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第七章　　万有引力与宇宙航行
专题11 卫星变轨问题和多星模型
◆ 知识构建 ◆
考点一、航天器的变轨问题
1.卫星轨道的突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器运行轨道发生突变，使其进人预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
（1）先将卫星发送到近地轨道I，使其绕地球做速圆周运动，速率为v1；
（2）变轨时在 P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道II；
（3）在Q 点再次点火加速进入圆形轨道III，最后以速率v4绕地球做匀速圆周运动。
2. 卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 向心运动
变轨原因 卫星速度突然增大 卫星速度突然变小
F万与Fn的关系 （万有引力不足提供所需要的向心力） （万有引力大于提供所需要的向心力）
变轨结果 转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
在新圆轨道上稳定运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大 在新圆轨道上稳定运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小
3. 对接问题
在对接问题中，同一轨道上的飞行器，欲使后面的飞行器追上前面的飞行器，需将后面的飞行器减速，使其变轨到更低的轨道上从而获得更大的速度，然后再在适当的位置加速回归到原来的轨道上。
考点二、宇宙中的双星和多星模型
1．双星模型
（1）定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
（2）特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
（3）两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
2．多星模型
（1）定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
（2）三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
（3）四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
航天器变轨问题的三点注意事项 （1）航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆周轨道上的运行速度变化由判断. （2）航天要在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大； （3）航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度
题型1　　卫星变轨问题
　由中国国家航天局组织实施研制的嫦娥五号是我国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。如图所示为嫦娥五号飞行轨迹的简化图，其中为各绕地轨道的交点，为各环月轨道的交点。关于嫦娥五号，以下说法正确的是　　
A．在环月轨道1上的机械能比在环月轨道2上的机械能大
B．在绕地轨道1上的周期比在绕地轨道2上的周期大
C．从绕地轨道进入地月转移轨道需要在点加速，而从地月转移轨道进入环月轨道需要在点减速
D．无动力情形下，在离地球表面和离月球表面相同高度处的加速度大小相同
【答案】
【分析】根据变轨原理分析嫦娥五号在不同轨道上机械能的大小。根据开普勒第三定律分析周期关系。根据变轨原理分析项。根据牛顿第二定律列式分析在离地球表面和离月球表面相同高度处的加速度大小关系。
【解答】解：、嫦娥五号在环月轨道2上的减速进入环月轨道1做近忟运动，嫦娥五号向运动反方向喷气，做负功，其机械能减小，则在环月轨道1上的机械能比在环月轨道2上的机械能小，故错误；
、根据开普勒第三定律得：
由于，可知在绕地轨道1上的周期比在绕地轨道2上的周期小，故错误；
、从绕地轨道进入地月转移轨道在点加速，从低轨道进入高轨道，运动到地月转移轨道月球对嫦娥五号的引力大于地球对嫦娥五号的引力，嫦娥五号被月球捕获，在点减速，使其绕月飞行，故正确；
、根据牛顿第二定律得
可得离地表面处的加速度为：
由于地球月球的平均密度，星球半径不同，所以无动力情形下，在离地球表面和离月球表面相同高度处的加速度大小不相同，故错误。
故选：。
【跟踪练1】如图所示，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度对应的脱离轨道，、、三点分别位于三条轨道上，点为轨道Ⅱ的远地点，、点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，卫星经过点的速率为，经过点的速率为，则　　
A．小于
B．卫星在点的加速度为在点加速度的倍
C．质量相同的卫星在点的机械能等于在点的机械能
D．卫星在轨道Ⅱ上运行过程中所受到的万有引力始终不做功
【跟踪练2】2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功。飞船入轨后，于当天下午成功对接于空间站天和核心舱径向端口。飞船和空间站的变轨对接可简化为如图所示的过程，其中轨道1和轨道3为圆轨道，半径分别为和，飞船变轨前稳定运行在轨道1，空间站运行在轨道3，椭圆轨道2为飞船的转移轨道。轨道1和2、2和3分别相切于、两点。关于变轨过程，下列说法正确的是　　
A．飞船在轨道1上经过点的速度小于在轨道2上经过点的速度
B．飞船在轨道2上经过点的加速度大于在轨道1上经过点的加速度
C．飞船在轨道3上经过点的加速度小于在轨道2上经过点的加速度
D．飞船在椭圆轨道上经过、两点的速率之比为
【跟踪练3】2023年10月24日，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感三十九号卫星送入预定轨道。已知该卫星先在圆轨道做圆周运动，后变轨为如图所示的椭圆轨道，两轨道相切于点。、分别为椭圆轨道的近地点和远地点，忽略空气阻力和卫星质量的变化，则遥感三十九号卫星　　
A．在椭圆轨道上运动的周期小于在圆轨道上运动的周期
B．在椭圆轨道上通过点的速度大于圆轨道上通过点的速度
C．在椭圆轨道上运动时，在点的速度小于在点的速度
D．在椭圆轨道从点运动到点的过程中，卫星的机械能不变
【跟踪练4】我国自主建设、独立运行的北斗卫星导航系统由数十颗卫星构成，目前已经向一带一路沿线国家提供相关服务。设想其中一颗人造卫星在发射过程中，原来在椭圆轨道1绕地球运行，在点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动，如图所示，下列说法正确的是　　
A．在轨道1与在轨道2运行比较，卫星在点的加速度不同
B．在轨道1与在轨道2运行比较，卫星在点的速度不同
C．卫星在轨道2的任何位置都具有相同的加速度
D．卫星在轨道1的运行周期等于在轨道2的运行周期
1．【答案】
【分析】根据速度与半径的关系式求解速度关系；根据加速度的表达式求解加速度关系；同一轨道上机械能守恒，变轨后机械能发生变化；轨道Ⅱ是椭圆轨道，卫星在上面做变速运动，万有引力要做功。
【解答】解：根据牛顿第二定律，由万有引力提供向心力得
解得
如果卫星在点做匀速圆周运动，则卫星经过点的速率为经过点的倍，但卫星在Ⅱ轨道做椭圆运动经过点的速率小于做匀速圆周运动的速率，所以卫星经过点的速率小于经过点速率的倍，故正确；
由公式
可知，卫星在点的加速度大小为在点的4倍，故错误；
卫星从Ⅱ轨道到Ⅲ轨道需要点火加速，而在同一轨道机械能守恒，所以质量相同的卫星在点的机械能小于在点的机械 能，故错误；
卫星在轨道Ⅱ上运行过程中，从近地点到远地点，万有引力做负功；从远地点到近地点，万有引力做正功，故错误。
故选：。
2．【答案】
【分析】飞船从低轨道到高轨道变轨时，需要点火加速，据此分析作答；
根据万有引力提供向心力求解加速度与轨道半径的关系，然后作答；
根据线速度的定义求极短时间内通过的弧长，再求极短时间内扫过的面积，根据开普勒第二定律即可完成作答。
【解答】解：．根据变轨原理可知，飞船从轨道1到轨道2，需要在点点火加速，所以飞船在轨道1上经过点的速度小于在轨道2上经过点的速度，故正确；
．根据万有引力提供向心力有
解得
因此飞船在轨道2上经过点的加速度等于在轨道1上经过点的加速度；飞船在轨道3上经过点的加速度等于在轨道2上经过点的加速度，故错误；
．分别在椭圆轨道的两点取极小的一段时间△，设两点的线速度大小分别为和；
根据开普勒第二定律可知，在相等的时间间隔内飞船与地球的联线扫过的面积相等
解得线速度大小之比为，故错误；
故选：。
3．【答案】
【分析】根据开普勒第三定律，分析周期；由开普勒第二定律，比较速度大小；根据变轨规律，高轨加速；只有万有引力做功，机械能守恒。
【解答】解：．根据开普勒第三定律，半长轴越大，周期越大，在椭圆轨道上运动的半长轴大于在圆轨道上运动的半径，则在椭圆轨道上运动的周期大于在圆轨道上运动的周期，故错误；
．提供的向心力小于需要的向心力时会发生离心现象，在椭圆轨道上通过点的速度一定大于圆轨道上通过点的速度，故正确；
．根据开普勒第二定律，卫星在近地点的速度大于在远地点的速度，在椭圆轨道上运动时，在点的速度大于在点的速度，故错误；
．卫星在椭圆轨道上运行，只有万有引力做功，故机械能守恒，故正确。
故选：。
4．【答案】
【分析】根据万有引力定律分析卫星的引力，加速度和速度都是矢量，只有当大小和方向都相同时矢量才相同。
卫星变轨要改变速度，加速轨道变大，减速轨道变小。
【解答】解：、在轨道1和在轨道2运行经过点，合力等于万有引力，根据牛顿第二定律得可知，卫星在点的加速度都相同，故错误；
、卫星由轨道1在点进入轨道2做离心运动，要加速，所以在轨道1和在轨道2运行经过点的线速度不同，故正确；
、由可知，由于不同，加速度的方向指向地球，方向不同，所以卫星在轨道1的任何位置的加速度都不同，故错误；
．根据开普勒第三定律
可知卫星在轨道1的运行周期小于在轨道2的运行周期，故错误。
故选：。
题型2　　双星和多星问题
　两个天体组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
科学家在地球上用望远镜观测由两个小行星构成的双星系统，看到一个亮度周期性变化的光点，这是因为当其中一个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。科学家用航天器以某速度撞击该双星系统中较小的小行星，撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短。不考虑撞击后双星系统的质量变化。根据上述材料，下列说法正确的是　　
A．被航天器撞击后，双星系统的运动周期变大
B．被航天器撞击后，两个小行星中心连线的距离增大
C．被航天器撞击后，双星系统的引力势能减小
D．小行星质量越大，其运动的轨道越容易被改变
【答案】
【分析】根据题意可知双星的周期变化，双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度。根据万有引力定律和向心力公式求解双星间距，引力对双星做正功，双星的引力势能减小，根据惯性的概念分析项。
【解答】解：、撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短，可知双星系统的运动周期变小，故错误；
、双设双星之间的距离为，星靠相互间的万有引力提供向心力，所以
联立解得：，则两个小行星中心连线的距离减小，引力对双星做正功，双星的引力势能减小，故正确，错误。
、小行星质量越大，其惯性越大，运动的轨道越不容易被改变，故错误；
故选：。
【跟踪练1】银河系中大多数恒星都是双星体，有些双星，由于距离小于洛希极限，在引力的作用下会有部分物质从某一颗恒星流向另一颗恒星。如图所示，初始时刻甲、乙两星（可视为质点）均做匀速圆周运动。某一时刻，乙星释放了部分物质，若乙星释放的物质被甲星全部吸收，且两星之间的距离在一定时间内保持不变，两星球的总质量也不变，则下列说法正确的选项是　　
A．乙星运动的轨道半径保持不变
B．乙星运动的角速度保持不变
C．乙星运动的线速度大小保持不变
D．乙星运动的向心加速度大小保持不变
【跟踪练2】“食双星”是一种双星系统，两颗恒星互相绕行的轨道几乎在视线方向，这两颗恒星会交互通过对方，造成双星系统的光度发生周期性的变化。双星的光变周期就是它们的绕转周期。如大熊座星，光变周期为4小时43分，该双星由星和星组成，星为2.3个太阳质量，星为0.98个太阳质量，星的表面物质受星的引力开始离开星表面流向星表面，短时间内可认为两星之间距离不发生变化，双星系统的质量之和也不发生变化。关于该短时间过程描述正确的是　　
A．双星之间的万有引力将变大 B．光变周期不变
C．星的线速度不变 D．星的线速度将减小
【跟踪练3】如图所示，“天狼星”是除太阳外人用肉眼能看到的最亮的恒星，“天狼星”实际上是一个双星系统，它由恒星“天狼星” 和白矮星“天狼星” 组成。“天狼星” 和“天狼星” 均绕它们连线上的点做匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为、，不考虑其他天体的影响。已知引力常量为，则“天狼星”的总质量为　　
A． B．
C． D．
【跟踪练4】如图甲所示，2022年7月15日，由清华大学天文系祝伟教授牵头的国际团队近日宣布在宇宙中发现两个罕见的恒星系统。该系统均是由两颗互相绕行的中央恒星组成，被气体和尘埃盘包围，且该盘与中央恒星的轨道成一定角度，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。若其中一个系统简化模型如图乙所示，质量不等的恒星和绕两者连线上某一定点做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为，到点的距离为，和的距离为，已知引力常量为，则的质量为　　
A． B．
C． D．
1．【答案】
【分析】组成的双星系统的周期和角速度相同，根据万有引力定律提供向心力推导角速度与轨道半径的关系，从而分析两星间万有引力的变化。
【解答】解：．设甲星的质量为，轨道半径为，乙星的质量为，轨道半径为，则满足
解得
由于乙星的质量变小，甲星的质量变大，且两星之间的距离不变，则乙星运动的轨道半径变大，甲星运动的轨道半径变小，故错误；
．设两星之间的距离为，两星角速度相同且均为，根据万有引力提供向心力，对甲星有
对乙星有
又因为
联立解得
因为两星之间的距离在一定时间内保持不变，且两星球的总质量也不变，故两星的角速度不变；
根据线速度与角速度的关系，结合向心加速度公式
，
由于乙星运动的轨道半径变大，则乙星运动的线速度变大，乙星运动的向心加速度变大，故正确，错误。
故选：。
2．【答案】
【分析】根据万有引力定律列出表达式，根据数学知识判断万有引力的变化；根据牛顿第二定律列出表达式，得到角速度表达式、半径关系式、线速度与半径关系式，根据已知条件判断角速度、周期、线速度的变化。
【解答】解：设、之间距离为，各自做圆周运动的半径分别为，、，则双星之间的引力
因一定，根据数学知识可知，两数和一定，两数相等时乘积最大，则当星的表面物质受星的引力离开星表面流向星表面时， 乘积变大，则万有引力将变大，故正确；
根据
即
总质量不变，则角速度不变，则周期不变，即光变周期不变，故正确；
根据
可得
因减小，变大，可知变大，减小，因角速度不变，根据
可知，星的线速度变大，星的线速度将减小，故错误，正确。
故选：。
3．【答案】
【分析】根据双星系统的特点，均为另一个天体的万有引力提供向心力自己做圆周运动所需的向心力列式，然后推导质量的表达式，再把两个质量表达式相加得出结果，计算结果只有正确，均错误。
【解答】解：对“天狼星” ，“天狼星” 对它的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，则有
同理，对“天狼星” 也有
解得“天狼星”的总质量
则均错误，故正确；
故选：。
4．【答案】
【分析】双星系统的恒星周期相等，根据万有引力提供向心力可解得。
【解答】解：取为研究对象，绕点做匀速圆周运动，设、的质量分别为和
由牛顿第二定律得
解得：
故正确，错误；
故选：。
第1页（共3页） 第七章　　万有引力与宇宙航行
专题11 卫星变轨问题和多星模型
一．选择题（共8小题）
1．引力波的发现证实了爱因斯坦100多年前所做的预测。1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在。如图所示，如果将脉冲双星系统简化为理想的圆周运动模型，绕彼此连线上的点做匀速圆周运动。若万有引力常量为，双星之间的距离为，观测到双星的周期为，则可估算出双星的　　
A．线速度 B．轨道半径 C．质量之和 D．向心加速度
2．质量均为的两个星球和，相距为，它们围绕着连线中点做匀速圆周运动。观测到两星球的运行周期小于按照双星模型计算出的周期，且。于是有人猜想在、连线的中点有一未知天体，假如猜想正确，则的质量为　　
A． B． C． D．
3．2018年9月19日22时07分，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第37、38颗北斗导航卫星。建成后的北斗全球导航系统可以为民用用户提供定位、测速和授时服务，定位精度，测速精度，下列说法正确的是　　
A．北斗全球导航系统定位提供的是被测物体的位移
B．北斗全球导航系统定位提供的是被测物体的位置
C．北斗全球导航系统测速服务提供的是运动物体的平均速度
D．北斗全球导航系统授时服务提供的是时间间隔
4．如图所示，已知地球半径，某资源探测卫星沿半径为的圆轨道绕地球运行，回收时，启动点火装置在极短时间内让卫星减速，然后沿着与地球表面相切的椭圆轨道运行，运行时仅受地球引力，已知地球表面重力加速度，，则卫星制动后回到地球近地点的最短时间约为　　
A． B． C． D．
5．如图所示，、、是在地球大气层外的圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，下列说法中正确的是　　
A．、的线速度相等，且大于的线速度
B．、的周期相等，且大于的周期
C．、的向心加速度相等，且大于的向心加速度
D．若的速率增大可追上同一轨道上的
6．神舟十六号载人飞船返回过程，在点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于神舟十六号飞船的运动，下列说法中正确的有　　
A．在轨道Ⅱ上经过的速度大于经过的速度
B．在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期
C．在轨道Ⅱ上经过的动能小于在轨道Ⅰ上经过的动能
D．在轨道Ⅱ上经过的加速度小于在轨道Ⅰ上经过的加速度
7．如图所示，中国自行研制、具有完全知识产权的“神舟”飞船某次发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为、远地点为的椭圆轨道上，在点通过变轨进入预定圆轨道。则　　
A．飞船在点通过加速从椭圆轨道进入预定圆轨道
B．在点变轨后，飞船的机械能减小
C．在椭圆轨道上运行时，飞船在点的加速度比点的小
D．在椭圆轨道上运行时，飞船在点的速度比点的小
8．中国自行研制、具有完全知识产权的“神舟”飞船某次发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为、远地点为的椭圆轨道上，在点通过变轨进入预定圆轨道，如图所示。则　　
A．飞船在点通过加速从椭圆轨道进入预定圆轨道
B．在点变轨进入预定圆轨道后，飞船的机械能比在椭圆轨道上的小
C．在椭圆轨道上运行时，飞船在点的加速度比点的小
D．在椭圆轨道上运行时，飞船在点的速度比点的小
二．多选题（共1小题）
9．宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为，这两恒星到某一共同圆心的距离分别为和。则关于这两颗恒星的说法正确的是　　
A．这两颗恒星的质量之比等于
B．这两颗恒星的质量之和为
C．其中必有一颗恒星的质量为
D．这两颗恒星匀速圆周运动的线速度大小之比为
三．填空题（共1小题）
10．“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。如图所示，若两颗星的质量分别为和，它们之间的距离为，万有引力常量为，则星圆周运动的向心力为 　　；、两颗星的线速度大小关系为　　（填“大于”、“等于”或“小于” 。
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，是在赤道平面上相对地球静止的物体，随地球一起做匀速圆周运动。是在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，轨道半径约等于地球半径。是地球同步卫星已知地球表面两极处的重力加速度为，下列关于、、的说法正确的是　　
A．的向心加速度等于的向加速度
B．、、做匀速圆周运动的向心加速度最大的是
C．、、做匀速圆周运动的速率最大的是
D．、、做匀速圆周运动的周期最小的是
2．2022年6月5日，神舟十四号载人飞船发射后，进入椭圆轨道Ⅰ，为近地点，为远地点。变轨后进入圆形轨道Ⅱ，与运行在轨道Ⅱ上的天和核心舱对接，如图所示，则下列说法正确的是　　
A．神舟十四号的发射速度可能小于第一宇宙速度
B．神舟十四号从轨道Ⅰ的近地点到远地点的过程中机械能增加
C．神舟十四号在点减速便可沿圆形轨道Ⅱ运动
D．天和核心舱在轨道Ⅱ上的运行周期大于神舟十四号在椭圆轨道Ⅰ上的运行周期
3．如图所示，空间站在圆轨道2上运行，天舟五号飞船在椭圆轨道1上运行，两轨道相切与点，是轨道1的近地点，若不考虑大气阻力的影响，则　　
A．天舟五号飞船在轨道1上经过点时的速度大于
B．天舟五号飞船可在进入轨道2后不断加速追上空间站组合体实现对接
C．天舟五号飞船在轨道1上从点向点运动过程中，重力势能逐渐增大，机械能保持不变
D．天舟五号飞船在轨道1上点受到的万有引力等于空间站在轨道2上点受到的万有引力
4．2022年11月29日晚，长征二号运载火箭将神舟十五号载人飞船精准送入预定轨道，并于11月30日7时33分对接天和核心舱，形成三舱三船组合体，这是中国太空站目前最大的构型。如图所示为“神舟十五号”对接前变轨过程的简化示意图，是椭圆轨道Ⅱ的长轴，“神舟十五号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ，再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的天和核心舱实施对接。下列说法正确的是　　
A．“神舟十五号”两次变轨过程中均需要点火减速
B．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于天和核心舱运行的周期
C．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上经过点时的速率大于天和核心舱经过点时的速率
D．“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上点时的加速度大于天和核心舱在点时的加速度
5．地球和月球可看作双星系统，它们在万有引力的作用下绕连线上的某点，以相同的角速度做匀速圆周运动。已知地球质量，月球质量，月地平均距离，估算点距地心的距离为　　
A． B． C． D．
6．仙王座是一对双星系统，分别由一颗红超巨星（主星）和一颗蓝矮星（伴星）组成，这是一个食变双星，两颗星会互相围绕着公共质心（质量中心，即质量集中的假想点）公转，其中和间的距离为等于日地平均距离），它们绕公共质心公转的周期为20年，由于会有物质从喷发出去，最终全部流向，导致伴星的质量增大而主星的质量减小，假定在这个过程中两星间的距离不变，则在的质量减小到两星的质量相等的过程中　　
A．公共质心离越来越远
B．两星间的引力将减小
C．两星绕公共质心公转的周期大于20年
D．两星绕公共质心的角速度不变
7．2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组的姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过，在武仙座球状星团中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星、双星系统绕点做顺时针匀速圆周运动，运行周期为，它们的轨道半径分别为、，，为的卫星，绕做逆时针匀速圆周运动，运行周期为，忽略与之间的引力，引力常量为，则以下说法正确的是　　
A．若知道的轨道半径，则可求出的质量
B．若也有一颗轨道半径与相同的卫星，则其运动周期也一定为
C．恒星的质量为
D．设、、三星由图示位置到再次共线的时间为，则
8．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中、两颗天体绕点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比，则两颗天体的　　
A．质量之比 B．角速度之比
C．线速度大小之比 D．向心力大小之比
9．宇宙中两个星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕两星球球心连线的某点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是　　
A．双星相互间的万有引力增大
B．双星做圆周运动的角速度不变
C．双星做圆周运动的周期增大
D．双星做圆周运动的速度增大
10．厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱，发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然天文》期刊上。则此中子星绕点运动的　　
A．线速度小于红矮星的线速度
B．角速度大于红矮星的角速度
C．轨道半径大于红矮星的轨道半径
D．向心力大小约为红矮星的2倍
一．选择题（共10小题）
1．宇宙中有两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星球之间的距离为，质量之比为，则下列说法正确的是　　
A．、做圆周运动的线速度之比是
B．、做圆周运动的角速度之比是
C．做圆周运动的半径为
D．做圆周运动的半径为
2．如图所示，地球和月球组成双星系统，它们共同绕某点转动且角速度相同。、、、、称为拉格朗日点，在这些位置上的航天器也绕点转动且相对地月系统不动，则下列说法正确的是　　
A．地月系统中，点更靠近月球
B．在五个拉格朗日点中，位置上的航天器向心加速度最大
C．在五个拉格朗日点中，位置上的航天器所需向心力仅由地球引力提供
D．在地面附近给航天器一初速度，不考虑月球对航天器的引力，航天器沿椭圆轨道运动至处，则
3．如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16万光年的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连接线上中间某个点旋转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质量不变。则以下说法中正确的是　　
A．双星之间引力变小 B．双星系统周期逐渐变大
C．每颗星的加速度均变大 D．双星系统转动的角速度恒定
4．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信，目前地球同步卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为多少小时？　　
A． B． C． D．
5．天文学家发现了一对被称为“灾难变星”的罕见双星系统，约每51分钟彼此绕行一圈，通过天文观测的数据，模拟该双星系统的运动，推测在接下来的7000万年里，这对双星彼此绕行的周期逐渐减小至18分钟。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在万有引力作用下，绕点做匀速圆周运动。不考虑其他天体的影响，两颗星球的质量不变，在彼此绕行的周期逐渐减小的过程中，下列说法中正确的是　　
A．每颗星球的角速度都在逐渐变小
B．两颗星球的距离在逐渐的变大
C．两颗星球的轨道半径之比保持不变
D．每颗星球的加速度都在变小
6．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为，设质量分别用、表示，且。则可知　　
A．、做圆周运动的线速度之比为
B．、做圆周运动的角速度之比为
C．双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大
D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
7．双星由两颗绕着共同的中心旋转的恒星组成。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。如图所示，若某双星系统的、两颗恒星绕其连线上的点做匀速圆周运动，且，则下列说法正确的是　　
A．的角速度小于的角速度
B．的质量小于的质量
C．的线速度小于的线速度
D．的向心加速度小于的向心加速度
8．2022年5月10日01时56分，天舟四号货运飞船成功发射，随后与“天和”核心舱成功对接，发射过程简化示意图如图所示，先把天舟四号货运飞船发射到近地圆轨道Ⅰ，继而调整角度和高度，经过多次变轨不断逼近空间站轨道，当两者轨道很接近的时候，再从空间站下方、后方缓慢变轨接近，Ⅱ、Ⅲ是飞船绕地球运行的椭圆轨道，Ⅳ是飞船绕地球运行很接近空间站轨道的圆形轨道，、分别为椭圆轨道Ⅲ的远地点和近地点，、之间的距离为，地球半径为，天舟四号货运飞船在Ⅰ、Ⅳ轨道上做匀速圆周运动，下列说法正确的是　　
A．天舟四号货运飞船在轨道Ⅰ上的角速度比在轨道Ⅳ上的角速度小
B．天用四号货运飞船在轨道Ⅲ上经过点的速度比在轨道Ⅱ上经过点的速度大
C．天舟四号货运飞船在轨道Ⅲ上经过处与处时加速度大小的比值为
D．天舟四号货运飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅳ上的线速度大小的比值为
9．如图，虚线、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道为与第一宇宙速度对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度对应的脱离轨道，、、三点分别位于三条轨道上，点为轨道Ⅱ的远地点，、点与地心的距离均为轨道半径的2倍，则　　
A．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道的2倍
B．卫星经过点的速率为经过点的倍
C．卫星在点的加速度大小为在点的3倍
D．质量相同的卫星在点的机械能小于在点的机械能
10．2021年2月，“天问一号”火星探测器被火星捕获，经过系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是　　
A．探测器在点的加速度大于在点的加速度
B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大
C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器机械能变大
D．图中两阴影部分的面积相等
基础练
一．选择题（共8小题）
1．【答案】
【解答】解：．根据线速度与周期的关系，由于双星运动半径未知，无法求出线速度，故错误；
．根据，得，，由于双星质量未知，无法求出运动半径，故错误；
．由上式得，，双星质量之和为，故正确；
．由，得，，由于双星质量未知，无法求出向心加速度，故错误。
故选：。
2．【答案】
【解答】解：两星的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：
可得：①
两星绕连线的中点转动，则有：②
所以③
由于的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则：④
已知 ⑤
解③④⑤式得：，故正确，错误。
故选：。
3．【答案】
【解答】解：北斗导航卫星能够定位物体的位置，不是位移；同时测速功能是能够测量物体的速度大小，即能提供速率；授时服务提供时刻。故正确，错误。
故选：。
4．【答案】
【解答】解：设椭圆的轨道半长轴为，由，代入数据得：
卫星在圆轨道运行时根据万有引力提供向心力有：
地球表面有
根据开普勒第三定律有：
卫星制动后回到地球近地点的最短时间，代入数据解得，故错误，正确。
故选：。
5．【答案】
【解答】解：、根据得：，知、的线速度大小相等，且小于的线速度。故错误；
、根据得：知、的周期相等，且大于的周期，故正确；
、根据得：，知、的向心加速度大小相等，且小于的向心加速度。故错误；
、加速，万有引力不足以提供向心力，做离心运动。所以不会追上同一轨道上的．故错误。
故选：。
6．【答案】
【解答】解：根据万有引力提供向心力可知
，所以，故错误。
由开普勒第三定律可知可知，轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期，故正确。
在不同轨道的交点处，对其受力分析由可知，即在轨道Ⅱ上经过的动能等于在轨道Ⅰ上经过的动能，故错误。
在不同轨道的交点处，对其受力分析由可知，轨道、Ⅱ的点到球心的距离相同，即轨道Ⅱ上经过的加速度等于在轨道Ⅰ上经过的加速度，故错误。
故选：。
7．【答案】
【解答】解：、根据“变轨原理”可知，飞船在点通过加速做离心运动，才会从椭圆轨道进入预定圆轨道，故正确；
、在点变轨时，需要对飞船做正功，所以飞船的机械能增加，故错误；
、根据牛顿第二定律可得，解得，由于点为近地点、点为远地点，所以在椭圆轨道上运行时，飞船在点的加速度比点的大，故错误；
、根据开普勒第二定律可知，飞船在近地点的速度大、在远地点的速度小，所以在椭圆轨道上运行时，飞船在点的速度比点的大，故错误。
故选：。
8．【答案】
【解答】解：、根据变轨原理可知，飞船在点通过加速做离心运动，才会从椭圆轨道进入预定圆轨道，故正确；
、在点变轨时，需要对飞船做正功，所以飞船的机械能增加，则飞船在圆轨道上的机械能比在椭圆轨道上的大，故错误；
、根据牛顿第二定律得，解得，由于点为近地点、点为远地点，所以在椭圆轨道上运行时，飞船在点的加速度比点的大，故错误；
、根据开普勒第二定律可知，飞船在近地点的速度大、在远地点的速度小，所以在椭圆轨道上运行时，飞船在点的速度比点的大，故错误。
故选：。
二．多选题（共1小题）
9．【答案】
【解答】解：．由万有引力提供向心力可得：，得，故错误；
．由于，由选项得：，，得，故正确；
．这两颗恒星匀速圆周运动的线速度大小之比为，故错误。
故选：。
三．填空题（共1小题）
10．【答案】；大于
【解答】解：星圆周运动时，两颗星间的万有引力提供星运行的向心力，故向心力为
双星系统，、两颗星做匀速圆周运动的角速度相等，设星和星的轨道半径分别为、，根据题意可知
所以
故答案为：；大于。
能力练
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【解答】解：．为近地卫星，根据万有引力提供向心加速度有：
解得：
由于的轨道半径约等于地球半径，则的加速度等于，且的向心加速度大于的向心加速度，同步卫星的周期和地球相同，则由：
可知的加速度小于的加速度，故错误；
．卫星绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有：
解得：
因为的轨道半径小于的轨道半径，所以、的线速度大小关系为：
对，根据线速度与角速度关系有：
可知
故正确；
．为地球赤道上随地球自转的物体，则的周期等于地球自转周期，为地球同步卫星，则的周期等于地球自转周期，所以的周期等于的周期，根据万有引力提供向心力有：
解得周期：
可知的周期最小，故错误；
故选：。
2．【答案】
【解答】解：．第一宇宙速度为，卫星的最小发射速度为，因此神舟十四号的发射速度不可能小于第一宇宙速度，故错误；
．神舟十四号从轨道的近地点到远地点的过程中，只受到地球的引力，只有地球的引力做功，所以机械能守恒，故错误；
．神舟十四号从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ轨道半径变大，要做离心运动，根据卫星变轨的知识可知，神舟十四号应从轨道Ⅰ的点加速后才能做离心运动从而进入轨道Ⅱ运动，故错误；
．根据开普勒第三定律，因为天和核心舱在轨道Ⅱ上运行时的半长轴大于神舟十四号在轨道Ⅰ上运行的半长轴，所以天和核心舱在轨道上的运行周期大于神舟十四号在椭圆轨道上的运行周期，故正确。
故选：。
3．【答案】
【解答】解：．飞船受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：
可得：
可知轨道半径越大，运行速度越小，地球表面的运行速度为。天舟五号飞船在轨道2上经过点时的速度小于。天舟五号飞船在轨道1上经过点时经加速才能变轨到轨道2上，天舟五号飞船在轨道1上经过点时的速度小于，故错误；
．若载人飞船在到达轨道2后不断加速，则会做离心运动，从而远离轨道2，不会追上空间站从而不能实现对接，故错误；
．天舟五号飞船在轨道1上从点向点运动过程中，只有万有引力做负功，重力势能逐渐增大，机械能保持不变，故正确；
．因天舟五号飞船和空间站的质量大小未知，由万有引力定律得可知无法比较天舟五号飞船在轨道1上点受到的万有引力和空间站在轨道2上点受到的万有引力大小关系，故错误。
故选：。
4．【答案】
【解答】解：、卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，故“神舟十五号”两次变轨过程中均需要点火加速，故错误；
、根据开普勒第三定律可得：，由于“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的半长轴小于天和核心舱的轨道半径，可知“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于天和核心舱运行的周期，故正确；
、“神舟十五号”从椭圆轨道Ⅱ变轨到圆轨道Ⅲ需要在处点火加速，故“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上经过点时的速率小于天和核心舱经过点时的速率，故错误；
、根据牛顿第二定律可得，解得，“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上点时距离地心的距离等于核心舱在点时距离地心的距离，所以“神舟十五号”在椭圆轨道Ⅱ上点时的加速度等于天和核心舱在点时的加速度，故错误。
故选：。
5．【答案】
【解答】解：设点距地心的距离为，由于双星系统角速度相等，根据万有引力提供向心力可得：
对地球：
对月球：
联立解得：，故错误，正确；
故选：。
6．【答案】
【解答】解：、由于和两星间是由彼此的万有引力来提供向心力，即两星的向心力大小相等，且两星做圆周运动的周期、角速度相等，由可知轨道半径与天体的质量成反比，的质量增大，的质量减小，即的轨道半径减小，的轨道半径增大，公共质心离越来越近，故错误；
、两星的质量之和不变，且质量之差减小，由均值不等式知，当时，有最大值，由可知两星间的引力将增大，故错误；
、对和有，，且，解得，由于和两星的总质量不变，所以两星绕公共质心的周期不变，角速度也不变，故错误，正确。
故选：。
7．【答案】
【解答】解：、为的卫星，绕做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得，可得，若知道的轨道半径，可求出的质量，不能求出的质量，故错误；
、若也有一颗轨道半径与相同的卫星，根据上式可知，由于与的质量不等，则其运动周期一定不是，故错误；
、恒星、双星系统绕点做顺时针匀速圆周运动，角速度和周期相同，由相互间的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
对有：
对有：
联立可得，，故错误；
、、、三星由图示位置到再次共线时，有，解得，故正确；
故选：。
8．【答案】
【解答】解：双星都绕点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为．根据牛顿第二定律，有：
对星：①
对星：②
故：。
根据双星的条件有：角速度之比
由得：线速度大小之比
向心力大小之比，故正确，错误。
故选：。
9．【答案】
【解答】解：、双星间的距离在不断缓慢增加，根据万有引力定律，，知万有引力减小，故错误。
、根据，，知，，，轨道半径之比等于质量的反比，双星间的距离变大，则双星的轨道半径都变大，根据万有引力提供向心力，知角速度变小，周期变大，线速度变小，故、错误，正确。
故选：。
10．【答案】
【解答】解：、双星系统中两天体的角速度相等，即中子星绕点运动的角速度等于红矮星的角速度，故错误；
、万有引力提供向心力，有：
联立解得：
即星体质量越大，轨道半径越小，根据题意中子星质量大，可知，中子星绕点运动的轨道半径小于红矮星的轨道半径，故错误；
、双星系统中，星体之间的万有引力提供向心力，可知，中子星绕点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小，故错误；
、根据，双星系统角速度相等，中子星的轨道半径小一些，则中子星绕点运动的线速度小于红矮星的线速度，故正确。
故选：。
拓展练
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【解答】解：双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，设为
对两卫星：①
②
又③
①②③联立解得：
、根据知，、做圆周运动的半径之比为，则线速度之比为，故错误；
、双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，故错误；
、根据，得，，，正确，错误；
故选：。
2．【答案】
【解答】解：、地球和月球组成双星系统的角速度相等，根据万有引力提供向心力有
可知转动半径与质量成反比，点更靠近地球，故错误；
、所有拉格朗日点上航天器角速度与地月系统角速度相等。由，位置航天器离点最近，最小，最小，故错误；
、位置的航天器所需向心力由地球和月球对航天器的引力的合力提供，故错误；
、发射地球卫星最小速度为，故正确。
故选：。
3．【答案】
【解答】解：．万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
其中，解得周期：
因两者质量不变，距离逐渐减小，则双星间的周期减小，由于，所以角速度变大，万有引力增大，故错误；
．万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：，两颗恒星正在缓慢靠近，所以每颗星的加速度均变大，故正确；
故选：。
4．【答案】
【解答】解：设地球的半径为，根据题设条件，地球同步卫星的轨道半径为：
已知地球的自转周期，地球同步卫星的转动周期与地球的自转周期一致，若地球的自转周期变小，则同步卫星的转动周期变小，由万有引力提供向心力：
可得：，由此可知，做圆周运动的半径越小，则运动周期越小。
由于需要三颗卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，所以由几何关系可知三颗同步卫星的连线构成等边三角形并且三边与地球相切，如图，
由几何关系可知地球同步卫星的轨道半径为：
由开普勒第三定律：
整理变形代入数据得：，故错误，正确。
故选：。
5．【答案】
【解答】解：．根据题意，由公式可知，每颗星球的角速度都在逐渐变大，设双星转动的角速度为，双星间距离为，星球的质量分别为、，由万有引力提供向心力有
解得
可知，角速度增大，则距离逐渐的变小，故错误；
．根据万有引力提供向心力有
解得
则两颗星球的轨道半径之比保持不变，故正确；
．由万有引力公式提供向心力有
可知，由于距离逐渐的变小，每颗星球的加速度都在变大，故错误。
故选：。
6．【答案】
【解答】解：、双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，设为，，解得轨道半径之比等于质量的反比，，根据线速度与角速度关系可知，，则、做圆周运动的线速度之比等于轨道半径之比为，故错误；
、根据角速度与周期的关系可知，，由上式可知，，，则总质量：，双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小；双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故错误，正确。
故选：。
7．【答案】
【解答】解：、双星系统的特点是角速度相同，周期相同，故错误；
、设的质量为，的质量为，、间的距离为，为，为，、系统的角速度为，则根据万有引力充当各自做圆周运动的向心力有：，
两式相除解得：
而由几何关系：，由此可知的质量小于的质量，故正确；
、根据线速度与角速度的关系：，由于有：，可知的线速度大于的线速度，故错误；
、设的向心加速度为，的向心加速度为，根据牛顿第二定律：，
整理解得：，
而由以上结论可知：
则可得：，故错误。
故选：。
8．【答案】
【解答】解：．飞船在轨道上运行时，根据万有引力提供向心力，有
可得
由于飞船在轨道Ⅰ上的轨道半径比在轨道Ⅳ上的轨道半径小，则飞船在轨道Ⅰ上的角速度比在轨道Ⅳ上的角速度大，故错误；
．飞船在Ⅲ轨道上点要加速才能进入Ⅳ轨道，所以有
飞船围绕地球做圆周运动时，由
可知飞船在Ⅳ上圆周运动的速率小于圆周运动Ⅰ上的速率，即
飞船在轨道Ⅰ上经过点要给加速才能进入轨道Ⅱ，即
可知飞船在轨道Ⅲ上经过点的速度小于在轨道Ⅱ上经过点的速度大小，故错误；
．飞船在轨道Ⅲ上经过处时，根据万有引力提供向心力，有
经过处时，有
可得加速度大小的比值为
故正确；
．飞船在轨道上运行时，根据万有引力提供向心力，有
可得飞船在轨道Ⅰ运行时有
在轨道Ⅳ运行时，有
则其线速度大小的比值为
故错误。
故选：。
9．【答案】
【解答】解：、设轨道的半径为，则轨道Ⅱ的半长轴为：
由开普勒第三定律得：，即为：，即卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道的倍，故错误；
、在点在轨道做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有：。
在轨道Ⅱ上点做向心运动，万有引力大于向心力，则有：，则，故错误；
、由得：，即在点的加速度大小为在点的4倍，故错误；
、在点做向心运动，在点做离心运动，则点的速度大于点的速度，点动能大于点的动能，又两点势能相等，故卫星在点的机械能小于在点的机械能，故正确；
故选：。
10．【答案】
【解答】解：根据牛顿第二定律可得，点到火星的距离小于到火星的距离，所以点的加速度大于点的加速度，故正确；
“调相轨道”进入“停泊轨道”都是火星周围的椭圆轨道，且“调相轨道”的半长轴更大，根据开普勒第三定律可知，“停泊轨道”的周期更小，卫星在不同轨道上运行时，轨道半径越小对应的机械能越小，故错误；
根据开普勒第二定律可知，卫星在同一轨道上运动时相等的时间内卫星和火星连线扫过的面积才相等，由于两轨道不是同一轨道，所以两个阴影部分面积不等，故错误；
故选：。
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