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6.2.4向量的数量积（一）
班级 姓名
学习目标
1.掌握向量数量积的定义及投影向量.
2.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
3.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b ．②当θ＝π时，向量a，b ．③当θ＝时，向量a，b ，记作a⊥b.【即时训练1】思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) 在锐角三角形ABC中(1)与的夹角是锐角. (　　) (2)与的夹角是锐角. (　　)(3)与的夹角是钝角. (　　) (4)与的夹角是钝角. (　　)
2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为 .【即时训练2】(1)已知单位向量a，b，夹角为30°，则a·b＝ .(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝－2，则a与b的夹角θ为 .
向量数量积的概念辨析 例1、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)向量a在向量b上的投影向量一定与b共线. (　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0. (　　) (3)若λa＝0，则λ＝0或a＝0. (　　) (4)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角. (　　) (5)向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c). (　　) (6)已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c. (　　) (7)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b. (　　)
向量数量积的求解 例2、(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．(2)如图，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：①·；②·.变式1、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．(2)已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．
向量的模和夹角的计算 例3、(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________.(3)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角是________.变式2、已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.①求|b|；②当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值.
课后作业
一、基础训练题
1．下列说法正确的是(　　)
A．|a·b|≤a·b
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．a·b＝0，则a⊥b
2．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　)
A．100 J B．50 J C．50 J D．200 J
3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于(　　)
A．　　 　B．　　　 C．1＋　　 　D．2
4．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝(　　)
A．2 B． C．2 D．4
5．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
6．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B． C． D．
7．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·等于(　　)
A．－ B． C．－ D．
8．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．150°
9．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．
10．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.
11．已知|a|＝2，|b|＝3，向量a与b的夹角为，且a＋b＋c＝0，求|c|的．
12．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.
二、综合训练题
13．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是(　　)
A．a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C．|a|－|b|＜|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
14．已知a，b是非零向量，且向量a，b的夹角为，若向量p＝＋，则|p|＝(　　)
A．2＋ B．
C．3 D．
15．在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，∠DAB＝，点E，F分别在BC，DC边上，且＝2，＝，则·＝
6.2.4向量的数量积（一）
参考答案
1、【答案】B　
【解析】对于选项A，因为a·b是一个实数，应该有|a·b|≥a·b，故A不正确；
对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；
对于选项C，(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，故C错误；
对于选项D，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．故选A、B.
2、【答案】B　
【解析】由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J)．
3、【答案】B　
【解析】a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.
4、【答案】B　
【解析】|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，∴|a＋2b|＝.
5、【答案】D　
【解析】∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，∴a·c＝0，b·c＝0，c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.
6、【答案】C　
【解析】因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，
又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
7、【答案】C　
【解析】因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，
所以·＝1××cos 150°＝－.]
8、【答案】A
【解析】∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，
∴a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
9、【答案】等边三角形　
【解析】因为·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
10、【答案】5　
【解析】|a|2＝5，|a＋b|＝5，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5.
11、解　因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2.因为|a|＝2，|b|＝3，
向量a与b的夹角为，所以c2＝4＋2×2×3×cos ＋9＝7，即|c|＝.
12、[解](1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256.
∴|4a－2b|＝16.
13、【答案】ACD　
【解析】根据向量积的分配律知A正确；
(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，
|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；
D正确．
14、【答案】D
【解析】∵|p|2＝1＋1＋2cos ＝3，∴|p|＝.
【答案】2
【解析】因为＝＋＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝－·2＋2＋·
＝－×42＋×32＋×4×3×＝2.
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