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第六章 图形的变化
第二节 图形的相似
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 相似的有关概念 ☆ 图形的相似是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的考点之一。它不仅可以作为基础考点单独考查，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等知识点一起考查。而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。需要考生在复习的时候给予加倍的重视，扎实掌握，灵活应用。
考点2 相似三角形的性质与判定 ☆☆☆
考点3 图形的位似 ☆☆
考点4 相似三角形的应用 ☆☆
■考点一　相似的有关概念
1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比。
2）比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的 。
3）比例的性质
性质 内容
性质1 = ad=bc（a，b，c，d≠0）。
性质2 如果=，那么。
性质3 如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）。
4）黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的 ，AC是BC与AB的 ，AC与AB的比叫做 。
5）平行线分线段成比例（定理）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
即： 。
■考点二　相似三角形的性质与判定
1）相似三角形的定义：对应角 ，对应边成 的两个三角形叫做 ，相似三角形对应边的比叫做 。
2）性质：（1）相似三角形的对应角 ；（2）相似三角形的对应 成比例；（3）相似三角形的周长比等于 ，面积比等于相似比的 。
3）判定：（1）有两角对应 ，两三角形相似；（2）两边对应 且夹角 ，两三角形相似；（3）三边对应 ，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应 ，两直角三角形相似。
4）相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做 ，相似多边形对应边的比叫做它们的 。
5）相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边 ；（2）相似多边形的对应角 ；（3）相似多边形周长的比等于 ，相似多边形面积的比等于相似比的 。
■考点三　图形的位似
1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做 。
2）位似图形的性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比 ；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 或 。
3）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线 ，则该点即是 。
4）画位似图形的步骤：（1）确定 ；（2）确定原图形的 ；（3）确定 ，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的 ；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各 。
■考点四　相似三角形的应用
1）利用影长测量物体的高度
①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用 的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比 ”的原理解决。
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的 来，再计算出被测量物的 。
2）利用相似测量河的宽度（测量距离）
①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上。必须保证在 上，为了使问题简便，尽量构造 三角形。
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出 。
3）借助标杆或直尺测量物体的高度．
利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用 和 的知识构建 ，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。
■易错提示
1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系。
2. 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质，但相似图形不一定是位似图形。
3. 两个位似图形的位似中心只有一个，它可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上。
■考点一　相似的有关概念
◇典例1：（2023·上海奉贤·统考一模）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·江苏淮安·统考一模）在比例尺为：的南京交通旅游图上，玄武湖隧道约长，它的实际长度约为 ．
2．（2023·重庆·一模）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（ ）
A．4 B．6 C．9 D．36
◇典例2：（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ．
◆变式训练
1．（2023·浙江嘉兴·统考二模）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为． 这个数据体现了数学中的（ ）

A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．黄金分割
2．（2024·上海杨浦·统考一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例3：（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：
◆变式训练
1．（2023·吉林长春·校考模拟预测）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江大庆市·中考模拟预测）已知，则________
◇典例4：（2023·江苏·统考中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
◆变式训练
1．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）

A． B． C．2 D．3
3．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在中，点在边上，连接，交于点．则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
■考点二　相似三角形的性质与判定
◇典例5：（2023·福建龙岩·校考模拟预测）如图，由图形改变为图形，这种图形改变属于（ ）

A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．相似
◆变式训练
1.（2023·广东深圳·统考模拟预测）下列图形不是相似图形的是（　　）
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．某人的侧身照片和正面照片
C．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 D．大小不同的两张中国地图
2.（2023·河南洛阳·统考一模）形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（ ）
A．关于直线对称的两个图形 B．两个正三角形 C．两个等腰三角形 D．两个半径不等的圆
◇典例6：（2023·安徽·模拟预测）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B． C．D．
◆变式训练
1．（2024·四川泸州·校考一模）如图，点D在的边上，要判定与相似，需添加一个条件，下列添加的条件中，不正确的是（　　）
A． B． C．＝ D．＝
2．（2023·浙江杭州·校考一模）如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且．求证：(1)；(2)．
◇典例7：（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·陕西·统考中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A． B．7 C． D．8
2．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．

3．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．

◇典例8：（2023·四川巴中·统考中考真题）综合与实践．

(1)提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点O．①的度数是___________． ②__________．
(2)类比探究．如图2，在和中，，且，连接并延长交于点O．①的度数是___________． ②___________．
(3)问题解决．如图3，在等边中，于点D，点E在线段上（不与A重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为的中点，N为的中点．①试说明为等腰三角形．②求的度数．
◆变式训练
1．（2023·浙江宁波·统考二模）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．
(1)[初步理解]如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形．
(2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图2，若，，，求四边形的周长．
(3)[拓展提高]如图3，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且．若，，求的值．
2．（2023·山东泰安·统考三模）【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图，点在的延长线上，且，若求证：；请用你所学的知识进行证明．
【拓展训练】如图，点在的延长线上，且，若，，，则的值为______；（直接写出）
【知识迁移】将此模型迁移到平行四边形中，如图，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点若求证：．
◇典例9：（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）

A．4 B．9 C．12 D．
◆变式训练
1．（2023·重庆·统考中考真题）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏泰州·统考中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
3．（2024·四川泸州·校考一模）若且面积比为，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
◇典例8：（2023·山东·统考中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
◆变式训练
1. （2023·河北张家口·校考模拟预测）把一根铁丝首尾相接围成一个长为，宽为的矩形，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形，使矩形矩形，则这根铁丝需增加（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·上海虹口·统考一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
■考点三　图形的位似
◇典例10：（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）

◆变式训练
1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（ ）

A．点 B．点 C．点 D．点
2．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
◇典例11：（2023·湖南湘潭·校考三模）（多选题）如图，已知，任取一点，连接，，，并取它们的中点、、、顺次连接得到，下列结论中正确的是（　　）

A．与是位似图形 B．与是相似图形
C．与的周长之比 D．与的面积之比为
◆变式训练
1．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．

3．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是 ．
◇典例12：（2023·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点．(1)在所给网格中，以点为位似中心，将放大2倍得到（点的对应点分别是），画出；(2)将进行平移得到格点（点的对应点分别是），使，画出．
◆变式训练
1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
(1)在图1中，以为边，画出，使和全等，D为格点，请在图1中画出满足条件的所有；(2)在图2中，以点C为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点E、F为格点；(3)在图3中，在边上找一个点P，且满足．
2．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为、．
(1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍即新图与原图的相似比为，画出图形并写出点、的坐标；(2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求出点所经过的路线长．

■考点四　相似三角形的应用
◇典例13：（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为 cm．

◆变式训练
1.（2023·吉林长春·校考模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图1，滹沱河是山西地区一条途径了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点．测得，，，请根据这些数据求河的宽度．

◇典例14：（2023·四川攀枝花·统考中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．

◆变式训练
1．（2023·江西·统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．

2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点为揽月阁的顶部，点为揽月阁的底部，小明在点处放一水平的平面镜，然后沿着方向向前走米，到达点处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端的像．接下来小明不动，小丽在处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端、揽月阁的顶端、小明的眼睛在一条直线上，此时测得测量杆的高度米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离米，点、、在一条直线上，，，，求揽月阁的高度．（平面镜的大小忽略不计）
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
2．（2023·安徽·统考中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ）

A．直线是的垂直平分线 B． C． D．
4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，中，D，E分别是，的中点，连接，则＝ ．
5．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E若，则 （从“”中选择一个符合要求的填空）； ．

6．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．

7．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．

8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．

9．（2023·山东济南·统考中考真题）在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．(1)如图1，连接，求的度数和的值；(2)如图2，当点在射线上时，求线段的长；(3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．

10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：_____；(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则____．

1．（2023·河南郑州·统考二模）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提农神庙（ ），我们把图中的虚线表示为矩形，并发现，这体现了数学中的（ ）

A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
2．（2023·广东云浮·统考一模）如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，并延长交于点D，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形满足，那么矩形叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形是黄金矩形，对角线，相交于且，则关于黄金矩形，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．矩形的周长
4．（2023·重庆·校联考模拟预测）如图，在外任取一点，连接、、，并分别取它们的中点、、，顺次连接、、得到，则下列说法错误的是（ ）

A．与是位似图形 B．与是相似图形
C．与的周长比是 D．与的面积比是
5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x轴正半轴上，且．点P为线段（不含端点）上一动点，将线段绕点O顺时针旋转得线段，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·陕西西安·校考一模）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为8cm，则的长为 cm．（结果保留根号）

7．（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．
8．（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，中，，，，点D、E分别是、边上的动点，折叠得到，且点落在边上，若恰好与相似，的长为 ．

9．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边、上，且，连接并延长至点F，使，连接，，连接并延长交于点G．若，则 ．

10．（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则 ．

11．（2023·河南周口·统考一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形且顶点均在格点上．(1)在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标；(2)与的位似比为__________，面积比为__________．

12．（2023·浙江宁波·统考一模）【基础巩固】
(1)如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：．
【尝试应用】(2)如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长．
【拓展提升】(3)如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长．
1．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
2．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（ ）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（ ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
4．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在中，，点分别为边的中点，连接．
初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接．
（1）求的度数；（2）求的长．
深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．

5．（2023·广东深圳·统考中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则______．
（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．
（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．

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第六章 图形的变化
第二节 图形的相似
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 相似的有关概念 ☆ 图形的相似是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的考点之一。它不仅可以作为基础考点单独考查，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等知识点一起考查。而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。需要考生在复习的时候给予加倍的重视，扎实掌握，灵活应用。
考点2 相似三角形的性质与判定 ☆☆☆
考点3 图形的位似 ☆☆
考点4 相似三角形的应用 ☆☆
■考点一　相似的有关概念
1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比。
2）比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项。
3）比例的性质
性质 内容
性质1 = ad=bc（a，b，c，d≠0）。
性质2 如果=，那么。
性质3 如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）。
4）黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比。
5）平行线分线段成比例（定理）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
即： 。
■考点二　相似三角形的性质与判定
1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比。
2）性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
3）判定：（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。
4）相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。
5）相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方。
■考点三　图形的位似
1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比。
2）位似图形的性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比。
3）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心。
4）画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点。
■考点四　相似三角形的应用
1）利用影长测量物体的高度
①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决。
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。
2）利用相似测量河的宽度（测量距离）
①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上。必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。
3）借助标杆或直尺测量物体的高度．
利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。
■易错提示
1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系。
2. 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质，但相似图形不一定是位似图形。
3. 两个位似图形的位似中心只有一个，它可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上。
■考点一　相似的有关概念
◇典例1：（2023·上海奉贤·统考一模）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知是等腰直角三角形，设，可用含的式子表示的长，再根据以为圆心，长为半径作弧，可知的长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，是等腰直角三角形，设，
∴，∵以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，
∴，∴，故选：．
【点睛】本题主要考查作图求线段的比值，理解题意，找出线段之间的大小关系是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·江苏淮安·统考一模）在比例尺为：的南京交通旅游图上，玄武湖隧道约长，它的实际长度约为 ．
【答案】2.8
【分析】根据旅游图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可．
【详解】解：设它的实际长度是，根据题意得：
：：，解得：，
．故它的实际长度约为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例尺的定义，实际就是比例的问题，解题的关键是由题意列出比例式求解．
2．（2023·重庆·一模）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（ ）
A．4 B．6 C．9 D．36
【答案】B
【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出．
【详解】解：根据比例中项的概念，得，，
又线段不能是负数，应舍去，取，故选：B．
【点睛】考查了比例中项的概念：解题的关键是当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不能是负数．
◇典例2：（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ．
【答案】
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．
【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
∴之间的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·浙江嘉兴·统考二模）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为． 这个数据体现了数学中的（ ）

A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．黄金分割
【答案】D
【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．
【详解】解：∵黄金分割比为：，∴动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为，体现了数学中的黄金分割，故选．
【点睛】本题考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键．
2．（2024·上海杨浦·统考一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．
【详解】解：如图，
∵点是线段的黄金分割点，且，∴，故选：A．
◇典例3：（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：

【答案】
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：∵∴∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·吉林长春·校考模拟预测）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题．设，，，代入求解即可．
【详解】解：，可以假设，，．故选：B．
2．（2023·黑龙江大庆市·中考模拟预测）已知，则________
【答案】
【分析】设，再将分别用的代数式表示，再代入约去即可求解．
【详解】解：设，则，
故，故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键．
◇典例4：（2023·江苏·统考中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【答案】D
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．
【详解】解：由步骤2可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤3中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点 故选：D
【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．
◆变式训练
1．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．
【详解】解：∵中，，∴，
∵∴，故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
2．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）

A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可．
【详解】∵，，∴四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在中，点在边上，连接，交于点．则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例的性质进行解答即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，，，∴
，，故B错误，不符合题意；，故A正确，符合题意；
如果，则有，和不平行，，故C错误，不符合题意；
如果，则有∴，和不平行，
，故D错误，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质定理是解题的关键．
■考点二　相似三角形的性质与判定
◇典例5：（2023·福建龙岩·校考模拟预测）如图，由图形改变为图形，这种图形改变属于（ ）

A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．相似
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义知，图形改变为图形，属于图形的形状相同，大小不相同，属于相似变换，据此作答即可．
【详解】图形改变为图形，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：D．
【点睛】本题考查相似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于相似变换，是解答本题的关键．
◆变式训练
1.（2023·广东深圳·统考模拟预测）下列图形不是相似图形的是（　　）
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．某人的侧身照片和正面照片
C．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 D．大小不同的两张中国地图
【答案】B
【分析】利用相似图形定义分别分析得出符合题意的图形即可．
【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，故本选项不符合题意；
B、某人的侧身照片和正面像，不是相似图形，故本选项符合题意；
C、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是相似图形，故本选项不符合题意；D、大小不同的两张中国地图，是相似图形，故本选项不符合题意；故选：B．
【点睛】此题考查了相似图形的定义，正确把握定义是解题关键．
2.（2023·河南洛阳·统考一模）形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（ ）
A．关于直线对称的两个图形 B．两个正三角形 C．两个等腰三角形 D．两个半径不等的圆
【答案】C
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、关于直线对称的两个图形全等，∴它们是相似图形，不符合题意；
B、两个正三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴它们是相似图形，不符合题意；
C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，
∴它们不一定是相似图形，符合题意； D、两个半径不等的圆是相似图形，不符合题意． 故选：C．
【点睛】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
◇典例6：（2023·安徽·模拟预测）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．
◆变式训练
1．（2024·四川泸州·校考一模）如图，点D在的边上，要判定与相似，需添加一个条件，下列添加的条件中，不正确的是（　　）
A． B． C．＝ D．＝
【答案】C
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解；
【详解】解： 若 ，则 ，故选项 A 不合题意；
若 ，则 ， 故选项 B 不合题意；
若 ，则 ，故选项 D 不合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
2．（2023·浙江杭州·校考一模）如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且．求证：(1)；(2)．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）利用证明即可；（2）根据得出，，根据，，得出，利用相似三角形的判定得出结论即可．
【详解】（1）证明：∵，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）证明：∵，∴，，
∵，，∴，即，∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
◇典例7：（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形， ∴，
∵，，
∴，∴∴
∵，∴，∴
∵∴，故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·陕西·统考中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A． B．7 C． D．8
【答案】C
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，，，，
，，∴．故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
2．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．

【答案】
【分析】连接，证明是等边三角形，则，，设，则，取的中点H，连接，求出，设，则，证明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，进一步即可得到答案．
【详解】解：连接，

∵将绕着点C按顺时针旋转得到，∴，
∴是等边三角形，∴，，
设，则，取的中点H，连接，
∴，，∴，
设，则，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
解得，即，∴，
∴，∴
，故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
3．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．

【答案】/0.8
【分析】首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，进而得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】∵在中，，，，∴
∵∴，∴
∴∴∵∴
∴∴∴．故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．
◇典例8：（2023·四川巴中·统考中考真题）综合与实践．

(1)提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点O．①的度数是___________． ②__________．
(2)类比探究．如图2，在和中，，且，连接并延长交于点O．①的度数是___________． ②___________．
(3)问题解决．如图3，在等边中，于点D，点E在线段上（不与A重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为的中点，N为的中点．①试说明为等腰三角形．②求的度数．
【答案】(1)①．②(2)①．②(3)①见解析；②
【分析】（1）①证明得到，进而证明，即可求出；②由全等三角形的性质可得，则；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到，，进而证明，得到，推出，则；②由相似三角形的性质可得；
（3）①连接，延长交于点P，交于点O，证明分别是、的中位线，得到，再证明，得到，则，由此即可证明为等腰三角形；②由全等三角形的性质可得，进而求出，则，再由平行线的性质可得．
【详解】（1）解：①，∴，即，
又∵，∴，∴，
∵即，
∴，即
∴，故答案为：；
②∵，∴，∴，故答案为：；
（2）解：①∵在和中，，且，
∴，，
∴，即，
又∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：；
②∵，∴，故答案为：；
（3）解：①连接，延长交于点P，交于点O
在等边中，于点D，为的中点
又为的中点，N为的中点， 分别是、的中位线
∵都是等边三角形，
∴，

在和中，
为等腰三角形．
②，∵，
∴，
∴，∴，∴
又，即．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理等等，正确理解题意通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·浙江宁波·统考二模）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．
(1)[初步理解]如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形．
(2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图2，若，，，求四边形的周长．
(3)[拓展提高]如图3，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且．若，，求的值．
【答案】(1)见解析(2)23(3)
【分析】（1）根据题目所给“叠似三角形”的定义，即可求证；
（2）先证明，得出，则，且
根据，，求出，，，即可求出四边形的周长为，
（3）过C作的平行线交的延长线于G，通过证明，得出，再证明，得出，，，根据，，得出，，最后根据即可求解．
【详解】（1）解： 平分，，
在中，，
，，
，，所以 和为叠似三角形；
（2）解：∵，，
，．，
，，，且
，，，，
四边形的周长为：．
（3）解：如图，过C作的平行线交的延长线于G，，，

∵，，，，
，，，，
为中点，，又，，
，，，即
，，，，．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例以及题目所给“叠似三角形”的定义．
2．（2023·山东泰安·统考三模）【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图，点在的延长线上，且，若求证：；请用你所学的知识进行证明．
【拓展训练】如图，点在的延长线上，且，若，，，则的值为______；（直接写出）
【知识迁移】将此模型迁移到平行四边形中，如图，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点若求证：．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析
【分析】（1）由，，推出，进而得出结论；（2）在上截取，连接，可证得，从而，进而得出；（3）以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，可得出，从而，进一步得出结论．
【详解】（1）证明：，，，
，；
（2）解：如图，
在上截取，连接，
，是等边三角形，，，
，，
，由（1）知：，
，，故答案为：；
（3）证明：如图，
以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，，，
四边形是平行四边形，，，，
，，由（1）知：，
，，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”．
◇典例9：（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）

A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质即可求出．
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴，∴，故选：B.
【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.
◆变式训练
1．（2023·重庆·统考中考真题）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．
【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为，∴相似三角形的对应边比为，故选．
【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2．（2023·江苏泰州·统考中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
【答案】
【分析】由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：两个相似图形，其周长之比为，其相似比为，
其面积比为．故答案为：．
【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
3．（2024·四川泸州·校考一模）若且面积比为，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比的得出答案．
【详解】∵且面积比为，∴和的相似比为，
∴和的周长比为．故选：C．
◇典例8：（2023·山东·统考中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．
【详解】解：，由折叠可得：，，
∵矩形，∴，∴，设的长为x，则，
∵矩形，∴，∵矩形与原矩形相似，
∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去）∴，故选：C．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．
◆变式训练
1. （2023·河北张家口·校考模拟预测）把一根铁丝首尾相接围成一个长为，宽为的矩形，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形，使矩形矩形，则这根铁丝需增加（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图形知，扩张后的长方形宽为，设长为，根据相似长方形的性质列式计算求得，再计算即可求解．
【详解】解：原长方形的长和宽分别为和，由图形知，扩张后的长方形宽为，设长为，
∵矩形矩形，∴，∴，
经检验，是分式方程的解，∴扩张后的长方形长为，
原长方形的周长为，扩张后长方形的周长为，
，∴这根铁丝需增加，故选：D．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解是解题的关键．
2.（2023·上海虹口·统考一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则已知四边形的四条边分别为1，，2，．
选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意；选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例．
将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为．
如图，连接、，则，．
在与中，，，
，，．
在与中，，，
，，，
，，，，
又，四边形四边形．故选：D．
■考点三　图形的位似
◇典例10：（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）

【答案】
【分析】过点分别作轴的垂线垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为，

∵与的相似比为，点是位似中心，∴
∵，∴,∴，
∴∴ 故答案为：．
【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（ ）

A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【分析】根据位似中心是位似点连线的交点判断即可．
【详解】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，故选D．

【点睛】本题考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似点连线的交点是解题的关键．
2．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
◇典例11：（2023·湖南湘潭·校考三模）（多选题）如图，已知，任取一点，连接，，，并取它们的中点、、、顺次连接得到，下列结论中正确的是（　　）

A．与是位似图形 B．与是相似图形
C．与的周长之比 D．与的面积之比为
【答案】ABC
【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，，，进而证明，根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：、、的中点分别为、、，
∴，，，，，，∴，
与是位似图形，位似中心为点，A选项符合题意；
与是相似图形，B选项符合题意；
与的周长比是，C选项符合题意；
与的面积比是，D选项不符合题意；故选：ABC．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质、三角形中位线定理，掌握位似图形的概念、相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似变换的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到答案．
【详解】解：∵与位似，位似中心为，∴，，
∵的面积与的面积之比是，
∴的面积与的相似比是，即，
∵，∴，∴，∴，故选：D．
2．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．

【答案】
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．
【详解】解：，，设周长为，设周长为，
和是以点为位似中心的位似图形，
．．和的周长之比为．故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．
3．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是 ．
【答案】
【分析】直接利用位似图形的性质得出和的面积比即可．
【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，，
∴与的面积比为：，故答案为：．
【点睛】此题考查了位似变换，掌握相似三角形的性质是解题关键．
◇典例12：（2023·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点．(1)在所给网格中，以点为位似中心，将放大2倍得到（点的对应点分别是），画出；(2)将进行平移得到格点（点的对应点分别是），使，画出．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查格点作图，作位似图形和平移图形：（1）将点A与点O连接并延长至，使得，得到，同理得到，，即可求解；（2）利用格点作找到点，从而得到的平移方式，进而得到，，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
◆变式训练
1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
(1)在图1中，以为边，画出，使和全等，D为格点，请在图1中画出满足条件的所有；(2)在图2中，以点C为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点E、F为格点；(3)在图3中，在边上找一个点P，且满足．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】本题主要考查了作图﹣相似变换，熟练掌握全等图形、位似图形、相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据全等三角形的性质即可作出；（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出；（3）取格点E，F，连接，交于点P，则点P即为所求作的点．
【详解】（1）如图，和和即为所作，
（2）如图，即为所作，
（3）如图所示，取格点E，F，交于点P．
；
∵，∴，∴．
2．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为、．
(1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍即新图与原图的相似比为，画出图形并写出点、的坐标；(2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求出点所经过的路线长．

【答案】(1)见解析，、的坐标分别为：，(2)见解析，
【分析】（1）利用位似图形的性质得出，点对应点 、的坐标即可；（2）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后的对应点、的位置，然后顺次连接即可，再根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】（1）解：如图所示：、的坐标分别为：，；

（2）解：如图所示：即为所求，点所经过的路线长为：．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
■考点四　相似三角形的应用
◇典例13：（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为 cm．

【答案】18
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长．
【详解】解：，，，，
，，故答案为：18．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是求出的值．
◆变式训练
1.（2023·吉林长春·校考模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键．先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
【详解】解：∵，∴四边形为矩形，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即,∴物体被缩小到原来的．故选：C．
2．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图1，滹沱河是山西地区一条途径了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点．测得，，，请根据这些数据求河的宽度．

【答案】
【分析】根据题意证明，再由相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，∴，∴，
∴，即，∴，解得：，答：的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
◇典例14：（2023·四川攀枝花·统考中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．

【答案】36m
【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，则
∵，，∴，∴，
∴，即，同理可证，
∴，即，∴，解得，
经检验，是原方程的解，∴，∴，∴该古建筑的高度为36m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·江西·统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．

【答案】
【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵和均为直角∴，∴，∴
∵，∴,故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点为揽月阁的顶部，点为揽月阁的底部，小明在点处放一水平的平面镜，然后沿着方向向前走米，到达点处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端的像．接下来小明不动，小丽在处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端、揽月阁的顶端、小明的眼睛在一条直线上，此时测得测量杆的高度米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离米，点、、在一条直线上，，，，求揽月阁的高度．（平面镜的大小忽略不计）
【答案】揽月阁的高度为米
【分析】延长交的延长线于点，根据题意知，根据垂直的定义得，，得，根据相似三角形的性质得，求得，设，，则，，，根据相似三角形的性质，列出方程组，即可．
【详解】延长交的延长线于点，根据题意知

∵，，，∴，
∴，∴，∴，∵，，∴，
∵，，，∴，
∴，，∴，，
设，，则，，，
∴，解得：，∴（米），答：揽月阁的高度为米．
【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【详解】解：如图，连接，

点P是的重心，点D是边的中点，P在上，
，，，，
，，，
设的面积为m，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为6，，，
的面积为9，的面积是18．故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．
2．（2023·安徽·统考中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，∴∴，，
∴，则，∴，
∵，∴，∴∴，
在中，，故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ）

A．直线是的垂直平分线 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线是的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可．
【详解】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，∴点E是的中点，，
在中，，∴，∴，
即点D是的中点，∴，故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是的中点，点E是的中点，∴是的中位线，
∴，故选项正确，不符合题意；
D．∵，∴，∴，
∴，故选项错误，符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，中，D，E分别是，的中点，连接，则＝ ．
【答案】/0.25
【分析】证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵D，E分别是，的中点，∴，
又∵，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E若，则 （从“”中选择一个符合要求的填空）； ．

【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据旋转的性质得出，即可推出；通过证明，得出，求出，设，，则，，证明，得出，则，即可求解．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，∴，即，
∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，∴，
∴，∴，即，解得：，
∵四边形是平行四边形，，∴，∴，
设，，则，，
∵，∴，
∴，∴，整理得：，
把代入解得： 故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关性质定理，掌握相似三角形对应边成比例．
6．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．

【答案】
【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出．
【详解】解：四边形是矩形，，，
由折叠的性质可得：，
，，
，，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键．
7．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．

【答案】
【分析】根据等边对等角和折叠的性质证明，进而证明，则，然后代值计算求出，则．
【详解】解：∵，∴，由折叠的性质可得，∴，
又∵，∴，∴，即，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，证明是解题的关键．
8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据位似图形的概念得到四边形和四边形相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的4倍，
∴四边形和四边形的相似比为，
∵，∴第一象限内点 ，即，故答案为：．
【点睛】本题考查位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
9．（2023·山东济南·统考中考真题）在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．(1)如图1，连接，求的度数和的值；(2)如图2，当点在射线上时，求线段的长；(3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．

【答案】(1)，；(2)；(3)．
【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案；（2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案；（3）连接，先证明是等边三角形，，得出，将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为．
【详解】（1）解：∵矩形中，，，
∴，，，∴，∴，
由矩形和矩形可得，，
∴，即，∴，∴；
（2）解：如答案图1，过点作于点，
由矩形和矩形可得，，，
∴，，∴，
∴，，∴，，
∴，∴，
设，则，∴，
∵，∴，解得，∴；
（3）解：如答案图2，连接，
∵矩形中，，，∴，，
∵，∴，，
∴，∴是等边三角形，，∴，
将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，
∴，，，∴，
∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为．

【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．
10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：_____；(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则____．

【答案】(1)，(2)，，证明见解析
(3)(4)或
【分析】（1）根据已知得出，即可证明，得出，，进而根据三角形的外角的性质即可求解；（2）同（1）的方法即可得证；（3）同（1）的方法证明，根据等腰直角三角形的性质得出，即可得出结论；
（4）根据题意画出图形，连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，延长至，使得，证明，得出，勾股定理求得，进而求得，根据相似三角形的性质即可得出，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵，∴，
又∵，，∴，∴，
设交于点，∵
∴，故答案为：，．

（2）结论：，；
证明：∵，∴，即，
又∵，，∴∴，
∵，，∴，
∴，
（3），理由如下，∵，
∴，即，
又∵和均为等腰直角三角形∴，
∴，∴，
在中，，∴，∴；
（4）解：如图所示，
连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，
延长至，使得，则是等腰直角三角形，
∵,∴，
∵，∴∴，∴，
∵，在中，，
∴∴
过点作于点，设，则，
在中，，在中，
∴∴解得：，则，
设交于点，则是等腰直角三角形，∴
在中，∴∴
又，∴∴
∴，∴∴，
在中，
∴，
综上所述，或 故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．
1．（2023·河南郑州·统考二模）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提农神庙（ ），我们把图中的虚线表示为矩形，并发现，这体现了数学中的（ ）

A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
【答案】D
【分析】根据黄金分割比可得答案．
【详解】解：∵，∴体现了数学中的黄金分割；故选D
【点睛】本题考查的是黄金分割比的含义，熟记黄金分割比为是解本题的关键．
2．（2023·广东云浮·统考一模）如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，并延长交于点D，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证，再证，得则，则点D是的黄金分割点，求出的长，即可求解．
【详解】解：，，
由题意得：平分，，
，，
∵，∴，
∴，∴，∴点D是的黄金分割点，，
，，，．故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形满足，那么矩形叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形是黄金矩形，对角线，相交于且，则关于黄金矩形，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．矩形的周长
【答案】C
【分析】计算得出，根据矩形的性质求得各项，即可判断．
【详解】解：∵，且，∴，
∵四边形是矩形，∴，故选项A正确，不符合题意；
∴，故选项B正确，不符合题意；
∴，故选项C错误，符合题意；
∴矩形的周长，故选项D正确，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
4．（2023·重庆·校联考模拟预测）如图，在外任取一点，连接、、，并分别取它们的中点、、，顺次连接、、得到，则下列说法错误的是（ ）

A．与是位似图形 B．与是相似图形
C．与的周长比是 D．与的面积比是
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质得出与是位似图形，根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比以及根据面积比等于相似比的平方即可解答．
【详解】解：根据位似性质可得：A、与是位似图形，故A选项正确，不符合题意；
B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意；
C、∵点D，E，F，为中点，∴将的三边缩小到原来的得到，
∴与的周长之比为1：2，故C选项正确，不符合题意；
D、∵面积比等于相似比的平方，
∴与的面积之比为1：4，故D选项不正确，符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x轴正半轴上，且．点P为线段（不含端点）上一动点，将线段绕点O顺时针旋转得线段，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题过点P作轴，过点Q作轴，结合旋转的性质，证明，得到，，设，，推出过点的直线是上，记直线与x轴交与点N，根据勾股定理算出，根据垂线段最短可知当时，的长最短，证明，利用相似的性质即可解题．
【详解】解：如图，过点P作轴，过点Q作轴，即，
直线l：与坐标轴交于A、B两点，，，
由旋转可知：，，
，，
在和中，，，，，
设，．点中，．，即，
点是直线上的点，记直线与x轴交与点N，
则，，，根据垂线段最短可知当时，的长最短，
，，，，，
，，，．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图像与坐标轴的交点、三角形全等的性质和判定、垂线段最短，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形，再灵活的运用相关性质定理即可解题．
6．（2023·陕西西安·校考一模）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为8cm，则的长为 cm．（结果保留根号）

【答案】
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：∵点P是的黄金分割点（），线段的长为，
∴，∴，
∴故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
7．（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．
【答案】6
【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，∵，∴，
∴，即，解得，，故答案为：6．
8．（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，中，，，，点D、E分别是、边上的动点，折叠得到，且点落在边上，若恰好与相似，的长为 ．

【答案】或
【分析】设，则，由折叠的性质得到，分两种情况：或，即可解决问题．
【详解】解：设，∴，∵折叠得到，∴，
当时，∴，∴，∴；
当时，∴，∴，∴，
∴长是或．故答案为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，折叠问题，关键是注意要分两种情况讨论，由相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，即可解决问题．
9．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边、上，且，连接并延长至点F，使，连接，，连接并延长交于点G．若，则 ．

【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．如图，延长、交于点H，由是等边三角形，可知，，由，可得，证、是等边三角形，则，，证明，则，即，证明，则，解得，证明，则，进而可得结果．
【详解】解：如图，延长、交于点H，

∵是等边三角形，∴，，
∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，
∵，，∴是等边三角形，
∴，，∴，
∴，∴，即，∵，∴，
又∵，∴，∴，解得，
∵，，∴，∴，故答案为：．
10．（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则 ．

【答案】
【分析】根据，设，过作交于，根据，设，，根据可得，，再延长、交于点，即可得到，求出，，然后根据得到，可以求出，最后求出即可．
【详解】过作交于，延长、交于点，

∵∴设，
∵，∴设，，∴，
∵∴，∴，∴,
∵矩形，∴，
∴，∴
∴，，∴，
∵，∴
∴，整理得，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，难度比较大，解题的关键是设未知数表示线段并求出不同未知数的关系．
11．（2023·河南周口·统考一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形且顶点均在格点上．

(1)在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标；
(2)与的位似比为__________，面积比为__________．
【答案】(1)见解析(2)，
【分析】（1）连接、，两线相交于点D，根据位似中心的概念、结合图形解答即可；
（2）根据，，即可得出相似比和面积比．
【详解】（1）解：如图，位似中心的坐标为：．

（2）解：∵，，∴与的位似比为：，
与的面积比为：．故答案为：，．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
12．（2023·浙江宁波·统考一模）【基础巩固】
(1)如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：．
【尝试应用】(2)如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长．
【拓展提升】(3)如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长．
【答案】(1)见解析；(2)18；(3)．
【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 进一步得出结论；
（2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果；（3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，进一步得出结果；
【详解】（1）证明：∵，
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
设，则
（舍），设 ， 则 ，
（舍去），
（3）解：如图，延长 ，交于点 ，设则
∵四边形 是菱形，
即
在 中，∵ 为 的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，即 ，
∴ (舍去)，∴，即菱形 的边长为
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形
1．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，用相似三角形的性质即可求解．
【详解】∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，

∵，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，∵，，
∴，∴，
∵，∴，∵轴轴，，∴，
∵，∴，∴即，解得，
同理可得，，∴即，解得，
∴，
∴当线段取最大值时，点的坐标是，故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
2．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（ ）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，．
【详解】①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心；
如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心；
如图，点不是中点，所以点不是重心；①正确

②当，如图时最大，，，，，
，，②错误；

③如图5，若，，
∴，，，，，，，
∴，，，∴，，
∴，∴③错误；④如图6，，
∴，即，在中，，
∴，∴，
当时，最大为5，∴④正确．故选：A．
【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键．
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（ ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可判断②正确；由得，求出即可判断③正确；根据即可判断④错误．
【详解】由折叠性质可知：，
∵，∴．∴．∴．故正确；
∵，，∴．
∵，∴．故正确；
∵，∴．∴．
∵，∴．故正确；∵，∴．
∴．∴．
∵，∴．∴与不相似．
∴．∴与不平行．故错误；故选A．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．
4．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在中，，点分别为边的中点，连接．
初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接．

（1）求的度数；（2）求的长．
深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】初步尝试：（1）；；（2）特例研讨：（1）；（2）；（3）或
【分析】（1），点分别为边的中点，则是的中位线，即可得出结论；（2）特例研讨：（1）连接，，证明是等边三角形，是等边三角形，得出；（2）连接，证明，则，设，则，在中，，则，在中，，勾股定理求得，则；
（3）当点在同一直线上时，且点在上时，设，则，得出，则在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当在上时，可得在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示与，即可求解．
【详解】初步尝试：（1）∵，点分别为边的中点，
∴是的中位线，∴；；故答案是：；
（2）特例研讨：（1）如图所示，连接，，

∵是的中位线，∴，∴
∵将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，
∴；
∵点在同一直线上时，∴
又∵在中，是斜边的中点，∴
∴∴是等边三角形，∴，即旋转角
∴∴是等边三角形，
又∵，∴,∴,
∴,∴,
（2）如图所示，连接，∵，，
∴，,

∵,∴,
∴,设，则，
在中，，则，
在中，,∴,
解得：或（舍去）∴,
（3）如图所示，当点在同一直线上时，且点在上时，
∵，∴，设，则，
∵是的中位线，∴∴，
∵将绕点顺时针旋转，得到，∴，，
∴∴，∵点在同一直线上，
∴∴，∴在同一个圆上，

∴∴
∵，∴；如图所示，当在上时，

∵∴在同一个圆上，
设，则，将绕点顺时针旋转，得到，
设，则，则，∴，
∵,∴，
∵∴∴
综上所述，或
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．（2023·广东深圳·统考中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则______．
（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．
（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．

【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）或或
【分析】（1）①根据矩形的性质得出，，进而证明结合已知条件，即可证明；②由①可得，，证明，得出，根据，即可求解；
（2）根据菱形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分三种情况讨论，①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，证明，解，进而得出，根据，得出，建立方程解方程即可求解；②当点在边上时，如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，同理证明，根据得出，建立方程，解方程即可求解；③当点在边上时，如图所示，过点作于点，求得，而，得出矛盾，则此情况不存在．
【详解】解：（1）①∵四边形是矩形，则，∴，
又∵，∴，，∴，
又∵，∴；②由①可得，
∴∴，又∵∴,故答案为：．
（2）∵在菱形中，，∴，，则，
∵，∴，∵∴，
∴，∵，∴,
又，∴，∴，
∴；
（3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，

∵平行四边形中，，，∴，,
∵，∴∴，∴∴
在中，，则，，
∴∴，∵，
∴∴∴∴
设，则，，，
∴解得：或，即或，
②当点在边上时，如图所示，
连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，设，则，，
∵∴∴∴∴，
∵∴过点作于点，
在中，，∴，，
∴，则，∴，
∴，
，∴∴，
即，∴即解得：（舍去）即；
③当点在边上时，如图所示，

过点作于点，在中，，，
∴，∵，∴，
∵，∴点不可能在边上，综上所述，的长为或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
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