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2024年中考数学一轮复习精讲精练
模块五 四边形
专题1 多边形与平行四边形
多边形 定义 在同一平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．[
对角线 从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°
外角和 外角和为360°
正多边形 定义 在平面内,各内角都相等,各边也都相等的多边形叫做正多边形.
内角 外角 正n边形的每个内角为，每一个外角为。
对称性 （1）正n边形有n条对称轴. （2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。
平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
性质 （1）平行四边形的对边平行且相等，即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC. （2）平行四边形的对角相等，即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC . （3）平行四边形的对角线互相平分，即OA＝OC，OB＝OD .
判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形. （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形. （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 即若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形. （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； 即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形. （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 即若AB＝CD，AB∥CD（或AD=BC，AD∥BC），则四边形ABCD是平行四边形.
【题型一】多边形的有关计算
【例1.1】（2023 襄阳）五边形的外角和等于（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
解：五边形的外角和是360°．
故选：B．
【例1.2】（2023 兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　　）
A．45° B．60° C．110° D．135°
解：∵正八边形的外角和为360°，
∴每一个外角为360°÷8＝45°．
故选：A．
【例1.3】（2023 新疆）若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是 ______．
解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：
，
解得：．
故答案为：10．
【例1.4】（2023 重庆）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 　800°　．
解：由题意可得七边形的内角和为：（7﹣2）×180°＝900°，
∵该七边形的一个内角为100°，
∴其余六个内角之和为900°﹣100°＝800°，
故答案为：800°．
【例1.5】（2022 甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（　　）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如图所示，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，
∴AF约为4mm，
故选：D．
【题型二】平行四边形的性质
【例2.1】（2023 成都）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
解：A．错误．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意；
B．正确．因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
C．错误．平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意；
D．错误．平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意；
故选：B．
【例2.2】（2023 凉山州）如图， ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B的坐标是 　 　．
解：如图，延长BC交y轴于点D，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC＝OA，BC∥OA，
∵OA⊥y轴，
∴BC⊥y轴，
∵A（3，0），C（1，2），
∴BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，
∴BD＝CD+BC＝1+3＝4，
∴B（4，2），
故答案为：（4，2）．
【例2.3】（2023 株洲）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB 的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝　 　．
解：∵四边形ABCD是平行四边形；
∴AD∥BC，DC＝AB．
∴∠DEA＝∠EAB，
∵∠DAB的平分线AE交DC于点E，
∴∠EAB＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝DE，
∵AD＝3，AB＝5，
∴EC＝DC﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【例2.4】（2023 泸州）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，
∴∠CDP＝∠APD，
∵DP平分∠ADC，
∴∠CDP＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∵CD＝6，
∴AB＝6，
∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2，
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
∴EO＝PB＝1，
故选：A．
【例2.5】（2023 杭州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵BE＝EF，
∴S△ABE＝S△AEF＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，
∴△CFO的面积＝1．
【例2.6】（2023 绵阳）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE∥DF；
（2）过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF；
（2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DO＝BO，
∵OM⊥BD，
∴DM＝BM，
∵△BFM的周长为12，
∴BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF＝12，
∴四边形BEDF的周长为24．
【题型三】平行四边形的判定
【例3.1】（2023 衡阳）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C
【答案】C
【解答】解：A．因为AD∥BC，AD＝BC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B．因为AD∥BC，AB∥DC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C．AB＝DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；
D．因为AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，又∠A＝∠C，BD＝DB，因此△ABD≌△CDB（AAS），得到AD＝CB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C．
【例3.2】（2023 无锡）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：
（1）△CEF≌△AED；
（2）四边形DBCF是平行四边形．
证明：（1）∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴AE＝CE，
在△CEF与△AED中，
，
∴△CEF≌△AED（SAS）；
（2）由（1）证得△CEF≌△AED，
∴∠A＝∠FCE，
∵点D、E是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，即DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．
【例3.3】（2023 长沙）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积．
（1）证明：在 ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF，
（2）解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，
∴BF＝AF﹣AB＝3；
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝AD=3，
∴DH=＝3，
∴△ADF的面积＝AF×DH=6×3=9．
【题型四】平行四边形的性质与判定综合
【例4.1】（2023 杭州）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若的面积等于2，求的面积．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，
四边形是平行四边形，
．
【例4.2】（2023 扬州）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE相交于点M，连接AG、CH相交于点N．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若 AMCN的面积为4，求 ABCD的面积．
解：（1）∵点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，
∴AH∥CF，AH＝CF，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴AM∥CN，
同理可得，四边形AECG是平行四边形，
∴AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）如图所示，连接AC，
∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴点N是△ACD的重心，
∴CN＝2HN，
∴S△ACN＝S△ACH，
又∵CH是△ACD的中线，
∴S△ACN＝S△ACD，
又∵AC是平行四边形AMCN和平行四边形ABCD的对角线，
∴S平行四边形AMCN＝S平行四边形ABCD，
又∵ AMCN的面积为4，
∴ ABCD的面积为12．
【例4.3】（2022 贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AC平分，，求四边形AFCE的面积．
(1)证明：四边形ABCD是平行四边形
，即．
四边形AFCE是平行四边形．
(2)解：，
．
平分，
．
．
，由（1）知四边形AFCE是平行四边形，
平行四边形AFCE是菱形．
，
在中，，
．
．
1．（2023 北京）正十二边形的外角和为（　　）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．
故选：C．
2．（2023 益阳）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（　　）
A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
故选：C．
3．（2022 达州）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE=AC，
A．根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B．根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选：B．
4．（2022 嘉兴）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
解∶∵，，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴FG=AE，AG=EF，
∵，∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF，
∴四边形的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．故选：C
5．（2022 恩施）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形ABMP为矩形 B．当时，四边形CDPM为平行四边形
C．当时， D．当时，或6s
解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、当时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意；
B、当时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意；
作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
PM=CD，且PQ与CD不平行，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E，
∴四边形CEFM是矩形，
∴FM=CE；
∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），
∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，
∴AP=10-4-(8-t)=10-t，
解得t=6 s；
PM=CD，且PM∥CD，
∴四边形CDPM是平行四边形，∴DP=CM，∴t=8-t，解得t=4 s；
综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；故选：D．
6．（2023 扬州）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 　6　．
解：多边形的边数是：360°÷60°＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
7．（2022 泰安）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 　（﹣2，﹣1）　．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，且A（﹣1，2），D（3，2），
∴点A是点D向左平移4个单位所得，
∵C（2，﹣1），
∴B（﹣2，﹣1）．
答案：（﹣2，﹣1）．
8．（2023 兰州）如图，在 ABCD中，，于点E，若，则______．

解：∵，，
∴，，
∵ ABCD，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
9．（2023 淄博）如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF．
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）△ABE≌△CDF．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，
又∵AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴∠1＝∠2（平行四边形对角相等）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝FC，AF＝CE，
∴BE＝FD，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
10．（2023 凉山州）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴ ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
（2）解：由（1）可知， ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝8，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∴OB＝=＝6，
∵BE⊥AB，
∴∠EBA＝90°，
∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BEO＝∠ABO，
∴△BOE∽△AOB，
∴＝，
即＝，
解得：OE＝，
即OE的长为．
11．（2023 青岛）如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接EF．若EF＝AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF，
∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，
∴∠BAE＝∠DAE∠BAD，∠BCF＝∠DCF∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（ASA）．
（2）证明：∵△BAE≌△DCF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
∵点G、H分别为AE、CF的中点，
∴GE∥FH，GE＝FH，
∴四边形FGEH是平行四边形
∵EF＝AF，G为AE的中点，
∴GF⊥AE，
∴四边形FGEH是矩形．
1．（2023 永州）下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．三角形内角和是，故选项不符合题意；
B．四边形内角和为，故选项符合题意；
C．五边形内角和为，故选项不符合题意；
D．六边形内角和为，故选项不符合题意．
故选：B．
2．（2023 绵阳）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．9条
解：如图，正六边形的对称轴有6条．
故答案为：C．
3．（2023 安徽）如图，正五边形内接于，连接，则（ ）

A． B． C． D．
解：∵，
∴，
故选D．
4.（2022 乐山）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S平行四边形ABCD=DE×AB=2××AC×BF，
∴4×6=2××8×BF，∴BF=3，故选：B．
5．（2023 湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝　5　．
解：∵正n边形的一个外角为72°，
∴n＝360÷72＝5，
故答案为：5．
6．（2023 福建）如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 　10　．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∵O为BD的中点，
∴OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∴CD﹣DF＝AB﹣BE，
∴CF＝AE＝10．
故答案为：10．
7．（2023 济南）已知：如图，点O为 ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF．
8．（2023 南充）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF．
9．（2023 雅安）如图，已知E，F是 ABCD对角线AC上两点，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求 ABCD的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵＝3，
∴CH＝3BH，
∵CH⊥AB于H，
∴∠H＝90°，
∴BC2＝BH2+CH2，
∵BC＝，
∴（）2＝BH2+（3BH）2，
解得BH＝1，
∴CH＝3，
在Rt△ACH中，tan∠CAB＝＝，
∴AH＝4，
∴AB＝AH﹣BH＝4﹣1＝3，
∴S ABCD＝AB CH＝3×3＝9．
10．（2022 温州）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当，时，求的长．
(1)解：（1）∵E，F分别是，的中点，
∴，
∴，，
∵O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
(2)
∵，E是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴．
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模块五 四边形
专题1 多边形与平行四边形
多边形 定义 在同一平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．[
对角线 从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°
外角和 外角和为360°
正多边形 定义 在平面内,各内角都相等,各边也都相等的多边形叫做正多边形.
内角 外角 正n边形的每个内角为，每一个外角为。
对称性 （1）正n边形有n条对称轴. （2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。
平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
性质 （1）平行四边形的对边平行且相等，即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC. （2）平行四边形的对角相等，即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC . （3）平行四边形的对角线互相平分，即OA＝OC，OB＝OD .
判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形. （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形. （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 即若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形. （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； 即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形. （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 即若AB＝CD，AB∥CD（或AD=BC，AD∥BC），则四边形ABCD是平行四边形.
【题型一】多边形的有关计算
【例1.1】（2023 襄阳）五边形的外角和等于（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【例1.2】（2023 兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　　）
A．45° B．60° C．110° D．135°
【例1.3】（2023 新疆）若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是 ______．
【例1.4】（2023 重庆）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 　 　．
【例1.5】（2022 甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（　　）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
【题型二】平行四边形的性质
【例2.1】（2023 成都）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　）
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
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【例2.2】（2023 凉山州）如图， ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B的坐标是 　 　．
【例2.3】（2023 株洲）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB 的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝　 　．
【例2.4】（2023 泸州）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2.5】（2023 杭州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
【例2.6】（2023 绵阳）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE∥DF；
（2）过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．
【题型三】平行四边形的判定
【例3.1】（2023 衡阳）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C
【例3.2】（2023 无锡）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：
（1）△CEF≌△AED；
（2）四边形DBCF是平行四边形．
【例3.3】（2023 长沙）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积．
【题型四】平行四边形的性质与判定综合
【例4.1】（2023 杭州）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若的面积等于2，求的面积．
【例4.2】（2023 扬州）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE相交于点M，连接AG、CH相交于点N．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若 AMCN的面积为4，求 ABCD的面积．
【例4.3】（2022 贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AC平分，，求四边形AFCE的面积．
1．（2023 北京）正十二边形的外角和为（　　）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
2．（2023 益阳）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（　　）
A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC
3．（2022 达州）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022 嘉兴）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
5．（2022 恩施）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形ABMP为矩形 B．当时，四边形CDPM为平行四边形
C．当时， D．当时，或6s
6．（2023 扬州）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 　 　．
7．（2022 泰安）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 　 　．
8．（2023 兰州）如图，在 ABCD中，，于点E，若，则______．

9．（2023 淄博）如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF．
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）△ABE≌△CDF．
10．（2023 凉山州）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
11．（2023 青岛）如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接EF．若EF＝AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论．
1．（2023 永州）下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023 绵阳）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．9条
3．（2023 安徽）如图，正五边形内接于，连接，则（ ）

A． B． C． D．
4.（2022 乐山）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
5．（2023 湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝ 　．
6．（2023 福建）如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 　 　．
7．（2023 济南）已知：如图，点O为 ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．
8．（2023 南充）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．
9．（2023 雅安）如图，已知E，F是 ABCD对角线AC上两点，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求 ABCD的面积．
10．（2022 温州）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当，时，求的长．

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