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微专题01 向量共线定理与等和线
题型一：向量共线定理
题型二：“鸡爪”模型
题型三：等和线
1.向量共线定理
如果a≠0，b与a平行的充要条件是，存在唯一实数λ，使得 b=λa.
2.三点共线
(1) A、B、C三点共线的充要条件是，存在唯一实数λ，使得
(2) A、B、C三点共线的充要条件是，平面上任取一点O，存在唯一实数对（λ，μ），使得，且λ+μ=1.
3.平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
基底：若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
4.“鸡爪”模型
三角形ABC中,当点D在直线BC上，若（注意向量的方向及的正负），则有
.
“鸡爪”模型的系数具有以下性质:
(1) （参照三点共线的充要条件）
(2)当点D在线段BC内部时，系数都是正数.
(3)当点D在线段BC外部时，系数一正一负（离哪个点远，则对应向量的系数为负）.
(4)当点D在线段BC端点时，系数一个为0，一个为1.
5.等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立.则我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，；
(3)当直线AB在点O与等和线之间时，；
(4)当等和线过O点时，k=0；
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.
(6) 定值的变化与等和线到点的距离成正比.
题型一：向量共线定理
【例1】（2023·高一期末测试）已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·高一校联考期中）已知所在平面内的一点满足，则点必在（ ）
A．的外面 B．的内部
C．边上 D．边上
【变式2】已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3】（2024·上海闵行·高一校考期末）是所在平面内一点，，则点必在（ ）
A．内部 B．在直线上
C．在直线上 D．在直线上
题型二：“鸡爪”模型
【例2】在△ABC中，，，若点D满足，以作为基底，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，在中，，是上的一点，若，则 .
【变式2】（2024·福建泉州·高一校考阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．
【变式3】（2024·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式4】（2024·河北沧州·高三周测）如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为
A． B．
C． D．
三、等和线
【例1】如图，分别是射线上的点，给出下列以为起点的向量:
(1) ； (2) ； (3) ； (4) (5) .
其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量的序号是 . (写出满足条件的所有向量的序号).
【变式1】设向量 不共线( 为坐标原点)，若，且，则点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
A. B.
C. D. C
【变式2】在中，是边上的动点且，则当 取得最大值时，的值为 .
【变式3】如图所示，，点在由射线 、射线段 及 的延长线围成的阴影区域内 (不含边界) 运动，且 则的取值范围是 ，当 时，的取值范围是 .
【变式4】已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 .
【例2】如图，是圆上的三点，且线段的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若 ，则的取值范围是 .
【变式1】如图，腰长为4的等腰三角形中，，动圆的半径，圆心在线段（含端点）上运动，为圆上及其内部的动点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·四川成都·成都七中校考一模）如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量（，为实数），则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
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微专题01 向量共线定理与等和线
题型一：向量共线定理
题型二：“鸡爪”模型
题型三：等和线
1.向量共线定理
如果a≠0，b与a平行的充要条件是，存在唯一实数λ，使得 b=λa.
2.三点共线
(1) A、B、C三点共线的充要条件是，存在唯一实数λ，使得
(2) A、B、C三点共线的充要条件是，平面上任取一点O，存在唯一实数对（λ，μ），使得，且λ+μ=1.
3.平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
基底：若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
4.“鸡爪”模型
三角形ABC中,当点D在直线BC上，若（注意向量的方向及的正负），则有
.
“鸡爪”模型的系数具有以下性质:
(1) （参照三点共线的充要条件）
(2)当点D在线段BC内部时，系数都是正数.
(3)当点D在线段BC外部时，系数一正一负（离哪个点远，则对应向量的系数为负）.
(4)当点D在线段BC端点时，系数一个为0，一个为1.
5.等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立.则我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，；
(3)当直线AB在点O与等和线之间时，；
(4)当等和线过O点时，k=0；
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.
(6) 定值的变化与等和线到点的距离成正比.
题型一：向量共线定理
【例1】（2023·高一期末测试）已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵与共线，∴存在实数，使得.①
又∵与共线，
∴存在实数，使得.②
由①得，.
∴，
∴即.
∴
故选：D.
【变式1】（2024·高一校联考期中）已知所在平面内的一点满足，则点必在（ ）
A．的外面 B．的内部
C．边上 D．边上
【答案】C
【解析】因为，可得，所以.
可得A、B、C三点共线，所以点P在边AB上.
故选：C.
【变式2】已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D
【变式3】（2024·上海闵行·高一校考期末）是所在平面内一点，，则点必在（ ）
A．内部 B．在直线上
C．在直线上 D．在直线上
【答案】B
【解析】
，
，
，即与共线
∴点一定在边所在直线上.
故选：B．
题型二：“鸡爪”模型
【例2】在△ABC中，，，若点D满足，以作为基底，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
如图，因，则，即，解得：.
也可以直接利用“鸡爪”模型，因为，所以
故选：A.
【变式1】如图，在中，，是上的一点，若，则 .
【答案】
【解析】通过图形可知，三点共线，设，则，又，即，所以.
可得，解得.
【变式2】（2024·福建泉州·高一校考阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】A
【解析】为的重心，
又在线段上，
故选：．
【变式3】（2024·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】若是的中点，连接，点G是的重心，则必过，且，
由题设，又共线，
所以，即，注意，

由
，当且仅当，即时等号成立，
故目标式最小值为1.
故选：A
【变式4】（2024·河北沧州·高三周测）如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，，三点共线，
所以，所以
又因为是重心，
所以，
所以，
所以，化简得，
由基本不等式得
当且仅当即时，等号成立，
故选：C
三、等和线
【例1】如图，分别是射线上的点，给出下列以为起点的向量:
(1) ； (2) ； (3) ； (4) (5) .
其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量的序号是 . (写出满足条件的所有向量的序号).
【答案】(1)(3)
【解析】由向量共线的充要条件可得，当点在直线上时，存在唯一的一对有序实数 ，使得 成立，且，
所以点落在阴影区域内的充要条件是:满足，且 .
(1)因为，所以点落在阴影区域内，故正确: 同理(3)正确，(2)(4)不正确，
(5)原式 ，而，故不符合条件，
综上可知，只有(1)(3)正确.
【变式1】设向量 不共线( 为坐标原点)，若，且，则点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
A. B.
C. D. C
【答案】
【解析】利用特殊情况排除：
当时，，故点所有可能的位置区域应该包括边界 或 的一部分，故排除 项.故选.
【变式2】在中，是边上的动点且，则当 取得最大值时，的值为 .
【答案】
【解析】因为点在边上，且，所以，
当 取得最大值时，根据均值不等式可知，此时是的中点，
所以.
【变式3】如图所示，，点在由射线 、射线段 及 的延长线围成的阴影区域内 (不含边界) 运动，且 则的取值范围是 ，当 时，的取值范围是 .
【答案】； .
【解析】根据题意，由平行四边形法则易得；
如图，作直线，交直线于点，点，点，且，
当 时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，
故的取值范围为.
【变式4】已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 .
【答案】
【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使得，
设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；
过点G作GH∥DE，分别交DF AE于K H，
连接FH，则点K H为临界点；
GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，
，
所以FH∥BC；
所以FHBC，
所以，
所以KGHK，
KGHGDE.
所以实数x的取值范围是().
故答案为：().
【例2】如图，是圆上的三点，且线段的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若 ，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，则由点在圆外，且在的延长线上可知.
由 得.
由 三点共线可得.
【变式1】如图，腰长为4的等腰三角形中，，动圆的半径，圆心在线段（含端点）上运动，为圆上及其内部的动点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当点取圆与交线上的点时，
由平面向量基本定理可知：，故排除，.
当点与点重合，且点取圆与的交线上最靠近的点时，
如图所示：
，，，，故排除
故选：A
【变式2】（2024·四川成都·成都七中校考一模）如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量（，为实数），则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由，
根据题设，，
又，当且仅当时等号成立，
所以，即，
如上图知：当圆心在上运动时，有，此时共线，
所以，当且仅当时等号成立，故．
故选：C
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