14盒子的个数为：(2×14+152)÷3=60(个)考点：一元一次方程的应用.
【答案】
(1)、侧面：2x+152；底面：190－5x；(2)、60个.
题目
设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2-y2）（4x2-y2）+3x2（4x2-y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．
【解析】
先利用因式分解得到原式=（4x2-y2）（x2-y2+3x2）=（4x2-y2）2，再把当y=kx代入得到原式=（4x2-k2x2）2=（4-k2）x4，所以当4-k2=1满足条件，然后解关于k的方程即可．
【答案】
解：能．（x2-y2）（4x2-y2）+3x2（4x2-y2）=（4x2-y2）（x2-y2+3x2）=（4x2-y2）2，当y=kx，原式=（4x2-k2x2）2=（4-k2）2x4，令（4-k2）2=1，解得k=±或±，即当k=±或±时，原代数式可惜化简为x4．
【点评】
本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
题目
用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒.现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m＋n的值可能是( )
A.2 013 B.2 014 C.2 015 D.2 016
【解析】
设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可.
【答案】
解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，根据题意得
4x+3y＝m ? ?
x+2y＝n ? ?
两式相加得，m+n=5（x+y），∵x、y都是正整数，∴m+n是5的倍数，∵2013、2014、2015、2016四个数中只有2015是5的倍数，∴m+n的值可能是2015.故选C．
故答案为：c
【点评】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据系数的特点，观察出所需两种纸板的张数的和正好是5的倍数是解题的关键，也是解题的突破口.
题目
有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为．
【解析】
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
【答案】
解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2-b2-2（a-b）=1即a2+b2-2ab=1，由图乙得（a+b）2-a2-b2=12，2ab=12，所以a2+b2=13，故答案为：13．
【点评】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．
题目
将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是( )
A.43° B.47° C.30° D.60°
【答案】
解：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵ AB∥DE，
∴ ∠β＝∠EDC，
又∠CED＝∠α＝43°，
∠ECD＝90°，
∴ ∠β＝∠EDC＝90°－∠CED＝90°－43°＝47°，
故选B.
故答案为：b
题目
三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以3，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．
【解析】
先把代入，求得，再求出（a2-a1）x+2（b2-b1）y=3（c2-c1），利用代换法求出（a2-a1）x+2（b2-b1）y=3（a2-a1）+6（b2-b1），即可得出方程组的解．
【答案】
解：把代入 得 ，∴（a2-a1）+2（b2-b1）=c2-c1，∵方程组，解得，（a2-a1）x+2（b2-b1）y=3（c2-c1），∵3（a2-a1）+6（b2-b1）=3（c2-c1），∴（a2-a1）x+2（b2-b1）y=3（a2-a1）+6（b2-b1），∴解得，故答案为：．
【点评】
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是运用换元替换的方法来解决．
题目
家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：（1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米；（2）他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米；（3）抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；（4）下山用1个小时；根据上面信息，他作出如下计划：（1）在山顶游览1个小时；（2）中午12：00回到家吃中餐．若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？
【解析】
由（1）得 v下=（v上+1）千米/小时．由（2）得 S=2v上+1由（3）、（4）得 2v上+1=v下+2．根据S=vt求得计划上、下山的时间，然后可以得到共需的时间为：上、下上时间+山顶游览时间．
【答案】
解：设上山的速度为v，下山的速度为（v+1），则2v+1=v+1+2，解得 v=2．即上山速度是2千米/小时．则下山的速度是3千米/小时，山高为5千米．则计划上山的时间为：5÷2=2.5（小时），计划下山的时间为：1小时，则共用时间为：2.5+1+1=4.5（小时），所以出发时间为：12：00-4小时30分钟=7：30．答：孔明同学应该在7点30分从家出发．
【点评】
本题考查了应用题．该题的信息量很大，是不常见的应用题．需要进行相关的信息整理，只有理清了它们的关系，才能正确解题．
题目
7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足什么关系？
【解析】
只要根据题意表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【答案】
解：
左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，∴AE+a=4b+PC，即AE-PC=4b-a，∴阴影部分面积之差S=AE?AF-PC?CG=3bAE-aPC=3b（PC+4b-a）-aPC=（3b-a）PC+12b2-3ab，则3b-a=0，即a=3b．
故答案为：
a=3b．
【点评】
此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意列式是解本题的关键．此类数形结合的试题是中考的常见题型，必须加强训练才能熟练掌握.
题目
甲、乙两商场自行定价销售某一商品。
(1)甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为______元；
(2)乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少?
(3)甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整。
甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；
乙商场：两次提价的百分率都是a+b2(a>0,b>0,a≠b).
请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多?请说明理由。
【解析】
（1）灵活利用利润公式：售价-进价=利润，直接填空即可；（2）设该商品在乙商场的原价为x元，根据提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，即可列方程求解．（4）分别求出甲、乙两商场提价后的代数式，比较大小即可求解．
【答案】
(1)1.15÷(1+15%)=1(元)；
(2)设该商品在乙商场的原价为x元，则
6x?61.2x=1.
解得x=1.
经检验：x=1满足方程，符合实际。
答：该商品在乙商场的原价为1元.
(3)由于原价均为1元，则
甲商场两次提价后的价格为：(1+a)(1+b)=1+a+b+ab.
乙商场两次提价后的价格为：(1+a+b2)2=1+a+b+(a+b2)2.
∵(a+b2)2?ab=(a?b2)2>0.
故乙商场两次提价后价格较多.
题目
设（2x+1）6=a0x6+a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6，这是关于x的一个恒等式（即对于任意x都成立）．请设法求得以下三式的数值：（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6；（2）a1+a3+a5；（3）a2+a4
【解析】
代入x的特殊值，当x=1时，可以得出a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6；当x=-1时可以根据x=1得出a1+a3+a5；当x=0时根据a6=1，又a0为最高次项系数为26，得a2+a4．
【答案】
解：（1）令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=（2+1）6=729 ①；（2）令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=（-2+1）6=1 ②①-②得2（a1+a3+a5）=729-1=728，∴a1+a3+a5=364 ③；（3）①+②得2（a0+a2+a4+a6）=730，得a0+a2+a4+a6=365 ④令x=0，得a6=1，又a0为最高次项系数为26，得a2+a4=300．
【点评】
本题考查了等式的应用问题，合理取x的值是解题的关键．
题目
设（2x+1）6=a0x6+a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6，这是关于x的一个恒等式（即对于任意x都成立）．请设法求得以下三式的数值：（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6；（2）a1+a3+a5；（3）a2+a4
【解析】
代入x的特殊值，当x=1时，可以得出a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6；当x=-1时可以根据x=1得出a1+a3+a5；当x=0时根据a6=1，又a0为最高次项系数为26，得a2+a4．
【答案】
解：（1）令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=（2+1）6=729 ①；（2）令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=（-2+1）6=1 ②①-②得2（a1+a3+a5）=729-1=728，∴a1+a3+a5=364 ③；（3）①+②得2（a0+a2+a4+a6）=730，得a0+a2+a4+a6=365 ④令x=0，得a6=1，又a0为最高次项系数为26，得a2+a4=300．
【点评】
本题考查了等式的应用问题，合理取x的值是解题的关键．
题目
如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD：AB=？（　　）
A.5：3。 B.7：5
C.23：14。 D.47：29
【解析】
可设灰色长方形的长上摆5x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，因为将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形，可表示出灰色长方形的长和宽，进而求出大长方形的长和宽，从而可求解．
【答案】
解：设灰色长方形的长上摆5x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，2（5x+3x）+4=148x=95x=45，3x=27，AD=45+2=47，AB=27+2=29，=．故选D．
【点评】
本题考查理解题意能力，关键是看到灰色长方形的周长和148个小正方形的关系，以及灰色长方形的边长和大长方形的边长的关系．

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