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6.2.4向量的数量积（二）
班级 姓名
学习目标
1.掌握向量数量积的定义及投影向量.
2.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
3.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ .2．投影向量设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 ．a在向量b上的投影为： ；b在向量a上的投影为： ．3．数量积的几何意义设a在向量b上的投影为m，夹角为θ，则a·b=设b在向量a上的投影为n，夹角为θ，则a·b=【即时训练1】(1)已知等边△ABC的边长为2，则向量在向量方向上的投影向量为 (2)若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，记向量a在向量b方向上的投影向量为γ，则|γ|＝
数量积的性质与运算律 4．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)|a·b|≤|a||b|.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.【即时训练2】已知单位向量a与b的夹角为，若x a＋b与a垂直，则实数x的值为
投影向量与数量积的几何意义的运用 例1、已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：(1)向量a在向量b上的投影向量； (2)向量b在向量a上的投影向量．例2、(1)已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列给出的向量的数量积中最大的是(　　)A．· B．·C．· D．·(2)△ABC的外接圆圆心为O，AB＝2，AC＝3，求·.
向量的垂直关系与夹角问题 例3、(1)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________．(2)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝________．例4、(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，求k的取值范围．(2)设向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
课后作业
一、基础训练题
1．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是( )
A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
2．已知|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为b，则a·b的值为( )
A．3 B． C．2 D．
3．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值为( )
A． B． C． D．
5．(多选题)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中，真命题是( )
A．|a·b|＝|a|·|b| a∥b
B．a，b反向 a·b＝－|a|·|b|
C．a⊥b |a＋b|＝|a－b|
D．|a|＝|b| |a·c|＝|b·c|
6．(多选题)如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中∠A＝30°，且B，C，D三点共线，则下列结论成立的是( )
A．＝
B．·＝0
C．与共线
D．·＝·
7．(多选题)在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是( )
A．||2＝·
B．||2＝·
C．||2＝·
D．||2＝·＝·
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
9．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b方向上的投影向量为________．
10．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．
11．已知|a|＝5，|b|＝4，
(1)若a与b的夹角θ＝120°.
①求a·b；
②求向量a在向量b上的投影向量．
(2)若a∥b，求a·b.
二、综合训练题
12．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于( )
A．2 B．
C． D．
13．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a+b|＝( )
A．20 B．
C．2 D．
14．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为( )
A．a B．1
C．－1 D．－a
三、能力提升题
15．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝( )
A． B．－
C． D．－
6.2.4向量的数量积（二）
参考答案
1、【答案】C
【解析】由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC綉AD，所以四边形ABCD是矩形．
2、【答案】B
【解析】设a与b的夹角为θ，∵|a|·cos θ＝b，∴|a|·cos θ＝，
∴|a|·cos θ＝，∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.
3、【答案】B
【解析】因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.
4、【答案】C
【解析】由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3m a2＋(5m－3)a·b－5b2＝0,
3m×32＋(5m－3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m＝.故选C.
5、【答案】ABC
【解析】∵a·b＝|a|·|b|·cos θ，∴由|a·b|＝|a|·|b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，
∴θ＝0或π，∴a∥b且以上各步均可逆，故命题A是真命题；
若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a|·|b|cos π＝－|a|·|b|且以上各步均可逆，故命题B是真命题；当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等．即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，故命题C是真命题；
当|a|＝|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故命题D是假命题．
6、【答案】ABC
【解析】设BC＝DE＝m，∵∠A＝30°，且B，C，D三点共线，∴∠ACB＝∠CED＝60°，∠ACE＝90°，CD＝AB＝m，AC＝EC＝2m，∴＝，·＝0，∥，故A、B、C成立；·＝2m·m·cos 60°＝m2，·＝2m·m·cos 30°＝3m2，故·＝·不成立．
7、【答案】AD
【解析】·＝||||cos A＝||||＝||2，A正确；
·＝||||cos(π－C)＝－||||cos C＝－||||＝－|CB|2，B错误；
·＝||||cos(π－∠ABD)＝－||||cos∠ABD＝－||||＝－||2，C错误；
·＝||||cos∠ABD＝||||＝||2，·＝||||cos∠CBD＝||||＝||2，D正确．故选AD.
8、【答案】120°
【解析】由c⊥a得，a·c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－，所以向量a与b的夹角θ＝120°.
9、【答案】b
【解析】∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，＝，即a在b方向上的投影向量为b.
10、【答案】
【解析】由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cos θ＝0，
|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cos θ＝0，故|a|2＝|b|2，
即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cos θ＝0，故cos θ＝，因为 0≤θ≤π，故θ＝.
11、解 (1)①a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10.
②向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ＝5××＝－b.
(2)∵a∥b，∴a与b的夹角θ＝0°或180°.
当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20.
当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－20.
12、【答案】D
【解析】·＝||||cos∠DAC＝||cos＝||sin∠BAC＝||sin B
＝||sin B＝||＝.
13、【答案】C
【解析】由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，
所以|a＋b|＝＝＝＝2.故选C.
14、【答案】A
【解析】设θ为向量a－2b与向量a的夹角，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为|a－2b|cos θ .
又cos θ＝＝＝，故|a－2b|cos θ ＝|a－2b|·＝a.故选A.
15、【答案】A
【解析】cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A.
16、【答案】A
【解析】易知四边形EFGH为平行四边形，连接HF(图略)，取HF的中点为O，
则·＝·＝(－)·(＋)＝2－2＝1－2＝，
·＝·＝2－2＝1－2＝，
因此·＋·＝.
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