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三角函数图象的作法与图象的运用
班级 姓名
学习目标
1．掌握三角函数、与图象的作法；
2．会利用三角函数的图象求解三角函数性质问题。
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
图象的作法与函数的性质 例1、作出下列函数图象并完成填空：(1)①增区间： ；减区间： .②对称轴： ；对称中心： .③当x= ， ；当x= ， .④若，则 .⑤将函数向 平移 个单位，可以得到偶函数.
图象的作法与函数的性质 (2)①增区间： ；减区间： .②对称轴： ；对称中心： .③当x= ， ；当x= ， .④若，则 .⑤若，则 .
图象的作法与函数的性质 (3)①定义域： . ②增区间： . ③对称中心： .④若，则 .⑤若，则 .
三角函数图象的作法 1、函数与的图象作法步骤：2、函数的图象作法步骤：
三角函数图象与性质 变式1、作出下列函数图象并完成填空：(1)①减区间： . ②对称中心： .③若，则 .④若，则 .(2)①增区间： . ②对称轴： .③当，x= .④当， .(3)①增区间： .②减区间： .③对称轴： .④当，x= .
三角函数图象的运用 例2、(1)(多选题)已知函数，下列四个结论中，正确的有(　　)A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)的图象关于直线x＝对称C．函数f(x)的图象关于点对称D．函数f(x)在上单调递增(2)(多选题)已知函数，下列结论中正确的是　　A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间上是单调增函数 C．若函数的定义域为，则值域为 D．函数的图象与的图象重合(3)(多选题)已知函数的图象经过点，则　　A．B．的最小正周期为C．的定义域为D．不等式的解集为，
三角函数图象的运用 变式2、(1)(多选题)关于函数，下列说法正确的是(　　)A．函数在上最大值为 B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为(2)(多选题)已知函数满足，则(　　)A．的图象关于直线对称B．在区间上单调递增C．的图象关于点对称D．将的图象向左平移个单位长度得到
课后作业
一、基础训练题
1．函数的部分图象大致是(　　)
2．函数在一个周期内的图象是(　　)
3．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A．，k∈Z　　　　　　　　　　
B．，k∈Z　
C．，k∈Z　　　　　　　　　　　
D．，k∈Z
4．已知函数，，则的单调递增区间是(　　)
A． B．
C．， D．，
5．函数在上的值域为(　　)
A． B．
C． D．
6．若函数的最小正周期为，则在上的值域为(　　)
A． B．
C． D．
7．设函数(x∈R)，则f(x)(　　)
A．在区间上是减函数　　　　 B．在区间上是增函数
C．在区间上是增函数　　　　　 D．在区间上是减函数
8．(多选题)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．该图象对应的函数解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递减
9．(多选题)已知函数，，则　　
A．与的图象关于原点对称
B．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象
C．在，上的最大值为
D．的对称轴为，
10．(多选题)已知函数，则下列说法正确的是　　
A．的周期是
B．的值域是，且
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．的单调递减区间是，，
11．将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为　　．
二、综合训练题
12．(多选题)已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是奇函数，则下列判断正确的是(　　)
A．函数的最小正周期为
B．函数的图像关于点（，0）对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图像关于直线对称
13．若函数在，上的最小值小于零，则的取值范围为　　
A．， B．，
C．， D．，
14．若函数在区间上单调，则实数a的最大值是________．
15．已知函数，
(1)求函数在上的单调递增区间；
(2)求不等式的解集；
(3)若方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
三、能力提升题
16．(多选题)关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最大值是
B．函数在上单调递增
C．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到
D．若方程在区间有两个实根，则
17．(多选题)函数与函数的图象关于点对称，记，则(　　)
A．的值域为
B．的图象关于直线对称
C．在所有实根之和为
D．在上解集为
18．函数的所有零点之和为______．
19．已知函数()的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为 ，求的值域.
三角函数图象的作法与图象的运用
参考答案
例2、(1)答案　AD
解析　对于A，函数f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，可知A正确；
对于B，当x＝时，2x－＝0，又x＝0不是y＝sin x的对称轴，可知B错误；
对于C，当x＝时，2x－＝，又不是y＝sin x的对称中心，可知C错误；
对于D，当x∈时，2x－∈，当x∈时，y＝sin x单调递增，可知D正确．
(2)答案　AD
解析　函数，
对于：当时，，故正确；
对于：由于，则，故函数在区间上是单调递减函数，故错误；
对于：由于，所以，所以函数的值域为，，故错误；
对于：函数，故正确．
(3)答案　BD
解析　对于A，由题知，则，因为，所以，A错误；
对于B，的最小正周期，B正确；
对于C，令，,则,,所以的定义域为，C错误；
对于D，令，则，
得，，即，，
所以不等式的解集为，，D正确．
变式2、(1)答案　BD
解析　对于A，当时，，，最大值为2，A错误；
对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确；
对于C，当时，，函数在上不单调，
则在上不单调，C错误；
对于D，函数的最小正周期，D正确.
(2)答案　BC
解析　，，即
整理得，又，，即，
令，则，即，可得图象关于点对称，故A错误，C正确；
当时，，则函数在区间上单调递增，故B正确；
把将的图象向左平移个单位长度，可得，故D错误.
1、答案　A　
解析　由可知，函数的最大值为2，故排除D；
又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C．
2、答案　A　
解析　由题意得函数的周期为T＝2π，故可排除B，D.对于C，图象过点，代入解析式，不成立．
3、答案　D　
解析　由图象知，周期T＝2＝2，∴＝2，
∴ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos．由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选D．
4、答案　D
解析　可化为，
故单调增区间：，，解得，.
令，，令，.
，所以的单调递增区间是
5、答案　A
解析　由，可得，则.
6、答案　B
解析　因为,所以,，
因为,所以,，所以
7、答案　B　
解析　由可知，f(x)的最小正周期为π．由kπ≤x＋≤＋kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上单调递增；
由＋kπ≤x＋≤π＋kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上单调递减．
将各选项逐项代入验证，可知B正确．
8、答案　C
解析　由图象可知，即，又，所以，
又，可得，又因为所以，所以，故A错误；
当时，.故B错误；
当时，，故C正确；
当时，则，函数不单调递减.故D错误．
9．答案　AB
解析　,,，
即，即与的图象关于原点对称，故正确，
将的图象向左平移个单位长度，得到，故正确，
当，，则，，，，即当时，取得最大值1，故错误，
由，，得，即，，
即的对称轴方程为，，故正确，
10．答案　AD
解析　A、的周期和周期相同，即，故正确，
B、的值域为，，即函数的值域为，，故错误，
C、由绝对值的意义知当，即对称轴为，
则直线不是函数图象的一条对称轴，故错误，
D、由，得，，
即函数的单调递减区间是，，，
故正确．
11．答案
解析　 将函数的图象向左平移个单位，可得的图象；
由于所得图象关于轴对称，，，则的最小值为，此时，．
12．答案 ABD
解析　因为函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，则，又，
又函数是偶函数，因为，
所以，即，又，，则.
函数最小正周期，故选项A正确；
函数图像对称点的横坐标为：，即，
令时，，故选项B正确；又由：，得到
所以函数的单调增区间为：，
令时，得到一个增区间为：，故选项C错误；函数图像的对称所在直线方程为；，令时，，故选项D正确.
13．答案 D
解析　，，，，
设，则，，作出函数的图象如图，
由得，则或，
则当时的，第一个零点为，即当时，，
要使在，上的最小值小于0，
则只需要，即可，得，得，的取值范围为，．
14、答案　　
解析　法一：令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数
f(x)在区间上单调递减，所以a的最大值为．
法二：因为≤x≤a，所以＋≤x＋≤a＋，而f(x)在上单调，所以a＋≤，即 a≤，所以a的最大值为．
15、解（1）由，则，
令或，解得或，
所以函数在上的单调递增区间为和.
（2）由，即，所以，
所以，，解得，，
所以不等式的解集为.
（3）由，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
因为方程在上有两个不同的实数解，
所以与在上有两个不同的交点，
所以，即实数的取值范围为.
16、答案　BCD
解析　
.
对于A：函数的最大值是，A选项错误；
对于B：时，，是正弦函数的递增区间，故B选项正确；
对于C：函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，即函数的图象，C选项正确；
对于D：当时，，
令，则，
由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：
当时，，
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是，D对.
17、答案　BC
解析　在函数的图象上任取一点，
则点关于点的对称点在函数的图象，
所以，，
所以，，
对于A选项，
，
所以，函数的值域为，A错；
对于B选项，
因为，
所以，函数的图象关于直线对称，B对；
对于C选项，当时，，
作出函数在上的图象如图所示：
令，可得，
由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点，
设这四个交点的横坐标由小到大分别为、、、，
由图象可知，点、关于直线对称，点、关于直线对称，
所以，在所有实根之和为，C对；
对于D选项，由可得，
当时，，可得，解得，
所以，不等式在上解集为，D错.
18、答案　6
解析　令，得，解得或，即为零点，
令，，
可知的周期，对称轴，且的对称轴，
做出和的图象如图所示：
显然，在和上各存在一个零点，
在处的切线为x轴，
在上存在零点，
同理在上存在零点，
所以在上存在6个零点，
因为和的函数图象关于对称，
则零点关于对称，
所以的所有零点之和为.
19、解：（1）函数
，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，所以.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，方程在区间要有5个解，
则，即.
其中，
即，，，，
解得，，，.
所以
.
因为，.
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